3 专题三 课后检测能力达标

课后检测·能力达标解答题1．(10分)(2025·宜春一模)【课本再现】九年级上册第51页探究3：

图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？

分析：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．(1)请你完成剩余部分．(3分)(2)【实际应用】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某市计划进行一场划龙舟比赛，如图是比赛途中经过的一座拱桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，已知水面的宽度OA为60m，拱桥最高点到水面OA的距离为9m，设桥拱上的点到水面的竖直高度为ym，到点O的水平距离为xm.①以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，求y与x的函数解析式；(3分)解：由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为(30，9)，可设拱桥所在抛物线的解析式为y＝k(x－30)2＋9，将(0，0)代入y＝k(x－30)2＋9，得900k＋9＝0，解得k＝－0.01，所以拱桥所在抛物线的解析式为y＝－0.01(x－30)2＋9.②据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为3m．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为8m，求最多可设计龙舟赛道的数量．(4分)解：当y＝2＋3＝5时，－0.01(x－30)2＋9＝5，解得x＝10或x＝50，所以可设计龙舟赛道的宽度为50－10＝40(m)，因为40÷8＝5，所以最多可设计5条龙舟赛道．图1备用图①②③④解：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，OA＝OB.因为∠AOB＝∠A1OC1＝90°，所以∠AOE＝∠BOF.又因为∠OAE＝∠OBF＝45°，所以△AOE≌△BOF(ASA)，故①正确．因为∠EBF＝90°，所以EF2＝BE2＋BF2.因为AB＝BC，AE＝BF，所以BE＝CF，所以EF2＝AE2＋CF2，故④正确．故答案为：①②③④【类比迁移】(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明．(4分)图2解：AE2＋CF2＝EF2.证明：如图，连接AC.因为O为矩形中心，所以AC过点O，且AO＝CO.延长EO交DC于点E′.因为AB∥CD，所以∠BAC＝∠ACE′.又因为∠AOE＝∠COE′，所以△AOE≌△COE′(ASA)，所以AE＝CE′，EO＝E′O.因为四边形A1B1C1O是矩形，所以∠EOF＝90°＝∠FOE′，所以FO垂直平分EE′，所以EF＝E′F.因为在Rt△FCE′中，CE′2＋FC2＝E′F2，所以AE2＋CF2＝EF2.【拓展应用】(3)如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE＝2cm时，求线段EF的长度．(5分)图3解：设CF＝