【《弹性波时间域正演理论基础综述》5300字】

弹性波时间域正演理论基础综述目录TOC\o"1-3"\h\u3675弹性波时间域正演理论基础综述 156941.1弹性波波动方程的差分格式 1278831.2PML边界条件 6301641.3数值稳定性 91.1弹性波波动方程的差分格式在进行弹性波正演模拟时，常常需要对弹性波方程进行有限差分计算，有限差分法的基本原理是应用泰勒级数对方程进行展开近似，将弹性波方程中的微分项用离散差分项替换，并进行差分系数的求解。本篇论文给出了较为详细的推导过程，如下述所示。（1）一阶速度-应力弹性波方程通过对弹性波动力学的学习，我们可以通过三大方程整理并推导出弹性波波动方程。其中，几何方程描述了物体位移与物体应变的关系,其表达式为： εxx=本构方程又称为广义胡克定律，是弹性波动理论的一个基本点，即给出了物体应力与应变之间的单值线性关系,具体表达式如下：σ（2-2）不同介质条件下，弹性系数矩阵可以化简为不同的形式，在各向同性介质中，可以对弹性系数矩阵C进行如下形式的简化：C=其中C11=C22=C33根据牛顿第二定律对物体的受力进行分析，则可以得到运动微分方程，表示形式如下: ∂σxx通过几何方程（2-1）、本构方程（2-2）和运动平衡微分方程（2-3）三者之间的关系，在只考虑二维的条件下，一阶速度-应力弹性波方程的表示形式如下： ∂vx在上式（2-4）中，vx,vz代表速度分量，σxx（2）弹性波方程时间上2M阶差分近似在计算弹性波方程时间上2M阶差分近似时，对上式（2-4）进行泰勒展开，以vx为例，将vx(t+v（2-5）同样的方法对vz(t+Δtv（2-6）令t'=t−Δt2，同样利用泰勒展开的思想，带入上式（2-5）στ（2-7）则上式（2-5）、（2-6）以及（2-7）为弹性波方程时间上2M阶差分近似格式。令2M=2时，即可求得弹性波方程时间上2阶差分近似公式，具体表示形式如下： vx(t+（3）弹性波方程空间上2N阶差分近似在计算弹性波方程空间上2N阶差分近似时，对一个给定的函数f（x），如果它的各阶导数都是关于变量x的单值连续函数，则它的泰勒展开可以表示为如下形式[25]：∂f（2-9）对上式（2-9）进行整理，则可以改写为：∂f（2-10）在上式（2-10）中，Δx为网格间距，an、C∂f（2-11）对上式（2-11）进行合并同类项整理可得：∂f（2-12）对等式（2-12）左右两侧通过待定系数法进行整理，可得关于系数的变量方程：C1(N)将上式方程组（2-13）改写成矩阵形式如下：135当N的取值不同时，求解上式方程组（2-20）可得到不同的权系数Cn则弹性波方程空间上2N阶差分近似为：∂f（2-15）（4）弹性波波动方程的差分格式通过上述的推导过程，可以求得弹性波方程的时间上2阶差分近似和空间上2N阶差分近似，在求出弹性波方程的时间上2阶差分近似和空间上2N阶差分近似之后，进而求解弹性波方程的差分格式，设定相应的交错差分网格如图2-1所示，则时间上2阶差分精度、空间上2N阶差分精度的差分格式计算方法如下所述。图2-1O(Δt2+Δ设Ui,jk+1/2、Vi+1/2,j+1/2k+1/2、Ri+1/2,jk、UVRTH（2-16）1.2PML边界条件在实际生产生活中，实际地下介质为一个半无限的空间，对地下介质进行数据采集时，实际数据量巨大，通常情况下都以T为单位，普通的计算机内存很难满足需求。因此，在进行地震波模拟时，需要对半无限空间进行人工截断，引入一个边界，但是边界的出现使得地震波在传播到边界上时出现反射现象，形成干扰波。如何引入人工边界，在截断无限空间的同时也能保证尽量减小地震波的反射，削弱不必要的干扰波，是目前需要攻克的难题。1994年，Berenger利用电磁波的传播特点，提出了一种高效的完美匹配层吸收边界条件PML。通过文献阅读与分析，本篇论文选择了效果相对较好的裂化PML边界条件，该方法最早是由Berenger提出，后来，王守东[28]将该思想引入到声波方程中,得出了令人满意的数值模拟结果。PML示意图如下图2-2所示：图2-2PML示意图（据王守东[28]）下面给出在各向同性介质中弹性波一阶速度-应力方程的PML吸收边界条件的推导过程，对上式方程组（2-4）中速度、应力进行变量分离，在二维的条件下，每一个变量都可分为如下的两部分[29]：vx上式（2-17）中上标x代表只与x的空间导数有关，上标z代表只与z的空间导数有关，根据上式（2-17）对弹性波方程组（2-4）进行分裂，同时，引入与x、z方向导数有关的衰减因子dx、d(∂∂t+d在式（2-18）中，dx、dz分别代表与x、z方向导数有关的衰减因子，对于衰减因子的选择十分重要，通常dd其中，xδ区域1：d区域2：d区域3：d设Uxi,jk+1/2、Vxi+1/2,j+1/2k+1/2、RxUUVVRRzTHH（2-19）1.3数值稳定性时间域弹性波方程有限差分解法是以一组以差分方程形式近似代替连续方程形式的弹性波方程，即将弹性波方程中的微分项用离散差分项替换，以差分方程组的解代替波动偏微分方程的解，差分格式对最终的计算结果有重要的影响。因此，如何在有限差分数值模拟过程中确保稳定性是一项难题。董良国[27]等人对一阶弹性波波动方程进行了详细的研究，