《线段的垂直平分线的性质(第二课时)》教案

《线段的垂直平分线的性质（第二课时）》教案教学目标教学目标：理解并掌握定理“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，并会用这个定理解决简单的数学问题．教学重点：定理“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．教学难点：如何用定理“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”解决简单的数学问题．教学过程时间教学环节主要师生活动3min复习回顾引入新知角平分线线段的垂直平分线图示AACBPMNAABlCP性质角平分线上的点到角两边的距离相等．PC平分∠ACB，PM⊥AC，PN⊥BC，PM=PN．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．直线l是线段AB的垂直平分线，．定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．∵PM⊥AC，PN⊥BC，PM=PN,∴PC平分∠ACB．？线段垂直平分线的判定应该是将其性质的条件和结论调换位置，你猜到了吗？并用文字表述出来．8min获得猜想规范证明猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．你能给出证明吗？如图，已知PA=PB，求证：点P在AB的垂直平分线上.分析：要证点P在AB的垂直平分线上，只需证点P和AB的中点C所连直线PC是AB的垂直平分线，即PC⊥AB．只需证△PAC≌△PBC（SSS）．ABCP证明：取AB中点CABCP∴AC=CB．∵在△PAC和△PBC中，∴△PAC≌△PBC(SSS)．∴∠ACP=∠BCP．∵∠ACP+∠BCP=180°，∴∠ACP=∠BCP=90°．∴PC⊥AB．∴PC是AB的垂直平分线，即点P在AB的垂直平分线上．小结：此方法可以称为“取中点，证垂直”，也可以“作垂直，证中点”，留给同学们自主完成．定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．14min知识运用巩固提升例如图，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD是EF的垂直平分线．ABCDEF分析：要证AD是EF的垂直平分线，只需证点A和点D都在EF的垂直平分线上，也就是要证AE=AF，ABCDEF证明：∵AD为∠BAC的平分线∴．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴．∵在△ADE和△ADF中，∴△ADE≌△ADF（AAS）．∴AE=AF，DE=DF．∴点A和点D都在EF的垂直平分线上．∴AD是EF的垂直平分线．例如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，分别交于点、，已知的周长为5cm．（1）求的长；（2）求证：点O在BC的垂直平分线上．解：（1）∵的垂直平分线是，的垂直平分线是，∴AD=BD，AE=CE．∵的周长为AD+DE+AE=5cm，∴．（2）连接、、∵的垂直平分线是，的垂直平分线是，∴OA=OB，OA=OC．∴OB=OC．∴点O在BC的垂直平分线上．小结：（1）常见的辅助线：连接要证的垂直平分线上的点到线段两端点的距离；（2）三角形三边的垂直平分线交于一点．1min反思回顾总结提升ABlCPABlCABlCPABlCP要关注线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离．作业1.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．2.下面小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.已知：已知：△ABC.求作：△ABC的边BC上的高AD.作法：如图，（1）分别以点B和点C为圆心，BA,CA为半径作弧，两弧相交于点E；（2）作直线AE交BC边于点D.所以线段AD就是所求作的高. 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______，AC=_______，∴点B,C都在线段AE的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∴直线BC是线段AE的垂直平分线（）（填推理的依据）．∴AD⊥BC，即AD是△ABC的边BC上的高．知能演练提升一、能力提升1.如图,DE是线段AB的垂直平分线,下列结论一定成立的是()A.ED=CD B.∠DAC=∠BC.∠C>2∠B D.∠B+∠ADE=90°2.在如图(示意图)所示的仪器中,OD=OE,CD=CE.小州把这个仪器往直线l上一放,使点D,E落在直线l上,作直线OC,则OC⊥l,他这样判断的理由是()A.到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等3.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,以大于12AB的长度为半径画弧,两弧交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为(A.7 B.14 C.17 D.204.观察下面两个图形,解答下列问题:(1)其中是轴对称图形的为;(只填图号)

(2)用尺规作图的方法画出其中轴对称图形的对称轴(要求:只保留作图痕迹,不写作法).5.如图,在△ABC中,BC=2,∠BAC>90°,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点E,G,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点F,D,求△AEF的周长.6.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,EF垂直平分AD交BC的延长线于点F,交AD于点E,连接AF.求证:∠B=∠CAF.7.如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC,交AC的延长线于点N.求证:BM=CN.二、创新应用★8.如图,在19×16的点阵图上画出“中国结”,点阵的每行及每列之间的距离都是1,请你画出“中国结”的对称轴,并直接写出阴影部分的面积.知能演练·提升一、能力提升1.D2.C∵OD=OE,∴点O在线段DE的垂直平分线上.∵CD=CE,∴点C在线段DE的垂直平分线上,∴CO是线段DE的垂直平分线,∴OC⊥l.故选C.3.C由题意可知MN是AB的垂直平分线,AD=BD.因为△ADC的周长为10,所以AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10.又由AB=7,所以△ABC的周长为AC+BC+AB=10+7=17.4.解(1)②(2)作法不唯一,如图所示,选一个作答即可.5.解∵EG垂直平分AB,∴AE=BE.∵DF垂直平分AC,∴AF=FC.∴AE+AF+EF=BE+EF+FC=BC=2,即△AEF的周长为2.6.证明∵EF为AD的垂直平分线,∴FA=FD.∵EF=EF,∴Rt△AFE≌Rt△DFE.∴∠FAD=∠FDA.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∠FAD=∠CAD+∠CAF,∴∠FAD=∠BAD+∠CAF.∵∠FDA=∠B+∠BAD,∴∠B+