中考数学复习《二次函数》专项综合练习及答案

备战中考数学复习《二次函数》专项综合练习及答案

一、二次函数

1.如图，已知抛物线y=+工0）的对称轴为直线x=-l,且抛物线与工地交

于A、B两点，与轴交于C点，其中A（1,O）,C（O,3）.

（1）若直线＞'=，依+〃经过3、C两点，求直线8c和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴K=—1上找一点M，使点M到点A的距离与到点。的距离之和

最小，求出点M的坐标；

（3）设点尸为抛物线的对称釉工二一1上的一个动点，求使A8PC为直角三角形的点尸的

坐标.

【答案】（1）抛物线的解析式为y=—d—2x+3,直线的解析式为y=工+3.（2）

（3）p的坐标为（一1,一2）或（一1,4）或叵）或（T,匕叵）.

22

【解析】

分析：（1）先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式，再根据

抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a,b,（:的

值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的

值即可得到直线解析式；

（2）设直线BC与对称轴x=-l的交点为M,此时MA+MC的值最小.把x=-l代入直线

y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；

（3）设P（-1,t）,又因为B（-3,0）,C（0,3）,所以可得BC2=18,PB2=（-1+3）

2+t2=4+t2,PC2=（-1）2+（t-3）242-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求

出点P的坐标.

b,

----二-]1

2a"T

详解：（1）依题意得：（。+/?+。=0,解得：\b=-2t

c=3c=3

••・抛物线的解析式为y=-/一21+3.

•••对称轴为％=-1,且抛物线经过A（LO）,

把B（-3,0）、C（O,3）分别代入直线y=mx+n,

-3m+〃=0m=1

得，解之得:

n=3n=3

直线y=nix+〃的解析式为y=x+3.

（2）直线8C与对称轴文=一1的交点为M,则此时M4+MC的值最小，把工=一1代入

直线）=尤+3得），=2,

M（—1,2）.即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（—1,2）.

（注：本题只求M坐标没说要求证明为何此时M4+MC的值最小，所以答案未证明

M4+MC的值最小的原因）.

（3）设尸（一1,。,又8（-3,0）,C（0,3）,

•.802=18，PB2=（-l+3）2+/2=4+/2,PC2=（-l）2+（r-3）2=/2-6/+10,

①若点8为直角顶点，则即：18+4+产=/一6，+10解得：

/=—2>

②若点。为直角顶点，KJBC2+PC2=PB2，即：18+/一6/+10=4+/解得：

1=4,

③若点P为直角顶点，则/^2+2。2=3。2,即：4+/+/一6/+10=18解得：

3+g3-x/T7

1222

综上所述P的坐标为（-1,一2）或（一1,4）或-1,三普或T三平.

点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函

数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考

压轴题.

2.如图,在平面直角坐标系中,ZACB=90°,OC=2OB,tanZABC=2,点B的坐标为（1,

0）.抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点.

（1）求抛物线的解析式：

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点

/士1

E,使PE=-DE.

2

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M,使AABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点

M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-x2-3x+4：(2)①P(-1,6),②存在，M(-1,3+而)或(-

13

L3-血)或(-1，-1)或(-1,一).

2

【解析】

【分析】

(1)先根据己知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式：

(2)①先得AB的解析式为：y=-2x+2,根据PD_Lx轴，设P(x,-x2-3x+4),则E(x,-

2x+2),根据PE=^DE,列方程可得P的坐标；

2

②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB,AM,BM的长，分三种情况：△ABM为

直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标.

【详解】

解：(1)=B(1,0),OB=1,

;OC=2OB=2,/.C(-2,0),

Rt^ABC中，tan/ABC=2,

AC-

对,—=2,/.AC=6,

3

A(-2,6),

-4-2b+c=6

把A(-2,6)和B(1,0)代入y=-x2+bx+c得：

-1+Z?4-C=O

h=-3

解得：

c=4

二.抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；

(2)①•「A(-2,6),B(1,0),

「•AB的解析式为：y=-2>:+2,

的运用，直角三角形的判定等知识.此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨

论思想的应用.

3.某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚.已知该蜜柚的成本价为

6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每

天的销售量V(千克)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.

(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(2)当该品种密柚定价为多少时，每天销售获得的利涧最大？最大利润是多少？

(3)某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照(2)

的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销

售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？

八y千克

°-15薪

【答案】(1)y=-2OX+5OO,(x>6)；(2)当x=15.5时，w的最大值为1805元；

(3)当x=13时，w=1680,此时，既能销售完又能获得最大利润.

【解析】

【分析】

(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式：y=kx+b即可求解；

(2)由题意得：w=y(x-6)=~20(x-25)(x-6)>>.>-20<0.故w有最大值，

即可求解；

(3)当x=15.5时，y=190,50xl90<12000,故：按照(2)的销售方式，不能在保愦期

内全部销售完;由50(500-20X)^12000,解得：x<13,当x=13时，既能销售完又能获

得最大利润.

【详解】

解：(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式：y=kx+b得:

200=15)1+/?

“300=©+〃'

解得：屋(k=-20O0，

即：函数的表达式为：y=-20x+500,(x>6)；

(2)设：该品种蜜柚定价为x元时，每天销售获得的利润w最大，

则：w=y(x-6)=-20(x-25)(x-6),

・「-20V0,故w有最大值，

f勺［

当x=-------=—=15.5时'，w的最大值为1805元；

2a2

(3)当x=15.5时，y=190,

50xl90<12000,

故：按照(2)的销售方式，不能在保质期内全部销售完；

设：应定销售价为x元时.既能销售完又能获得最大利润w,

由题意得：50(500-20x)>12000,解得：x<13,

w=-20(x-25)(x-6),

当x=13时，w=1680,

此时，既能销售完又能获得最大利润.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性

来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方

案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值).

4.如图，抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x轴的正半

轴交于点A.

(1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当yWO时，自变量x的取值范围；

(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PA_LBA时，求APAB的面积.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2・4x,自变量x的取值范图是04x44；(2)4PAB的

面积=15.

【解析】

【分析】

(1)将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联。•.求出待定

系数a和b：

(2)如图，过点B作BEJLx轴，垂足为点E,过点P作PEJ_x轴，垂足为F,设P(x,X2-

4x),证明△PFA~△AEB,求出点P的坐标，将ZPAB的面积构造成长方形去掉三个三角形

的面积.

【详解】

a+b=-3

(1)由题意得，|〜，

——=2

2a

a=\

解得《

b=-4

」•抛物线的解析式为y=x2-4x,

令y=0,得x2-2x=0,解得x=0或4,

结合图象知，A的坐标为(4,0),

根据图象开口向上，则”0时，自变量x的取值范围是0仝“；

(2)如图，过点B作BE_Lx轴，垂足为点E,过点P作PE_Lx轴，垂足为F,

设P(x,x2-4x),

•/PA±BA

ZPAF+ZBAE=90°,

,/ZPAF+ZFPA=90°,

ZFPA=ZBAE

又/PFA=ZAEB=90°

△PFA-△AEB,

PF_AFx2-4x4-x

••一9=-----9

AEBE2-13

解得，x=-1,x=4(舍去)

x2-4x=-5

•・•点P的坐标为(-1,-5),

又'B点坐标为(1,-3),易得到BP直线为y=・4x+l

所以BP与x轴交点为(L0)

SAPAB=—x—x5+3=15

24

【点睛】

本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直

线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键.

5.如图，已知二次函数的图象过点O(0，0).A(8,4),与x轴交于另一点B,且对

称轴是直线x=3.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若M是08上的一点，作MNII48交04于N,当ZiANM面积最大时，求M的坐

标；

(3)P是x轴上的点，过P作PQ_Lx轴与抛物线父于Q.过4作4cJ_x轴于C,当以。,

P，Q为顶点的三角形与以O,NC为顶点的三角形相似时，求P点的坐标.

VA

13

2

l\y--X--X

z42(2)当t=3时，SAAMN有最大值3,此时M点坐标为

(3,0)；(3)P点坐标为(14,0)或(-2,0)或(4,0)或(8,0).

【解析】

【分析】

(1)先利用抛物线的对称性确定B(6,0),然后设交点式求抛物线解析式；

(2)设M(t,0),先其求出直线OA的解析式为J，=？木直线AB的解析式为y=2x-12,

1

y=-x42

宜.线MN的解析式为y=2x-2t,再通过解方程组＜2得N,接着利用三

y=2cx-2t33

112

角形面积公式，利用SAAMN=SAAOM-S^NOM得到S^MN-然后根据二次函数

223

的性质解决问题；

(3)设根据相似三角形的判定方法，当笑=上?时，

142)OCAC

])3PQpo

△PQOs△COA,则一n?一一m=2|m|；当'=——H寸，△PQO~△CAO,贝ij

42ACOC

]3।

--|m|,然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标.

【详解】

解：(1)•••抛物线过原点，对称轴是直线x=3,

「.B点坐标为(6,0),

设抛物线解析式为y=ax(x-6),

把A(8,4)代入得a・8・2=4,解得a=',

4

113

「•抛物线解析式为y=-x(x-6),即y=-x2-----

442

(2)设M(t,0),

易得直线OA的解析式为，/='

2

设直线的解析式为

ABy=kx+b,

6k+b=()k=2

把B(6,0),A(8,4)代入得,—解得

b=-12,

直线AB的解析式为y=2x-12,

1/MNIIAB,

设直线MN的解析式为y=2x+n,

把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=-2t,

「•直线MN的解析式为y=2x-2t,

4

1x=—t

y=­x342

解方程组2得，；，则N

y=2x-2ty=-t

3

•SAAMN-SAAOM-SANOM

=—1•4,•t---1--12,—t

223

--t2+2l

3

2

=-l(t-3)+3,

当t=3时，SAAMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0)；

/],3、

⑶设m,-m2--m,

I42)

,/ZOPQ=NACO,

一PQPOIPQPO

•.当---=----时，△PQO—△COA,即1Ir1---=----,

OCAC84

],3

PQ=2PO,叩一m?一二m=2|m|,

42

1,3

解方程一nr=2m得mi=0(舍去)，m=14,比时P点坐标为(14,0)；

422

J、3

解方程*ym?-=m=-2m得mi=0(舍去)，m=-2,此时P点坐标为(・2,0)：

422

山PQPO,PQPO

当---=----时，△PQO—△CAO,即ni---=----,

ACOC48

11、3=Jm|，

PQ=—PO,即一m——m

242

I3]

解方程=-m?—m=-m得mi=0（舍去），m2=8,此时P点坐标为（8,0）；

422

1731

解方程=-m~—m=—m得mi=0（舍去），m2=4,此时P点坐标为（4,0）；

422

综上所述，P点坐标为（14,0）或（・2,0）或（4,0）或（8,0）.

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性

质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之

间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题.

6.如图，直线y=-；x-3与x轴，y轴分别交于点A,C,经过点A,C的抛物线y=ax?+bx

-3与x轴的另一个交点为点B（2,0）,点D是抛物线上一点，过点D作DE_Lx轴于点E,

连接AD,DC.设点D的演坐标为m.

⑴求抛物线的解析式；

⑵当点D在第三象限，设ADAC的面积为S,求S与m的函数关系式，并求出S的最大值

及此时点D的坐标;

⑶连接BC,若NEAD=NOBC,请直接写出此时点D的坐标.

27

△A”的面积最大值为下此时

D（-3,-亍）；⑶满足条件的点D坐标为（-4,-3）或（8,21）.

4

【解析】

【分析】

（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐

标为：（m,—m2+m-3）,则点F的坐标为：（m,-----m-3）＞根据SAADC=SAADF+SADFC求

42

出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D（-4,-3）,根据对称

性此时NEAD=ZABC.

3

②作点D(-4,-3)关于，轴的对称点6(-4,3),直线AD，的解析式为y=孑解方程

组求出函数图像交点坐标.

【详解】

解：(1)在y=-gx-3中，当y=0时，x=-6,

即点A的坐标为：(・6,0),

将A(・6,0),B(2,0)代入v=ax2+bx・3得：

36"6。-3=0

14〃+26-3=()'

1

CI=­

解得：\4,

b=\

」•抛物线的解析式为：y=-x2+x-3；

4

(2)设点D的坐标为：(m,—m2+m-3),则点F的坐标为：(m,—m-3),

42

设DE与AC的交点为点F.

DF=-----m-3-(—m2+m-3)=m2m,

2442

SAADC=SAADF+SADFC

11

=-DF・AE+-・DF・OE

22

1

=-DF・OA

2

=­x(-----m2------m)x6

242

—

42

3,27

=-----(m+3)2+—,

44

3

•/a=——<0,

4

一•抛物线开口向下,

27

当m=-3时，SAADC存在最大值彳,

又•当m=-3时，—m2+m-3=-—,

44

存在点D（-3,-?）,使得△ADC的面积最大，最大值为幺；

44

⑶①当点D与点C关于对称轴对称时，D（-4,-3）,根据对称性此时NEAD=NABC.

②作点D（-4,-3）关于x轴的对称点D「4,3）,

直线AD，的解析式为y=:x+9,

此时直线AD，与抛物线交于D（8,21）,满足条件，

综上所述，满足条件的点D坐标为（-4,-3）或（8,21）

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知

识.解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题,学会构建一次函数解决实际问题.属

于中考压轴题..

7.红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来

40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：

时间（天）1361036•・・

日销售量（件）9490847624・・・

1

未来40天内，前20天每天的价格力（元/件）与t时间（天）的函数关系式为：y!=^t+25（l<t<20

且t为整数）；后20天每天的价格丫2（原/件）与t时间（天）的函数关系式为：丫2=—

1

4+40（21Wt“0Mt为整数）.下面我们来研究这种商品的有关问题.

⑴认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定

一个满足这些数据之间的函数关系式；

⑵请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

⑶在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(aV4)给希望工程，

公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增

大，求a的取值范围.

【答案】(1)y=-2t+96；(2)当t=14时，利润最大，最大利润是578元；(3)3<a<

4.

【解析】

分析：(1)通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一

次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；

(2)根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后

利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；

(3)列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范

围.

详解：(1)设数m=kt+b,有也+心吗解得匕=96

/.m=-2t+96,经检验，其他点的坐标均适合以上

析式故所求函数的解析式为m=-2t+96.

(2)设日销售利润为P,

1

(-三+20)

由P=(-2t+96)z=t2-88t+192O=(t-44)2-16,

t/21<t<40且对称轴为t=44,

.1.函数P在21<t<40上随t的增大而减小，

.•.当t=21时，P有最大值为(21-44)2-16=529-16=513(元)，

答；来40天中后20天，第2天的H销售利润最大，最大日销售利润是513元.

1

(-3+5-a)

(3)Pi=(-2t+96)4

1

于

=-z+(14+2a)t+480-96n,

/.对称轴为t=14+2a,

1型20,

14+2a220得a23时，Pi随t的增大而增大,

又a<4,

3<a<4.

点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出

所需要的信息.同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解.

8.如图，菱形48CD的边长为20cm,Z4BC=120%对角线4C,8。相交于点。，动点P

从点八出发，以4cm/s的速度，沿4玲8的路线向点8运动；过点P作PQII8D,与4C相

交于点Q，设运动时间为t秒，0VtV5.

（1）设四边形PQCB的面积为S,求S与t的关系式：

（2）若点Q关于。的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线/交菱形ABCD的边AD

（或C。）于点N,当t为何值时，点P、M、N在一直线上？

（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM,NM,是否存在某一时刻3使得直线P/V平分

四边形APMN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴S=-2百/+]oo指（0VtV5）；（2）亍;⑶见解析.

【解析】

【分析】

（1）如图1,根据S=SAA4SAAPQ,代入可得S与t的关系式;

（2）设PM=x，贝ljAM=2x,可得AP=gx=4t,计算x的值，根据直角三角形30度角的性

8/

质可得AM=2PM=^^,根据AM=AO+OM,列方程可得t的值；

（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积

相等可得MG=AP,由AM=AO+OM,列式可得t的值.

【详解】

解：（1）如图1,二•四边形ABCD是菱形，

/.ZABD=ZDBC=-ZABC=60°,AC±BD,

2

ZOAB=30°,

・「AB=20,

OB=IO,AO=IOV3»

由题意得：AP=4t,

PQ=2t,AQ=2百t,

S=SAABC-SAAPQ»

=^ACOB-^PQAQ,

=-xl0x20x/3--x2/x2>^Z,

=-2V3t2+100V3(0<t<5)；

(2)如图2,在RSAPM中，AP=4t,

...点Q关于。的对称点为M,

/.OM=OQ,

设PM=x,则AM=2x,

/.AP=VJx=4t,

4f

小=耳’

8r

AM=2PM=-^j,

,/AM=AO+OM,

-^=1073+1075・2旧3

30

t=T;

答：当t为二30秒时，点P、M、N在一直线上;

7

（3）存在，

如图3,•.,直线PN平分四边形APMN的面积，

SAAPN=SAPMN，

过M作MG_LPN/于G,

LpNAP=LpNMG,

22

/.MG=AP,

易得△APH"△MGH,

8

AH=HM=_百7=-t,

•「AM=AO+OM,

同理可知：OM=OQ=108-2JJt,

-^>t=10>/3=10>/3-2^t,

30

t=—.

11

30

答：当t为■秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积.

【点睛】

考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简

等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.

9.已知，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使%+PC的值最小？如果存在，请求出点P的

坐标，如果不存在，请说明理由；

(3)设点例在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标.

【答案】(1)y=-x2+2x4-3；(2)当％+尸。的值最小时，点。的坐标为(1,2)；

(3)点M的坐标为(1,1)、(1,2)、1,g或"―

【解析】

【分析】

(1)由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PA+PC取最小值，利用二次函数图象上点的坐

标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，

利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的

坐标；

(3)设点M的坐标为则CM=J(1-0)2+(m-3)2,

2222

AC=7l0-(-l)]+(3-0)=710,AM=A/[l-(-l)]+(m-0),分

NAMC=90、/ACM=90和/CAM=90三种情况，利用勾股定理可得出关于m

的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标.

【详解】

解：⑴将A（-1,O）、。（0,3）代入旷=-工2+法+0中，

-l-b+c=Ofb=2

{C=3,解得：c=3,

•­.抛物线的解析式为y=-f+21+3.

（2）连接8c交抛物线对称轴干点P,此时%+PC取最小值，如图1所示.

图1

当》=0时，有一方2+2工+3=0，

解得：巧=T,。=3,

.・•点B的坐标为（3,0）.

抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-（x-l）2+4,

••・抛物线的对称轴为直线x=l.

设直线8c的解析式为y="+d（左w0）,

将8（3,0）、。（0,3）代入丁=履+”中，

3jl+rf=0(h-l

得：d=3,解得：d=3,

「•直线8c的解析式为y=-x+3.

・「当x=l时，y=-x+3=2,

・•・当B4+PC的值最小时，点P的坐标为(1,2).

(3)设点M的坐标为，

则CM=J(1—O1+(〃z—3了»AC=^[0—(—1)]4■+(3-0)2=VlO»

分三种情况考虑：

①当4A7C=90时，有AC?=AA/2+CM2,lip10=1+(/w-3)2+4+w2,

解得："7]=1,根2=2,

.・•点M的坐标为(1,1)或(1,2)；

②当4cM=90时，有4〃2=AC2+CM2,即4+〃P=10+1+(〃L3)2,

V

解得：〃，=；,

3

<8、

.••点M的坐标为1,-；

③当NC4M=90时，有CM?二4用2+4。2,即1+（〃?_3y=4+加+10,

综上所述：当4MAe是直角三角形时，点M的坐标为（1,1）、（1,2）、或1,一；.

【点睛】

本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、

轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数

法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；（3）

分/AMC=90、/ACM=90和/CAM=90三种情况，列出关于m的方程.

10.如图，已知直线y=-2x+4分别交x釉、y轴于点人B.抛物线过4、8两点，点P

是线段，8上一动点，过点P作PCJ_x轴于点C,交抛物线于点D.

19

（1）如图1,设抛物线顶点为M,且M的坐标是（一，一），对称轴交48于点M

22

①求抛物线的解析式：

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由：

（2）是否存在这样的点。，使得四边形8OA。的面积最大？若存在，求出此时点。的坐

标；若不存在，请说明理由.

【解析】

【分析】

(1)0lt|•次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为丫=

([Y9

ax--把点B的坐标代入求得a的值即可；

I2)2

②不存在点P,使四边形MNPD为菱形.设点P的坐标是(m,-2m+4),则D(m,-

2m2+2m+4),根据题意知PDIIMN,所以当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，

根据该等量关系列出方程-2m2+4m=3,通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐

2

标，然后推知PN=MN是否成立即可；

(2)设点D的坐标是(n,-2n2+2n+4),P(n,■2n+4).根据S四功形BOAD=S^BOA+S^ABD

=4+S.ABD，则当SAABD取最大值时，S四边彤BOAD最大.根据三角形的面积公式得到函数

SAABD=-2(n-1)2+2.由二次函数的性质求得最值.

【详解】

解：①如图1,

一C外

顶点M的坐标是—I,

(\y9

「•设抛物线解析式为y=〃x--+-(a#0).

I2

・「直线y=-2x+4交y轴于点B,

点B的坐标是(0,4).

又•••点B在该抛物线上，

(1Y9

二a0一一+—=4,

I2)2

解得a=-2.

(iY9

故该抛物线的解析式为：？=一2X——+—=~2x2+2:<+4；

②不存在.理由如下：

(1y91

•.•抛物线y=-2X--的对称轴是直线x=7,且该直线与直线AB交于点N,

I2)22

点N的坐标是(二,3.

设点P的坐标是(m,-2m+4),则D(m,-2m2+2m+4),

/.PD=(-2m2+2m+4)-(-2m+4)=-2m2+4m.

,/PDIIMN.

3

当PD=MN时，四边形MNPD是平行四边形，BP-2m2+4m=-.

13

解得mi=一(舍去)，m2=—

22

3

此时P(―,1).

2

PN=5

PNwMN,

平行四边形MNPD不是菱形.

••・不存在点P，使四边形MNPD为菱形；

(2)存在，理由如下：

设点D的坐标是(n,-2n2+2n+4),

・一点P在线段AB上且直线PD±x轴，

P(n,-2n+4).

由图可知S四边彩BOAD=SABCA+SAABD.其中SABOA=-OB*OA=—x4x2=4.

22

则当SAABD取最大值时,S四边形BOAD最大.

SAABD=—(yo-yp)(XA-XB)

=yo-yp

=-2n2+2n+4-(-2n+4)

=-2n2+4n

=-2(n-1)2+2.

当n=l时,SAABD取得最大值2,S四边形BOAD有最大值.

此时点D的坐标是(1,4).

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形

结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出

线段之间的关系.

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经

过点A、C.B的抛物线的一部分J与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封

闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线〃.已知点C的坐标为(0,-?),点M是抛物线C2：

y=mx2-2mx-3m(m<o)的顶点.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)“蛋线"在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大？若存在，求出APBC

面积的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)当△BDM为直角三角形时，求m的值.

【答案】(1)A(-1，0)>B(3,0).

(2)存在.S“BC最大值为一7

16

(3)111二一匕或〃7=-1时，aRDM为直角三角形.

2

【解析】

【分析】

(1)在y=mx?-2mx-3m中令y=0,即可得到A、B两点的坐标.

(2)先用待定系数法得到抛物线Ci的解析式，由SAPBC=SA?oc+SABOP-SABOC得到△PBC面

积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值.

(3)先表示出DM?,RD?,MB2,再分两种情况：①NBMD=90。时；②NBDM=90。时，讨

论即可求得m的值.

【详解】

解：(1)令y=0,则mx二一2mx-3m=0，

X2X

*/m<0,/.-2-3=0，解得：X[=-l,x2=3.

/.A(-1,0)、B(3,0).

(2)存在.理由如下：

,•・设抛物线J的表达式为y=a(x+l)(x-3)(arO),

31

把C(0,-彳)代入可得，a=~.

22

I13

••.C】的表达式为：y=-(x+l)(x-3),即y=/x2-x-/.

j3

设P(P，耳)，

SAPBC=SAPOC+SABOP-SABOC=-

4216

3327

a=一;<0,.,.当p=不时，PBC最大值为一^.

4216

(3)rtiCz可知：B(3,0),D(0,-3m),M(1,-4m),

2222

BD2=9nf+9，BM=16m+4，DM=m+l.

/ZMBD<90°,「.讨论/BMD=90°和NBDM=90°两种情况：

当NBMD=9O。时,BM2+DM2=BD2,BP16m2+4+m2+1=9m2+9，

解得：n、=—YN,m,=>(舍去).

22

当NBDM=90°时，BD2+DM2=BM2,BP9m2+9+m2+1=16m2+4»

解得：1叫=-1,m?=l(舍去).

综上所述，m=-"或m=一1时，△BDM为直角三角形.

2

12.如图，已知A(-2,0),B(4,0),抛物线y=ax?+bx・1过A、B两点，并与过A

点的直线y=--x-1交于点C.

2

(1)求抛物线解析式及对称轴；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点

P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N.问：是否存

在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐

标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线解析式为：y=-X2--Jt-l,抛物线对称轴为直线x=l：(2)存在P

84

点坐标为(1»--);(3)N点坐标为(4,-3)或(2,-1)

2

【解析】

分析：(1)由待定系数法求解即可；

(2)将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；

(3)利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形.设出点N坐标，表示点M坐标代

入抛物线解析式即可.

详解：(1)把A(-2,0),B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx-l,得

0=4。-2b-\

0=16〃+46-1

1

a=-

解得｛8

b=——

4

「•抛物线解析式为：y=-x2--x-i

84

••・抛物线对称轴为直线x=-==—%=1

2a2x1

8

(2)存在

使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小

•••取点C(0.-1)关于自线x=l的对称点U(2.-1),连CO与直线x=l的交点即为P

点.

设过点C、。直线解析式为：y=kx

则P点坐标为(1.)

2

(3)当aAOC-△MNC时，

如图，延长MN交y轴于点D,过点N作NE_Ly轴于点E

1/ZACO=ZNCD,ZAOC=ZCND=90°

ZCDN=ZCAO

由相似，ZCAO=ZCMN

ZCDN=ZCMN

•「MN±AC

M、D关于AN对称，贝JN为DM中点

设点N坐标为（a,—a-1）

2

由^EDN-△OAC

/.ED=2a

点D坐标为（0,

2

丁N为DM中点

3

点M坐标为（2a,—a-1）

2

把M代入y=1x2-'x-l,解得

84

a=4

则N点坐标为（4,-3）

当^AOO△CNM时，ZCAO=ZNCM

CMIIAB则点C关于直线x=l的对称点C即为点N

由（2）N（2,-1）

N点坐标为（4,-3）或（2,-1）

点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三

角形相似.解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想.

13.如图，抛物线y=ax2+bx+c