初中七年级数学平移作图讲义

第一章平移的定义与性质第二章平移的表示方法第三章平移的判定与证明第四章平移的旋转与对称第五章平移的实际应用第六章平移的综合练习与拓展01第一章平移的定义与性质第1页平移现象的引入引入场景问题提出生活实例小明在纸上用彩色笔绘制了一个五角星，然后按照老师的指示，将五角星沿着一条直线方向移动了5厘米。移动后的五角星与原来的五角星形状、大小完全相同，只是位置发生了变化。这种移动方式在数学上是如何描述的？它有哪些特点？如何用数学语言来定义这种移动？观察电梯的升降、传送带上的物体移动、钟表指针的旋转（虽然是旋转，但可以类比平移的性质）、火车在笔直轨道上的行驶等，这些现象都体现了平移的特征。第2页平移的定义平移的定义关键要素数学表示在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。平移有两个关键要素：平移方向和平移距离。平移方向可以用直线或向量表示，平移距离可以用线段长度或数值表示。假设一个点A的坐标为(x,y)，经过平移后的点A'的坐标为(x',y')，如果平移方向为向量(a,b)，平移距离为d，那么：x'=x+a，y'=y+b，d=√(a²+b²)。第3页平移的性质性质1：形状和大小不变性质2：对应点连线平行且相等性质3：对应线段平行且相等平移后的图形与原图形全等，即形状和大小完全相同。例如，将一个边长为3厘米的正方形沿水平方向平移4厘米，平移后的正方形边长仍然是3厘米，角度也保持90度。平移前后，对应点之间的连线都平行且相等。例如，将一个三角形ABC平移，得到三角形A'B'C'，那么AA'、BB'、CC'都是平移向量，且它们平行且长度相等。平移前后，对应线段都平行且相等。例如，将一个矩形ABCD平移，得到矩形A'B'C'D'，那么AB平行且等于A'B'，BC平行且等于B'C'，以此类推。第4页平移的作图方法作图工具作图步骤示例平移作图需要使用直尺、三角板、量角器等工具。平移作图的步骤如下：1.确定平移方向：用直尺画出平移的方向线或向量；2.确定平移距离：用直尺测量或计算平移的距离；3.标记对应点：在原图形上选择一个点，沿着平移方向和距离标记对应点；4.依次标记：对原图形上的其他点，依次标记对应点；5.连接对应点：用直尺连接对应点，得到平移后的图形。将一个四边形ABCD沿向量AD平移，得到四边形A'B'C'D'。02第二章平移的表示方法第5页平移的向量表示引入场景向量表示向量表示平移小明在纸上画了一个三角形ABC，老师让他将三角形沿某个方向平移，小明不确定如何表示平移的方向和距离。用向量表示平移的方向和距离，可以更直观地理解平移。向量由起点和终点组成，表示方向和大小。平移向量用大写字母表示，如向量AD。假设点A的坐标为(x,y)，平移向量为向量AD(a,b)，那么点A平移后的点A'的坐标为(x+a,y+b)。第6页平移的坐标表示坐标表示坐标公式例子用坐标表示平移，可以更精确地计算平移后的点的位置。假设点P的坐标为(x,y)，平移向量为向量(vx,vy)，那么点P平移后的点P'的坐标为(x+vx,y+vy)。将点P(2,3)沿向量(4,-2)平移，得到点P'(2+4,3-2)=(6,1)。第7页平移的几何表示几何表示平行四边形法三角形法用几何图形表示平移，可以更直观地理解平移的过程。平移一个图形，可以将其与平移向量构成一个平行四边形，平移后的图形位于平行四边形的一个相邻顶点上。例如，将三角形ABC平移，得到三角形A'B'C'，连接AB和AD，BC和DC，CA和DA，构成平行四边形ABCD，A'B'C'位于平行四边形的一个相邻顶点上。平移一个图形，可以将其与平移向量构成一个三角形，平移后的图形位于三角形的一个相邻顶点上。第8页平移的作图应用应用1：对称图形的绘制应用2：复杂图形的分解应用3：实际生活中的应用利用平移可以绘制对称图形。例如，将一个图形沿某条直线平移，可以得到对称图形。将复杂图形分解为多个平移图形，可以简化作图过程。例如，将一个不规则图形分解为多个三角形或四边形，然后分别平移，最后组合得到原图形的平移。在建筑设计、机械制造、计算机图形学等领域，平移的作图方法有广泛应用。例如，在建筑设计中，将一个窗户平移到另一个位置，可以得到一个新的窗户；在机械制造中，将一个机械零件平移到另一个位置，可以得到一个新的机械零件；在计算机图形学中，将一个图形对象平移到另一个位置，可以得到一个新的图形对象。03第三章平移的判定与证明第9页平移的判定条件引入场景小明在纸上画了一个五边形，老师让他判断这个五边形是否可以通过平移得到另一个五边形。判定条件如果两个图形满足以下条件，则可以通过平移得到：1.对应点连线平行且相等；2.对应线段平行且相等；3.对应角相等。例如，五边形ABCDE和五边形A'B'C'D'E'，如果AA'、BB'、CC'、DD'、EE'都平行且相等，且AB平行且等于A'B'，BC平行且等于B'C'，以此类推，那么五边形ABCDE可以通过平移得到五边形A'B'C'D'E'。第10页平移的证明方法证明步骤证明平移的步骤如下：1.标记对应点：标记两个图形的对应点；2.证明对应点连线平行且相等：用几何方法证明对应点连线平行且相等；3.证明对应线段平行且相等：用几何方法证明对应线段平行且相等；4.证明对应角相等：用几何方法证明对应角相等。例如，证明五边形ABCDE可以通过平移得到五边形A'B'C'D'E'。第11页平移的证明应用应用1：几何证明应用2：图形变换应用3：实际生活中的应用利用平移可以证明几何定理。例如，利用平移证明平行四边形的对角线互相平分。利用平移可以变换图形的位置，简化几何证明。例如，将一个三角形平移到另一个位置，可以简化几何证明。在建筑设计、机械制造、计算机图形学等领域，平移的证明方法有广泛应用。例如，在建筑设计中，将一个窗户平移到另一个位置，可以得到一个新的窗户；在机械制造中，将一个机械零件平移到另一个位置，可以得到一个新的机械零件；在计算机图形学中，将一个图形对象平移到另一个位置，可以得到一个新的图形对象。第12页平移的证明练习练习1练习2练习3证明平行四边形的对角线互相平分。证明：连接平行四边形ABCD的对角线AC和BD，相交于点O。证明AO=OC，BO=OD。证明梯形的对角线相等。证明：将梯形的一边平移，构成平行四边形，利用平行四边形的性质证明对角线相等。证明等腰梯形的对角线相等。证明：将等腰梯形的一腰平移，构成平行四边形，利用平行四边形的性质证明对角线相等。04第四章平移的旋转与对称第13页平移与旋转的联系引入场景旋转的定义平移与旋转的联系小明在纸上画了一个圆，老师让他将圆旋转，小明不确定如何表示旋转的方向和角度。旋转是将一个图形绕一个固定点旋转一定的角度，这种图形运动称为旋转。平移和旋转都是图形运动，它们都可以改变图形的位置。平移不改变图形的方向，而旋转改变图形的方向。例如，将一个矩形沿某条边旋转90度，可以得到一个新的矩形，这个新矩形与原图形全等，但方向不同。第14页平移与对称的联系引入场景对称的定义平移与对称的联系小明在纸上画了一个等腰三角形，老师让他找出等腰三角形的对称轴，小明不确定如何找。对称是将一个图形沿着一条直线折叠，两边能够完全重合，这种图形运动称为对称。平移和对称都是图形运动，它们都可以改变图形的位置。平移不改变图形的方向，而对称改变图形的方向。例如，将一个等腰三角形沿对称轴平移，可以得到另一个等腰三角形，这两个等腰三角形全等且方向相同。第15页平移、旋转与对称的综合应用综合应用1综合应用2综合应用3将一个图形平移后再旋转，可以得到一个新的图形。例如，将一个正方形沿某条边平移，再绕某个点旋转，可以得到一个新的正方形。将一个图形旋转后再平移，可以得到一个新的图形。例如，将一个正方形绕某个点旋转，再沿某条边平移，可以得到一个新的正方形。将一个图形平移、旋转、对称综合运用，可以得到更复杂的图形变换。例如，将一个图形平移、旋转、对称综合运用，可以得到更复杂的图形变换。第16页平移、旋转与对称的作图练习练习1练习2练习3将一个正方形沿某条边平移，再绕某个点旋转90度，作图并标出平移向量和旋转中心。将一个等腰三角形沿对称轴平移，再绕顶点旋转180度，作图并标出平移向量和旋转中心。将一个矩形平移、旋转、对称综合运用，作图并标出平移向量和旋转中心。05第五章平移的实际应用第17页平移在建筑设计中的应用引入场景小明参观了一个建筑设计展览，发现很多建筑都采用了平移的设计理念。建筑设计中的应用在建筑设计中，平移可以用于设计建筑物的窗户、门、阳台等。例如，将一个窗户平移到另一个位置，可以得到一个新的窗户；平移可以用于设计建筑物的整体结构。例如，将一个建筑物的某个部分平移到另一个位置，可以得到一个新的建筑物。第18页平移在机械制造中的应用引入场景小明参观了一个机械制造工厂，发现很多机械都采用了平移的设计理念。机械制造中的应用在机械制造中，平移可以用于设计机械零件的移动。例如，将一个机械零件平移到另一个位置，可以得到一个新的机械零件；平移可以用于设计机械的整体结构。例如，将一个机械的某个部分平移到另一个位置，可以得到一个新的机械。第19页平移在计算机图形学中的应用引入场景小明使用计算机绘图软件，发现软件中有很多平移的功能。计算机图形学中的应用在计算机图形学中，平移可以用于移动图形对象。例如，将一个图形对象平移到另一个位置，可以得到一个新的图形对象；平移可以用于设计复杂的图形变换。例如，将一个图形对象平移、旋转、缩放、对称综合运用，可以得到更复杂的图形变换。第20页平移在日常生活中的应用引入场景小明在日常生活中，发现很多现象都体现了平移的特征。日常生活中的应用在日常生活中，平移可以用于描述物体的移动。例如，将一个书包平移到另一个位置，可以得到一个新的书包；平移可以用于设计日常生活中的各种物品。例如，将一个椅子的某个部分平移到另一个位置，可以得到一个新的椅子。06第六章平移的综合练习与拓展第21页平移的综合练习练习1练习2练习3将一个五边形沿向量(3,4)平移，作图并标出平移后的图形。将一个三角形绕某个点旋转90度，再沿某条边平移，作图并标出旋转中心和旋转后的图形。将一个矩形平移、旋转、对称综合运用，作图并标出平移向量和旋转中心。第22页平移的拓展应用拓展应用1拓展应用2拓展应用3将平移应用于三维空间。例如，将一个立方体沿某个方向平移，可以得到一个新的立方体。将平移应用于更复杂的图形变换。例如，将一个复杂的图形平移、旋转、缩放、对称综合运用，可以得到更复杂的图形变换。将平移应用于实际生活中的各种问题。例如，在建筑设计、机械制造、计算机图形学等领域，平移的作图方法有广泛应用。例如，在建筑设计中，将一个窗户平移到另一个位置，可以得到一个新的窗户；在机械制造中，将一个机械零件平移到另一个位置，可以得到一个新的机械零件；在计算机图形学中，将一个图形对象平移到另一个位置，可以得到一个新的图形对象。第23页平移的拓展练习练习1练习2练习3将一个立方体沿向量(3,4,5)平移，作图并标出平移后的图形。将一个复杂的图形平移、旋转、缩放、对称综合运用，作图并标出平移向量和旋转中心。将平移应用于实际生活中的各种问题，例如设计一个复杂的机械结构。第24页平移的总结与展望平移是图形运动的一种基本形式，它不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。平移可以用向量表示，也可以用坐标表示。平移的性质包括形状和大小不变、对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等。平移的作图方法包括使用直尺、三角板、量角器等工具，步骤包括确定平移方向、确定平移距离、标记对应点、依次标记、连接对应点。平移的判定条件包括对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等、对应角相等。平移的证明方法包括标记对应点、证明对应点连线平行且相等、证明对应线段平