高一数学（人教A版）教案 必修一 第五章 三角函数

三角函数5.1.1任意角——(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)[课时目标]1．了解任意角的概念，能区分正角、负角与零角．了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念．2．能写出终边相同的角所组成的集合．利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题．逐点清(一)任意角[多维理解]1．角的定义角的概念角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形角的表示①始边：射线的起始位置OA.②终边：射线的终止位置OB.③顶点：射线的端点O.④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”2．角的分类名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角3．角的运算设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．[微点练明]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角都是钝角．()(4)相等的角终边相同．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．则丑时与午时的夹角是()A．120°B．135°C．150°D．165°解析：选C一日十二个时辰，则一个时辰所对应的圆心角为eq\f(360°,12)＝30°，丑时与午时相差5个时辰，故丑时与午时的夹角为30°×5＝150°.3．经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是()A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°解析：选B钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而eq\f(2,12)×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.4.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.解析：因为∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，所以β＝－(760°－720°)＝－40°.答案：－40°逐点清(二)象限角[多维理解]把角放在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与eq\a\vs4\al(x)轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．|微|点|助|解|(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；正确区分锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．锐角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角)．(2)每一个象限都有正角和负角．[微点练明]1．(多选)下列各角是第二象限角的是()A．160°B．480°C．－960°D．1530°解析：选ABC160°很显然是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．2．90°是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．不属于任何象限解析：选D因为90°角的终边落在y轴的非负半轴上，所以90°角不属于任何象限．3．下列叙述正确的是()A．三角形的内角是第一或第二象限角B．钝角是第二象限角C．第二象限角比第一象限角大D．小于180°的角是钝角、直角或锐角解析：选B直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确．逐点清(三)终边相同的角[多维理解]1．终边相同角的概念所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．|微|点|助|解|(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略．k有三层含义：①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角．②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)．③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动．(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．(3)当角的始边相同时：相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；终边不同则表示的角一定不同．2．象限角与轴线角的集合表示(1)象限角象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)轴线角角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}[微点练明]1．将－885°化为α＋k·360°(0≤α<360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)·360°B．195°＋(－3)·360°C．195°＋(－2)·360°D．－195°＋(－3)·360°解析：选B∵－885°＋1080°＝195°，∴－885°＝195°＋(－1080°)＝195°＋(－3)·360°.2．(多选)在－360°～360°范围内，与－410°角终边相同的角是()A．－50° B．－40°C．310° D．320°解析：选AC因为－50°＝－410°＋360°，310°＝－410°＋2×360°，所以与－410°角终边相同的角是－50°和310°.3．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上C．x轴上 D．y轴的非负半轴上解析：选A因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．4．已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.解析：因为α与120°角终边相同，所以α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°＜k·360°＋120°＜－630°，即－1110°＜k·360°＜－750°，故取k＝－3，则α＝－3×360°＋120°＝－960°.答案：－960°逐点清(四)终边相同角的应用[例1]如图，终边落在阴影部分的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}解析：选C阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.[例2]已知角α是第三象限角，则角eq\f(α,2)是()A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角解析：选D因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，所以k·180°＋90°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋135°(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°＜eq\f(α,2)＜n·360°＋135°(n∈Z)，所以eq\f(α,2)是第二象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°＜eq\f(α,2)＜n·360°＋315°(n∈Z)，所以eq\f(α,2)是第四象限角．|思|维|建|模|1．关于角nα或eq\f(α,n)象限的确定(1)由α的范围，表示出nα，eq\f(α,n)的范围，由n的取值确定象限．(2)特别地，求eq\f(α,n)所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一、二、三、四，找到原象限数字即可．2．表示区域角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°.(3)起始、终止边界对应的角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．[针对训练]1．已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z))，则角α的终边落在的阴影部分是()解析：选B令k＝0，得45°≤α≤90°.则B选项中的阴影部分区域符合题意．2．若α是第二象限角，那么eq\f(α,2)和2α都不是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：选B由α是第二象限角可知eq\f(α,2)是第一或第三象限角，2α是第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上的角，所以eq\f(α,2)和2α都不是第二象限角．3．终边落在直线y＝eq\r(3)x上的角α的集合为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·180°＋30°，k∈Z))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·180°＋60°，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·360°＋30°，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·360°＋60°，k∈Z))解析：选B易得y＝eq\r(3)x的倾斜角为60°.当终边在第一象限时，α＝60°＋k·360°，k∈Z；当终边在第三象限时，α＝240°＋k·360°，k∈Z.所以角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·180°＋60°，k∈Z)))).[课时跟踪检测](满分100分，选填小题每题5分)1．下列说法正确的是()A．最大的角是180° B．最大的角是360°C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小答案：D2．将－880°化为α＋k×360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是()A．160°＋(－3)×360° B．200°＋(－2)×360°C．160°＋(－2)×360° D．200°＋(－3)×360°解析：选D－880°＝200°＋(－3)×360°.3．“α是锐角”是“α是第一象限角”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A因为“α是锐角”能推出“α是第一象限角”，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．4.已知角α在直角坐标系中，如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为()A．－480° B．－240°C．150° D．480°解析：选D由角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转，可知α为正角．又旋转量为480°，∴α＝480°.5．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3000°，－840°解析：选B因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同．6．在0°≤α＜360°中，与－510°角的终边相同的角为()A．150° B．210°C．30° D．330°解析：选B与－510°角终边相同的角可表示为β＝－510°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，β＝210°.7．(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边可能落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选AC当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．故α的终边在第一或第三象限．8．若α为第二象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是()A．第二象限 B．第一或第二象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限解析：选D因为α为第二象限角，则2n·180°＋90°<α<2n·180°＋180°，n∈Z，因此(2n＋k)·180°＋90°<k·180°＋α<(2n＋k)·180°＋180°，n，k∈Z，而2n为偶数，当k为奇数时，2n＋k为奇数，则k·180°＋α(k∈Z)为第四象限角，当k为偶数时，2n＋k为偶数，则k·180°＋α(k∈Z)为第二象限角，所以k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第二或第四象限．9．(多选)如图，若角α的终边落在阴影部分，则角eq\f(α,2)的终边可能在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选AC依题意，得k·360°＋40°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z，所以k·180°＋20°≤eq\f(α,2)≤k·180°＋50°，k∈Z，当k为偶数时，eq\f(α,2)的终边在第一象限；当k为奇数时，eq\f(α,2)的终边在第三象限．10．如果角α与角x＋45°具有相同的终边，角β与角x－45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是()A．α＋β＝0°B．α－β＝90°C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)解析：选D利用终边相同的角的关系，得α＝n·360°＋x＋45°(n∈Z)，β＝m·360°＋x－45°(m∈Z)．则α＋β＝(m＋n)·360°＋2x(n∈Z，m∈Z)，与x有关，故A、C错误．因为α－β＝(n－m)·360°＋90°(n∈Z，m∈Z)，又m，n是整数，所以n－m也是整数，用k(k∈Z)表示，所以α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)．故B错误，D正确．11．若α＝2024°，则与α有相同终边的最小正角β＝________.解析：因为2024°＝360°×5＋224°，所以与2024°终边相同的最小正角是224°.答案：224°12．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为____________．解析：与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.∵所求角在0°～360°范围内，∴0°≤－60°＋k·180°＜360°，解得eq\f(1,3)≤k＜eq\f(7,3)，k∈Z.∴k＝1或2.当k＝1时，β＝120°；当k＝2时，β＝300°.答案：120°，300°13.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是____________________．解析：观察题图可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．答案：{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}14．(10分)若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，求角α的值．解：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°，解得2<k<4，又k∈Z，∴k＝3.∴当k＝3时，α＝270°.15．(12分)已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.解：(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1910°－k·360°(k∈Z)．令－1910°－k·360°≥0°，解得k≤－eq\f(191,36)，k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或θ＝－470°.16．(13分)如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针方向匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z.由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，∴2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，∴45°<α＝eq\f(m,7)·180°<90°，45°<β＝eq\f(n,7)·180°<90°，∴eq\f(7,4)<m<eq\f(7,2)，eq\f(7,4)<n<eq\f(7,2).∵α<β，∴m<n，又m，n∈Z，∴m＝2，n＝3，∴α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,7)))°，β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(540,7)))°.5.1.2弧度制(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) [课时目标]1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2．明确圆周角度数和弧度数，有助于熟练掌握角度与弧度的互化．3．掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．逐点清(一)弧度制的概念[多维理解]1．弧度的角我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．2．弧度数与弧度数的计算|微|点|助|解|角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.角度制用度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“°”不能省略角的正负与方向有关六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad”可以省略角的正负与方向有关十进制[微点练明]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()(3)1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π).()(4)1rad的角比1°的角要大．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．下列说法正确的是()A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角解析：选A对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误．3．时针经过四个小时，转过了()A.eq\f(2π,3)rad B．－eq\f(2π,3)radC.eq\f(5π,6)rad D．－eq\f(5π,6)rad解析：选B因为时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的角度为－2πrad，所以时针经过四个小时，转过了eq\f(4,12)·(－2π)rad＝－eq\f(2π,3)rad.4.二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从谷雨节气到大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为()A.eq\f(3π,4) B．πC.eq\f(5π,4) D.eq\f(3π,2)解析：选C由题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每相邻的两个节气对应的弧度数为eq\f(2π,24)＝eq\f(π,12)，则从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气，所以转过的弧所对的圆心角的弧度数为15×eq\f(π,12)＝eq\f(5π,4).逐点清(二)角度制与弧度制的互化[多维理解]角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数|微|点|助|解|角度与弧度互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝eq\f(π,180)rad,1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α·\f(180,π)))°；n°＝n·eq\f(π,180)rad.[微点练明]1．若α＝－2rad，则α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C∵－π<－2<－eq\f(π,2)，∴α是第三象限角．故选C.2．(多选)下列转化结果正确的是()A．72°化成弧度是eq\f(2π,5)B．－eq\f(10,3)π化成角度是－660°C．－150°化成弧度是－eq\f(7,6)πD.eq\f(π,12)化成角度是15°解析：选AD因为72°＝72×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,5)，所以A正确．因为－eq\f(10,3)πrad＝－600°，所以B不正确．因为－150°＝－eq\f(5π,6)rad，所以C不正确．因为eq\f(π,12)rad＝15°，所以D正确．3．时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为()A.eq\f(14,3)π B．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π解析：选B分针每分钟转6°，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为－6°×(2×60＋20)＝－840°，∴－840×eq\f(π,180)＝－eq\f(14,3)π，故选B.4．将下表中的角度和弧度互化：角度0°30°45°______120°135°150°______360°弧度_________eq\f(π,3)eq\f(π,2)_________πeq\f(3π,2)___答案：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π逐点清(三)用弧度制表示终边相同的角[典例]将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.判断它是第几象限角．解：－1125°＝－1125×eq\f(π,180)＝－eq\f(25π,4)＝－8π＋eq\f(7π,4).因为eq\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π，所以eq\f(7π,4)是第四象限角．所以－1125°是第四象限角．[变式拓展]若本例条件不变，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合．解：依题意，与α终边相同的角为eq\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z.由－4π≤eq\f(7π,4)＋2kπ≤4π，k∈Z，知k＝－2，－1,0,1.所以所求角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(9π,4)，－\f(π,4)，\f(7π,4)，\f(15π,4))).|思|维|建|模|1．弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．用弧度表示角的注意点(1)注意角度与弧度不能混用．(2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z.(3)求两个角的集合的交集时，注意应用数轴直观确定，可对k进行适当的赋值．[针对训练]1．下列各角中，终边相同的角是()A．eq\f(2,3)π和240° B．－eq\f(π,5)和314°C．－eq\f(7,9)π和eq\f(29,9)π D．3和3°解析：选C对于A选项，eq\f(2π,3)＝120°，不合题意；对于B选项，－eq\f(π,5)＝－36°，314°－(－36°)＝350°，不合题意；对于C选项，eq\f(29,9)π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)π))＝4π，符合题意；对于D选项，3≈3×57.30°＝171.90°，171.90°－3°＝168.90°，不合题意．2．α的终边与eq\f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，则α的取值集合为________．解析：α的终边与eq\f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，所以α的终边与eq\f(π,3)的终边相同，所以α的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))) 逐点清(四)弧长公式与扇形面积公式[多维理解]设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αr.(2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2.|微|点|助|解|1．扇形弧长、面积公式的变形运用(1)l＝|α|·r⇒|α|＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,|α|).(2)S＝eq\f(1,2)|α|r2⇒|α|＝eq\f(2S,r2).2．谨记两个注意点(1)在弧度制中，弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α是弧度．[微点练明]1．已知弧长为π的扇形面积也为π，则该扇形的圆心角(正角)为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(\r(2)π,2) D.eq\f(π,2)解析：选D设该扇形的圆心角为α，半径为r，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(αr＝π，,\f(πr,2)＝π，))解得r＝2，α＝eq\f(π,2).2．(多选)若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则()A．扇形的面积不变B．扇形的圆心角不变C．扇形的面积变为原来的4倍D．扇形的圆心角变为原来的2倍解析：选BC设原扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则原扇形的面积为S1＝eq\f(1,2)lr.扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍后，其面积为S2＝eq\f(1,2)·2l·2r＝2lr，故S2＝4S1，故A错误，C正确；由α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2l,2r)，可知扇形的圆心角不变，故B正确，D错误．3．已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为()A．2 B．4C．2eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：选D设扇形的弧长为l，半径为r，所以扇形的面积为eq\f(1,2)·l·r＝3.所以lr＝6.又扇形的周长为l＋2r，所以l＋2r≥2eq\r(l·2r)＝4eq\r(3)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝2r，,lr＝6，))即l＝2r＝2eq\r(3)时，取等号．4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注：匝，意为周，环绕一周叫一匝)，书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5(单位：弧度)，则该“环田”的面积为()A．600平方步 B．640平方步C．660平方步 D．700平方步解析：选C设中周的半径是R1，外周的半径是R2，圆心角为α＝5，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(αR1＝5R1＝95，,αR2＝5R2＝125，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R1＝19，,R2＝25，))则该“环田”的面积为S＝eq\f(1,2)αReq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)αReq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)×5×(252－192)＝660平方步．[课时跟踪检测](满分90分，选填小题每题5分)1．把eq\f(π,5)化成角度制是()A．36°B．30°C．24°D．12°解析：选A由角度制与弧度制的互化知，πrad＝180°.所以eq\f(π,5)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)×\f(180,π)))°＝36°.2．时针经过一小时，转过了()A.eq\f(π,6)rad B．－eq\f(π,6)radC.eq\f(π,12)rad D．－eq\f(π,12)rad解析：选B时针经过一小时，转过－30°，－30°＝－eq\f(π,6)rad.3．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝－\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋kπ，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))解析：选D因为150°＝150×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,6)，所以与150°角的终边相同的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).4．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是()A.eq\f(5π,11)B.eq\f(44π,5)C.eq\f(5π,22)D.eq\f(22π,5)解析：选B由题意知，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过eq\f(88,20)周，则小链轮转过的弧度数是eq\f(88,20)×2π＝eq\f(44π,5).5．(多选)下列命题正确的是()A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．5弧度的角是第四象限角C．α是第一象限角，则eq\f(π,2)－α也是第一象限角D．－1弧度角是锐角解析：选BCA选项，1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误．B选项，因为eq\f(3π,2)<5<2π，所以5弧度的角是第四象限角．B选项正确．C选项，因为α是第一象限角，即2kπ<α<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以－2kπ－eq\f(π,2)<－α<－2kπ，k∈Z，－2kπ<eq\f(π,2)－α<－2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.所以eq\f(π,2)－α也是第一象限角．C选项正确．D选项，因为－1弧度角是负角，所以不是锐角．D选项错误．6．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\r(2)D.eq\r(3)解析：选C如图，设圆的半径为R，则正方形边长为eq\r(2)R，∴弧长l＝eq\r(2)R，∴圆心角α＝eq\f(l,R)＝eq\f(\r(2)R,R)＝eq\r(2).7．(多选)已知α与β是终边相同的角，且β＝－eq\f(1,3)π，那么eq\f(α,2)可能是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：选BDα与β是终边相同的角，且β＝－eq\f(π,3)，故α＝－eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.故eq\f(α,2)＝－eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，eq\f(α,2)＝－eq\f(π,6)＋2nπ，n∈Z，是第四象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，eq\f(α,2)＝eq\f(5π,6)＋2nπ，n∈Z，是第二象限角．综上所述，eq\f(α,2)可能是第二或第四象限角．8．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角，在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为6－25，则该扇形的面积为()A.eq\f(10π,3) B．2πC.eq\f(5π,3) D.eq\f(5π,6)解析：选C依题意，该扇形的圆心角为α＝eq\f(625,6000)×2π＝eq\f(5π,24)，故所求扇形的面积为S＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,24)×42＝eq\f(5π,3).9．(多选)下列命题正确的是()eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝90°＋kπ，k∈Z))))A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ，k∈Z))))B．终边落在y轴上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝90°＋kπ，k∈Z))))C．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°D．第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))解析：选AC终边落在x轴的非负半轴的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ，k∈Z))，故A正确；由于角度制和弧度制不能混用，故B错误；所有与45°角终边相同的角可以表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝45°＋k·360°，k∈Z))，则在－720°～0°范围内，取k＝－2，－1，得α＝－675°，α＝－315°，故C正确；第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故D错误．10．写出一个与－1130°终边相同的正角α＝________.(用弧度数表示)解析：因为－1130°＋360°×4＝310°＝eq\f(31π,18)，所以与－1130°终边相同的正角为eq\f(31π,18)＋2kπ，k∈N，写出一个即可为eq\f(31π,18).答案：eq\f(31π,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝\f(31π,18)＋2kπ，k∈N写出一个即可))11．扇形的半径是eq\r(6)，圆心角是60°，则该扇形的弧长为________，面积为________．解析：因为60°＝eq\f(π,3)，所以扇形的弧长为l＝|α|·r＝eq\f(π,3)×eq\r(6)＝eq\f(\r(6),3)π，面积为S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),3)π×eq\r(6)＝π.答案：eq\f(\r(6),3)ππ12．填写下表α的度数－570°375°α的弧度数eq\f(4π,5)－eq\f(45π,4)α所在的象限在(－4π，π)内与α终边相同的角答案：α的度数－570°375°144°－2025°α的弧度数－eq\f(19π,6)eq\f(25π,12)eq\f(4π,5)－eq\f(45π,4)α所在的象限二一二二在(－4π，π)内与α终边相同的角－eq\f(7π,6)，eq\f(5π,6)eq\f(π,12)，－eq\f(23π,12)，－eq\f(47π,12)－eq\f(6π,5)，－eq\f(16π,5)－eq\f(13π,4)，－eq\f(5π,4)，eq\f(3π,4)13.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq\f(2π,3)，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2(精确到1m2)．解析：eq\f(2π,3)＝120°，根据题意，弦＝2×4sineq\f(120°,2)＝4eq\r(3)(m)，矢＝4－4coseq\f(120°,2)＝2(m)，因此弧田面积＝eq\f(1,2)×(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2≈9(m2)．答案：914．(12分)(1)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．(2)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为lcm，半径为Rcm，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2R＝10，①,\f(1,2)lR＝4.②))①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R＝1或R＝4.当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8rad>2πrad舍去．当R＝4时，l＝2，此时，θ＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)(rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为eq\f(1,2)rad.(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，则l＋2r＝4，所以l＝4－2req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,π＋1)<r<2))，所以S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，此时θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(4－2×1,1)＝2(rad)．15．(13分)中国最早用土和石片刻制成“土圭”与“日晷”两种计时工具．铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等．现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了tmin会与时针重合，一天内分针和时针重合n次．(1)建立t关于n的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n.解：(1)设经过tmin分针就与时针重合，n为两针一天内重合的次数．因为分针旋转的角速度为eq\f(2π,60)＝eq\f(π,30)(rad/min)，时针旋转的角速度为eq\f(2π,12×60)＝eq\f(π,360)(rad/min)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)－\f(π,360)))t＝2πn，即t＝eq\f(720,11)n.(2)因为时针旋转一天所需的时间为24×60＝1440(min)，所以eq\f(720,11)n≤1440，于是n≤22，故时针与分针一天内只重合22次．5．2．1三角函数的概念第1课时三角函数的概念(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)[课时目标]借助单位圆理解任意角的三角函数的定义，能利用定义求三角函数值及参数值．1．三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)定义正弦函数把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y＝sin_α余弦函数把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cos_α正切函数把点P的纵坐标与横坐标的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即eq\f(y,x)＝tan_α(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数2．三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点O重合，r＝OP＝eq\r(x2＋y2)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．|微|点|助|解|(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．(2)三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．3．三角函数的定义域三角函数解析式定义域正弦函数y＝sinxR余弦函数y＝cosxR正切函数y＝tanxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))基础落实训练1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若α的终边与x轴负半轴重合，则tanα不存在．()(2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－eq\f(x,\r(x2＋y2)).()(3)若α为三角形的内角，则必有sinα>0.()答案：(1)×(2)×(3)√2．已知角α的终边与单位圆的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，则tanα＝()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)答案：B3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)解析：选D因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5.所以cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(4,5).题型(一)已知角的终边上一点求三角函数值[例1]已知角α的终边与单位圆的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，y))，则sinα＝()A．－eq\f(\r(3),6) B．±eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(1,2) D．±eq\f(3,2)解析：选C由题意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))2＋y2＝1，∴y＝±eq\f(1,2)，∴sinα＝y＝±eq\f(1,2).故选C.[例2]已知角α的终边上一点P的坐标是(5m,12m)，其中m≠0，求sinα，cosα，tanα的值．解：令x＝5m，y＝12m，则r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(5m2＋12m2)＝13|m|，①当m>0时，r＝13m，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(12m,13m)＝eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(5m,13m)＝eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(12,5)；②当m<0时，r＝－13m，sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(12m,13m)＝－eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(5m,13m)＝－eq\f(5,13)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(12,5).|思|维|建|模|利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的策略(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝eq\r(x2＋y2)，再求sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．[针对训练]1．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(2π,3)))，则sinαtanα＝________.解析：由Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(2π,3)))，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).则sinα＝eq\f(y,\r(x2＋y2))＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\r(3).故sinαtanα＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)2．已知α＝eq\f(2π,3)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.解析：在直角坐标系中，作∠AOB＝eq\f(2π,3)(如图)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3).答案：eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)－eq\r(3)题型(二)已知角的终边所在直线求三角函数值[例3]已知角α的终边落在射线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．解：法一设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x2＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(5),5)，,y＝\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(5),5)，,y＝－\f(2\r(5),5)，))即点P坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))，当点P坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))时，sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.当点P坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))时，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.法二①若α的终边在第一象限时，设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝eq\r(a2＋4a2)＝eq\r(5)a，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2a,\r(5)a)＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(a,\r(5)a)＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.②若α的终边在第三象限时，设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝eq\r(a2＋4a2)＝－eq\r(5)a(a<0)，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2a,－\r(5)a)＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(a,－\r(5)a)＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.|思|维|建|模|解决有关角的终边在直线上的三角函数值的策略(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．[针对训练]3．(多选)已知角α的终边落在直线2eq\r(2)x＋y＝0上，则()A．sinα＝eq\f(2\r(2),3)，tanα＝2eq\r(2)B．sinα＝eq\f(2\r(2),3)，tanα＝－2eq\r(2)C．sinα＝－eq\f(2\r(2),3)，cosα＝eq\f(1,3)D．cosα＝－eq\f(1,3)，tanα＝－2eq\r(2)解析：选BCD直线2eq\r(2)x＋y＝0，即y＝－2eq\r(2)x，经过第二、第四象限．在第二象限取直线上的点(－1，2eq\r(2))，则r＝eq\r(－12＋2\r(2)2)＝3.所以sinα＝eq\f(2\r(2),3)，cosα＝－eq\f(1,3)，tanα＝－2eq\r(2).在第四象限取直线上的点(1，－2eq\r(2))，则r＝eq\r(12＋－2\r(2)2)＝3.所以sinα＝－eq\f(2\r(2),3)，cosα＝eq\f(1,3)，tanα＝－2eq\r(2).题型(三)利用三角函数定义求点的坐标或参数值[例4]已知角α终边经过点P(－8m，－6cos60°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)解析：选A由点P的坐标可化为(－8m，－3)，得r＝eq\r(－8m2＋－32)＝eq\r(64m2＋9).由三角函数的定义知，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5).即100m2＝64m2＋9，解得m＝±eq\f(1,2).当m＝－eq\f(1,2)时，点P的坐标为(4，－3)，则cosα为正，不符合题意．故m＝eq\f(1,2).|思|维|建|模|当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[针对训练]4．已知点P(－eq\r(5)，y)为角β终边上的一点，且sinβ＝eq\f(\r(13),13)，则y的值为________．解析：由三角函数的定义，得sinβ＝eq\f(y,\r(－\r(5)2＋y2))＝eq\f(y,\r(5＋y2))＝eq\f(\r(13),13).则y>0，且eq\f(y2,5＋y2)＝eq\f(1,13)，整理，得13y2＝5＋y2.解得y＝eq\f(\r(15),6).答案：eq\f(\r(15),6)5．已知角α的终边上有一点P，OP＝25，且sinα＝－eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π<α<\f(3π,2)))，求点P的坐标．解：设点P的坐标为(x，y)，r＝OP＝25.∵π<α<eq\f(3π,2)，∴x<0，y<0.∵sinα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,25)＝－eq\f(4,5)，解得y＝－20.∵r＝OP＝25，∴eq\r(x2＋y2)＝25，即eq\r(x2＋－202)＝25.又x<0，解得x＝－15.故点P的坐标为(－15，－20)．[课时跟踪检测](满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)A级——达标评价1．若角α的终边上有一点P(0,3)，则下列式子无意义的是()A．tanα B．sinαC．cosα D．都有意义解析：选A由三角函数的定义sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)，可知tanα无意义．2．已知sinα＝eq\f(5,13)，cosα＝－eq\f(12,13)，则角α的终边与单位圆的交点坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)，－\f(12,13))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)，\f(12,13)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，\f(5,13)))解析：选D设交点坐标为P(x，y)，则y＝sinα＝eq\f(5,13)，x＝cosα＝－eq\f(12,13)，∴点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，\f(5,13))).3．平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在坐标原点O，始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(m,1)，若tanα＝－2，则m＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．2解析：选B由题意，tanα＝eq\f(1,m)＝－2，解得m＝－eq\f(1,2).4．已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sinα－cosα的值为()A.eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5) D．－eq\f(3\r(5),5)解析：选D因为sinα＝eq\f(－2,\r(1＋4))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(1＋4))＝eq\f(\r(5),5)，所以sinα－cosα＝－eq\f(2\r(5),5)－eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(3\r(5),5).5．已知角α的终边经过点(1，－3)，若角α与θ的终边关于y轴对称，则2sinθ－cosθ＝()A．－eq\f(\r(10),2)B.eq\f(\r(10),2)C．－eq\f(7\r(10),10)D.eq\f(7\r(10),10)解析：选A∵角α的终边经过点(1，－3)，角α与θ的终边关于y轴对称，∴角θ的终边经过点(－1，－3)，∴sinθ＝－eq\f(3,\r(10))＝－eq\f(3\r(10),10)，cosθ＝－eq\f(1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，∴2sinθ－cosθ＝－eq\f(6\r(10),10)＋eq\f(\r(10),10)＝－eq\f(\r(10),2).6．若α的终边与x轴负半轴重合，则sinα＝________，cosα＝_______，tanα＝______.解析：当α的终边与x轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)，故sinα＝0，cosα＝－1，tanα＝0.答案：0－107．已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角θ终边上，且|OA|≤3，则tanθ的值可以是________．(写出一个即可)解析：由|OA|≤3，即1＋a2≤9，解得－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2)，又a∈Z，故a的值可为－2，－1,0,1,2，则tanθ＝eq\f(a,1)＝a，即tanθ的值可以是0或±1或±2.答案：1(0，±1，±2均可)8．已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cosα＝－eq\f(3,5)，则实数a的值是________．解析：∵r＝eq\r(2a＋12＋a－22)＝eq\r(5a2＋1)，cosα＝eq\f(2a＋1,\r(5a2＋1))＝－eq\f(3,5)，∴9(a2＋1)＝5(2a＋1)2.又2a＋1<0，解得a＝－2.答案：－29．(8分)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα.解：因为r＝eq\r(－3a2＋4a2)＝5|a|.①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，所以2sinα＋cosα＝eq\f(8,5)－eq\f(3,5)＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5)，所以2sinα＋cosα＝－eq\f(8,5)＋eq\f(3,5)＝－1.综上，2sinα＋cosα＝±1.10．(8分)已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ，tanθ.解：由题意知r＝OP＝eq\r(x2＋9).由三角函数定义，得cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又因为cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，所以eq\f(x,\r(x2＋9))＝eq\f(\r(10),10)x.因为x≠0，所以x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sinθ＝eq\f(3,\r(12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,1)＝3；当x＝－1时，P(－1,3)，此时sinθ＝eq\f(3,\r(－12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,－1)＝－3.B级——重点培优11．已知角α的终边经过点P(2，tanα－7)，则tanα＝()A．－7 B．7C．－eq\f(1,7) D.eq\f(1,7)解析：选A由角α的终边经过点P(2，tanα－7)，得tanα＝eq\f(tanα－7,2)，解得tanα＝－7.12．我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种度量角的制度，叫做面度制．在面度制下，若角α的面度数为eq\f(5π,12)，则角α的正弦值是()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)解析：选D设角α所在的扇形的半径为r，面积为S，则由题意可得eq\f(S,r2)＝eq\f(\f(1,2)r2α,r2)＝eq\f(5π,12)，解得α＝eq\f(5π,6)，所以sinα＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，故选D.13．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A(－1，a)，B(b，1)且sinα＝eq\f(1,3)，则()A．a＝－eq\f(\r(2),4) B．b＝－2eq\r(2)C．cosα＝－eq\f(2\r(2),3) D．tanα＝－eq\f(\r(2),4)解析：选BCD因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A(－1，a)，B(b,1)且sinα＝eq\f(1,3)，所以eq\f(a,\r(1＋a2))＝eq\f(1,\r(b2＋1))＝eq\f(1,3)，所以a2＝eq\f(1,8)，b2＝8，由eq\f(a,\r(1＋a2))＝eq\f(1,3)，可知a>0，所以角α为第二象限的角，所以b<0，所以a＝eq\f(\r(2),4)，b＝－2eq\r(2)，所以A错误，B正确；所以cosα＝eq\f(b,\r(b2＋1))＝eq\f(－2\r(2),3)，tanα＝eq\f(1,b)＝－eq\f(1,2\r(2))＝－eq\f(\r(2),4)，所以C、D正确．故选BCD.14．已知函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则tanα＝________.解析：由对数函数图象性质易知函数f(x)＝loga(x－2)＋1过定点A(3,1)，点A在角α的终边OP上，由三角函数定义可得tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(1,3)，所以tanα＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)15．(10分)已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求eq\f(sinα,cosβ)＋eq\f(tanα,tanβ)＋eq\f(1,cosαsinβ)的值．解：由题意可知点P(a，－b)，则sinα＝eq\f(－b,\r(a2＋－b2))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋－b2))，tanα＝－eq\f(b,a)；由题意可知点