数学新导学选修2-2人教A版课时作业13合情推理

课时作业13合情推理|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()A．2B．4C．6D．8解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.答案：C2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇＝()A.eq\f(r2,2)B.eqB.\f(l2,2)C.eq\f(lr,2)D．不可类比解析：扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S扇＝eq\f(1,2)lr.答案：C3．根据给出的数塔猜测×9＋7等于()A．B．C．D．解析：由1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1111；1234×9＋5＝；…归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，∴×9＋7＝.答案：B4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：C5．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30解析：把1,3,6,10,15,21，…依次记为a1，a2，…，则可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，a6－a5＝6，∴a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大7．观察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…照此规律，第五个不等式为________．解析：归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．所以第五个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)8．根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．解析：观察图形的变化规律可得：图(2)从中心点向两边各增加1个点，图(3)从中心点向三边各增加2个点，图(4)从中心点向四边各增加3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增加(n－1)个点，易得答案：1＋n·(n－1)＝n2－n＋1.答案：n2－n＋1三、解答题(每小题10分，共20分)9．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线；…，由此猜想凸n边形有几条对角线？解析：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)多对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差数列求和公式可得eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．所以凸n边形的对角线条数为eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．10．从大、小正方形的数量关系上，观察如图所示的几何图形，试归纳得出的结论．解析：从大、小正方形的数量关系上容易发现：1＝12，1＋3＝2×2＝22，1＋3＋5＝3×3＝32，1＋3＋5＋7＝4×4＝42，1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.|能力提升|(20分钟，40分)11．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.答案：C12．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A－BCD的内切球半径为R，则三棱锥的体积VA－BCD＝________.解析：内切圆半径req\o(→,\s\up7(类比))内切球半径R，三角形的周长：a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(类比))三棱锥各面的面积和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，三角形面积公式系数eq\f(1,2)eq\o(→,\s\up7(类比))三棱锥体积公式系数eq\f(1,3).∴类比得三棱锥体积VA－BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．答案：eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)13．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an.解析：因为Sn＝n2·an(n≥2)，a1＝1，所以S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝eq\f(1,3)＝eq\f(2,3×2).S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝eq\f(a1＋a2,8)＝eq\f(1,6)＝eq\f(2,4×3).S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝eq\f(a1＋a2＋a3,15)＝eq\f(1,10)＝eq\f(2,5×4).所以猜想an＝eq\f(2,nn＋1).14．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．解析：猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).猜想正确．如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在R