《三角形全章复习(第一课时)》教案

3/7《三角形全章复习（第一课时）》教案教学目标教学目标：结合具体问题的解决，复习本章的主要内容，理解三角形的有关线段和角，三角形三边之间的关系，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，多边形内、外角和公式，建立这些知识之间的联系，整理本章知识，形成知识体系.教学重点：本章基础知识的复习以及知识体系的建构教学难点：把握本章知识之间的联系，加强知识和方法的系统化教学过程时间教学环节主要师生活动10分钟（一）与三角形有关的线段同学们，本章学习了“与三角形有关的线段”、“与三角形有关的角”、“多边形及其内角和”.下面我们结合一些问题，复习本章的基础知识.图1问题1如图1，在△中，图1（1）若，，则的取值范围是.教师提问：在三角形的边这部分涉及的主要内容有什么？三边关系；教师追问：由什么得出两边之和大于第三边？两点之间，线段最短；教师提出，那两边之差小于第三边是前面结论的变形.（2）如图2，若，则线段是△的.图3图2教师提出：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；直角三角形三条高线交于直角顶点；钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点.图3图2（3）如图3，若，则线段是△的.教师提出：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.教师追问：△和△的面积有什么关系？相等.教师提出：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.三角形的三条中线交于三角形内部一点，这个交点叫做三角形的重心.图4（4）如图4，若，则线段是△的.图4教师提出：三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.教师追问：这三条线段为我们以后寻找什么提供了方法？找直角、找线段相等还有角相等提供了方法.下面我们来看一个与三角形的边有关的例题.【例1】已知等腰三角形的两边长分别为5和3，则三角形的周长是____.分析：首先分析条件：等腰三角形，两条边长分别为5和3.因为等腰三角形有两条边是相等的，所以5和3必定一个是腰长，一个是底边长，因此需要进行分类讨论.解：若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，此时周长为；若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，满足三边关系，能构成三角形，此时周长为；所以三角形的周长为11或13.【解后反思】（1）在求等腰三角形边长时，要注意使用分类讨论思想分析和解决问题，同时三边关系是判断三角形是否存在的关键，也不能忽略.（2）对于等腰三角形，由于有两条边相等，在验证是否满足三边关系时，只需要验证两腰之和是否大于底边即可.对于此题，如果两边长分别为5和2，则当腰长为2，底边长为5时就不能构成三角形，因为，不满足三边关系.设计意图：加强对于三角形的边的认识，尤其是在等腰三角形中，对于给出的边长，要讨论是腰长还是底边长，体会分类讨论的思想方法.10分钟（二）与三角形有关的角图5问题2如图5，在△中，，，，，相交于点，若，，则=，=，=，=.图5教师提出:在学完与三角形有关的线段后，我们又学习了三角形内角和定理，即三角形的内角和为.我们用几种方法研究的三角形内角和定理?测量、裁剪、翻折、理论证明的方法.教师提问：直角三角形的两个锐角是什么关系？互余.教师提出：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.教师提问：关于三角形的外角，你还记得什么？三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.下面我们通过一个变式来进一步回顾三角形中的如何求角的大小.图6【问题2变式】由问题2的结论可得，，，，如图6所示，那么，图6（1）=.（2）根据（1）的计算结果，你发现，，，之间有什么关系吗？你能说明为什么吗？（3）根据（1）的计算结果，你发现与有什么关系吗？你能说明为什么吗？分析：对于求角的度数的问题，一般把角放在三角形中考虑，利用三角形的内角和定理、外角性质或者借助对顶角解决.对于（1）的分析：已知条件：，，，.结合图形，可以与已知的通过外角建立联系，也可以转化为它的对顶角，借助四边形的内角和求解，也可以在△中，借助三角形的内角和解决.但结合此题的条件，后两种方法相对繁琐.解：（1）是△的外角，，即.（2）.通过（1）的思考过程可以发现，不管，，，的大小如何，结合图形，利用外角的性质，始终有，，即.（3）结合图形不难发现，是还是△的外角，所以，从而.（也可以从三角形内角和的角度来理解）【解后反思】三角形中求角的度数问题，要把角放在三角形中考虑，利用三角形的内角和定理或外角性质解决.设计意图：研究三角形中的角度问题，引导学生从特殊到一般，发现一些特殊图形中的结论.问题3如图7，图7（1）三角形的内角和为，外角和为；图7（2）四边形的内角和为，外角和为，对角线的条数为；（3）五边形的内角和为，外角和为；对角线的条数为。教师提出：三角形内角和的学习为三角形的外角和与多边形的内角和做好了铺垫.你还记得多边形的内角和是怎么研究的吗？利用多边形由一顶点引对角线，进而对角线分多边形为若干个三角形,利用三角形内角和研究多边形内角和.教师提出：从边形的一个顶点出发可以得到条对角线，可以得到个三角形，所以边形的内角和为.教师提问：三角形的外角和是用几种方法得出的?两种，教师引领回忆，再次提问：那多边形外角和研究方法是什么？类比三角形外角和研究的.教师提出，多边形的外角和为，与边数无关.下面我们来看一个求多边形边数的问题.【例2】一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？分析：由于多边形的内角和多边形的边数有关系，所以可结合题目条件，通过设未知数列方程的方法解决.解：设多边形的边数为，则多边形的内角和为，外角和为，根据题意可得：.解得：.答：这个多边形是八边形.【解后反思】多边形问题有一些隐含的条件，比如多边形的内角和与边数有关，为，即为的整数倍，外角和为，与边数无关。每个内角和外角都在到之间，多边形的边数是大于或等于3的正整数。求多边形的边数，一般可通过设未知数列方程的方法解决.设计意图：多边形中与角度有关的问题，可通过方程求解，将几何问题转化为代数问题，方便、便捷.2分钟（三）建构体系结合前面的梳理和例题，你能发现本章主要知识之间的联系吗？三角形三角形与三角形有关的线段三角形的内角和三角形的外角和高中线角平分线多边形的内角和多边形的外角和三角形的边2分钟（四）课堂小结本节课在回顾基础知识的过程中，建立了本章的知识框架图，进一步理解了知识之间的联系.在典型问题的解决过程中，提高了识图能力，体会了分类讨论思想和方程思想的应用.2分钟备用例题图8【例3】如图8，△中，平分，，，求的度数.图8分析：由题意可知，，，而是△的外角，与（或）有关，即。又平分，所以也与（或）有关，即，进而，从而△三个内角都与建立了联系，借助三角形内角和列出方程即可求解。解：设，则.因为平分，所以，又因为是△的外角，所以，即.又因为，所以.在△中，根据三角形内角和定理，得，即，解得，所以.解后反思：在三角形中角的求值问题中，还可以利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.设计意图：体会方程思想在三角形中求角问题中的应用.课后作业1.小明用一条长20cm的细绳围成了一个等腰三角形，他想使这个三角形的一边是另一边的2倍，那么这个三角形的各边分别是多少？2.在△中，，为△的中线，且将△周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长.3.已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数.综合训练一、选择题1.下列每组数分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是()A.3cm,4cm,8cm B.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11cm D.13cm,12cm,20cm2.如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上的一点,延长CA到点E,连接EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是()A.∠1>∠2>∠3 B.∠2>∠3>∠1C.∠3>∠1>∠2 D.∠3>∠2>∠13.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,则这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cmC.13cm或14cm D.以上都不对4.如图,AD是△ABC中BC边上的中线,已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的长度之差为()A.2cm B.3cm C.6cm D.12cm5.如图,在△ABC中,∠BAC=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则∠BAD的度数是()A.145° B.150° C.155° D.160°6.若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是()A.7 B.10 C.35 D.707.将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,则∠1的度数为()A.75° B.65°C.45° D.30°8.如图,直线l1∥l2,且l1,l2被直线l3所截,∠1=∠2=35°,∠P=90°,则∠3等于()A.45° B.50°C.55° D.60°二、填空题9.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是.10.如图,已知直线AB∥CD,∠DCF=110°,且∠AEF=∠AFE,则∠A的度数是.11.如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边,则α的度数是.

12.如图,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线l与边AB,AD分别相交于点M,N,则∠1+∠2的度数是.

三、解答题13.如图,在△ABC中,BD是角平分线,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,连接DE,GF,且满足GF∥BD,∠1=∠2,若∠AED=70°,求∠2的度数.14.如图,已知DF⊥AB于点F,∠A=40°,∠D=50°,求∠ACB的度数.15.已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.16.问题引入:(1)如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示),并说明理由.

(2)如图②,∠CBO=13∠ABC,∠BCO=13∠ACB,若∠A=α,则∠BOC=(直接写出,用α表示)(3)如图③,∠CBO=13∠DBC,∠BCO=13∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(用α表示),并说明理由类比研究:(4)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=1n∠DBC,∠BCO=1n∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(直接写出,用α表示)综合训练一、选择题1.D2.A3.C当4cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰长时,三边分别是5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为14cm.故这个等腰三角形的周长为13cm或14cm.4.C5.B由题意知x°+2x°+3x°=180°,解得x=30,所以∠BAD=180°-30°=150°.6.C因为一个正n边形的每个内角为144°,所以144n=180×(n-2),解得n=10.正十边形的所有对角线的条数是10×(107.A∠1的对顶角所在的三角形中,另两个角的度数分别为60°,45°,所以∠1=180°-(60°+45°)=75°.8.C二、填空题9.360°10.40°因为AB∥CD,所以∠EFB=∠DCF=110°.所以∠EFA=∠AEF=180°-110°=70°.所以∠A=180°-∠EFA-∠AEF=180°-2×70°=40°.11.72°正五边形的一个内角是108°,正方形的一个内角是90°,所以∠α+90°+90°+108°=360°,解得∠α=72°.12.225°∵∠A=45°,∴∠A的外角是180°-45°=135°.∵三角形的外角和是360°,∴∠1+∠2=360°-135°=225°.三、解答题13.解∵FG∥BD,∴∠2=∠DBC.∵∠1=∠2,∴∠1=∠DBC,∴DE∥BC,∴∠AED=∠ABC=70°.∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠DBC=12∠ABC=35°14.解因为DF⊥AB,所以∠AFG=90°.在△AFG中,∠AGF=180°-∠A-∠AFG=180°-40°-90°=50°,所以∠CGD=∠AGF=50°.所以∠ACB=∠CGD+∠D=50°+50°=100°.15.解(1)甲对,乙不对.当θ能取360°时,(n-2)×180=360,解得n=4.当θ能取630°时,(n-2)×180=630