高三数学（理）一轮复习习题听课-第三单元-三角函数解三角形

第三单元三角函数、解三角形第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课前双击巩固1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

(2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角.

(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S=.

2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.

(2)公式:角α的弧度数的绝对值|α|=lr(弧长用l表示角度与弧度的换算①1°=π180rad,②1rad=180π°弧长公式弧长l=

扇形面积公式S=12lr=123.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=,cosα=,tanα=yx(x≠0)(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3161中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α的、和.

图3161常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角题组一常识题1.[教材改编]终边在射线y=3x(x<0)上的角的集合是.

2.[教材改编](1)67°30'=rad;

(2)π12=°3.[教材改编]半径为120mm的圆上长为144mm的弧所对圆心角α的弧度数是.

4.[教材改编]若角α的终边经过点P(1,2),则sinαcosα+tanα=.

题组二常错题◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.5.在△ABC中,若sinA=22,则A=6.已知点P(sinαcosα,tanα)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围是.

7.已知角α的终边落在直线y=3x上,则|sinα|sin8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为cm2.

课堂考点探究探究点一角的集合表示及象限角的判定1(1)设集合M=xx=k2·180°+45°,k∈Z,N=xx=k4·180°+45°,k∈Z,那么 ()A.M=N B.M⊆NC.N⊆M D.M∩N=⌀(2)已知角α的终边在图3162中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是.

图3162[总结反思]把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限.式题(1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=60°,则β=.

(2)若角α的终边在x轴的上方,则α2是第象限角探究点二扇形的弧长、面积公式2(1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是.

(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是.

[总结反思]应用弧度制解决问题的方法:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.式题(1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ()A.π3 B.π6 C.π3(2)圆内接矩形的长宽之比为2∶1,若该圆上一段圆弧的长等于该内接矩形的宽,则该圆弧所对圆心角的弧度数为.

探究点三三角函数的定义考向1三角函数定义的应用3(1)[2017·西安一模]函数y=loga(x3)+2(a>0且a≠1)的图像过定点P,且角α的终边过点P,则sinα+cosα的值为 ()A.75 B.C.55 D.35(2)[2017·北京卷]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则sinβ=[总结反思]三角函数定义主要应用于两方面:(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.考向2三角函数值的符号判定4(1)使lg(sinθ·cosθ)+-cosθ有意义的θ为 (A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)若角α的终边落在直线y=x上,则sinα|cosα|[总结反思]要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解.考向3三角函数线的应用5函数f(x)=1-2cosx+lnsinx22的定义域为[总结反思]利用三角函数线解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sinx≥b,cosx≥a,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.强化演练1.【考向1】点P从点22,22出发,沿单位圆按逆时针方向运动3π4后到达Q点,若α的始边在x轴的正方向上,终边在射线OQ上,则sinα= (A.1 B.1 C.22 D.2.【考向2】已知角α的终边在第一象限,点P(12a,2+3a)是其终边上的一点,若cosα>sinα,则实数a的取值范围是.

3.【考向3】满足cosα≤12的角α的集合为第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课前双击巩固1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.

(2)商数关系:.

2.诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角α+2kπ(k∈Z)π+ααπαπ2π2正弦sinα

sinαcosαcosα余弦cosα

cosα

sinα

正切tanα

tanα口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限常用结论1.sin(kπ+α)=(1)ksinα.2.在△ABC中:(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=cosC,tan(A+B)=tanC;(2)sinA+B2=cosC2,cosA+题组一常识题1.[教材改编]已知cosα=1213,且α是第四象限角,则sinα的值为2.[教材改编]已知sinα-2cosα3sinα+5cosα=53.[教材改编]已知sinα=33,则cos3π24.[教材改编]求值:sin(1200°)·cos1290°=.

题组二常错题◆索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;kπ±α形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错.5.已知△ABC中,cosAsinA=125,则cos6.已知cos32π+α=35,且α是第四象限角,则cos(3π+α)=.

7.已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5,则sin2α8.已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(k课堂考点探究探究点一三角函数的诱导公式1(1)已知f(α)=sin(2π-α)cosπ2+A.12 B.C.32 D.(2)[2017·邢台一中月考]已知cos(75°+α)=13,则sin(α15°)+cos(105°α)的值是 (A.13 B.C.13 D.[总结反思](1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.式题(1)[2017·龙岩六校联考]sin300°+tan600°的值是 ()A.32 B.C.12+3 D.12(2)若sinπ4α=13,则cosπ4+α=.

探究点二同角三角函数的基本关系考向1切弦互化2(1)[2017·亳州三模]已知x∈π2,π,tanx=43,则cosxπ2等于 ()A.35 B.C.45 D.(2)[2017·江西重点中学一联]设0<α<π,且sinα+π4=35,则tanα+π4的值是 ()A.34 B.C.43 D.[总结反思]同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系tanα=sinαcosα和平方关系1=sin2α+考向2“1”的变换3(1)[2017·常德一中期中]已知tanx=2,则2sin2xsinxcosx+cos2x的值为.

(2)[2017·桂林模拟]已知sinxcosx=15,x∈0,π2,则tanx=.

[总结反思]对于含有sin2x,cos2x,sinxcosx的三角函数求值题,一般可以考虑添加分母1,再将1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tanα的式子,从而求解.考向3和积转换4若sinα+cosα=13,0<α<π,则sinπ2+α·cosπ2α的值为.

[总结反思]对于sinα+cosα,sinαcosα,sinαcosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα可以达到转换、知一求二的目的.强化演练1.【考向1】已知cosx+sinx=15,x∈(0,π),则tanx等于 (A.43 B.C.2 D.22.【考向2】若tanα=2,则4sin2α3sinαcosα5cos2α=.

3.【考向3】若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为.

第18讲三角函数的图像与性质课前双击巩固正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域RRxx∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z值域

周期性2π2ππ奇偶性

奇函数单调性2kππ2,2kπ+π2上为增函数;上为减函数

[2kπ,2kπ+π]上为减函数;上为增函数

kππ2,kπ+π2上为增函数对称中心

kπ+π2,0kπ2,0对称轴x=kπ+π

无常用结论1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π|ω|,函数y=tan(ωx+φ)2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期3.三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式.题组一常识题1.[教材改编]函数y=2sin(2x1)的最小正周期是.

2.[教材改编]若函数y=Asinx+1(A>0)的最大值是3,则它的最小值是.

3.[教材改编]函数y=2cosx在[π,0]上是函数,在[0,π]上是函数.

4.[教材改编]函数f(x)的定义域为[0,1],则f(cosx)的定义域为.

题组二常错题◆索引:忽视y=Asinx(或y=Acosx)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视限制条件.5.函数y=12cosx的单调递减区间是.

6.函数y=cosxtanx的值域是.

7.函数y=cos2x+3cosx1的最大值为.

8.设sinx+siny=13,则M=sinx+sin2y1的最大值与最小值分别为课堂考点探究探究点一三角函数的定义域1(1)函数f(x)=1+log12x+tanx+π4(2)函数y=lg(sinx)+cosx-1[总结反思]求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式(组),借助三角函数线或三角函数图像来求解.式题(1)函数y=sinx-cosx(2)函数f(x)=2tan2x+π6的定义域是.

探究点二三角函数的值域或最值2(1)函数y=2sinπx6π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ()A.23 B.0C.1 D.13(2)函数y=cos2x+2cosx的值域是 ()A.[1,3] B.-C.-32,-1[总结反思]常见三角函数值域(最值)问题的求解方法:①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数,化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可设t=sinx,化为关于t的二次函数求值域(最值);③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).

式题(1)函数y=|sinx|+sinx的值域为 ()A.[1,1] B.[2,2]C.[2,0] D.[0,2](2)函数y=cosxsinx+4sinxcosx的最大值是.

探究点三三角函数的性质考向1三角函数的周期性3(1)[2017·淮北一中期中]函数f(x)=sin3x+π4的最小正周期是.

(2)下列函数中,周期为π2的偶函数为 (A.y=sin4x B.y=cos2xC.y=tan2x D.y=sinπ24x[总结反思]对于函数y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k,其最小正周期T=2π考向2三角函数的对称性4(1)函数y=2sin2x+π3的图像 ()A.关于原点对称 B.关于点π6,0对称C.关于y轴对称 D.关于直线x=π6(2)[2017·潍坊三模]若直线x=54π和x=94π是函数y=cos(ωx+φ)(ω>0)图像的两条相邻对称轴,则φ的一个可能取值为 (A.3π4 BC.π3 D.[总结反思](1)对于函数y=Asin(ωx+φ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:①若函数图像相邻两条对称轴分别为x=a与x=b,则周期T=2|ba|;②若函数图像相邻两对称中心分别为(a,0),(b,0),则周期T=2|ba|;③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则周期T=4|ba|.考向3三角函数的单调性5(1)[2017·衡阳八中期中]在下列给出的函数中,以π为周期且在0,π2上是减函数的是()A.y=cosx2 B.y=cos(2xC.y=sin2x+π(2)已知ω>0,函数f(x)=cosωxπ4在π2,π上单调递减,则ω的取值范围是 ()A.12,54C.0,12 D.(0[总结反思](1)形如y=Asin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图像利用y=sinx的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.强化演练1.【考向2】[2017·三明质检]已知函数f(x)=sin(x+φ)3cos(x+φ)|φ|<π2的图像关于直线x=π对称,则cos2φ= ()A.32 B.C.12 D.2.【考向1】函数f(x)=2cos2xπ41是 ()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2D.最小正周期为π23.【考向2】如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点4π3,0中心对称,那么|φ|的最小值为()A.π6 B.C.π3 D.4.【考向3】函数f(x)=sin2x+π3的单调递减区间为.

第19讲函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课前双击巩固1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)AT=

f=1T

2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:x

ωx+φ

y=Asin(ωx+φ)0A0A03.函数y=sinx的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤图3191题组一常识题1.[教材改编]函数y=sinx的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.

2.[教材改编]某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sinx+π43.[教材改编]若函数f(x)=sinωx(0<ω<2)在区间0,π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω=.

4.[教材改编]已知简谐运动f(x)=2sinπ3x+φ|φ|<π2的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos2x+π3的图像,只需将函数y=sin2x的图像向6.设ω>0,若函数f(x)=sinωx2cosωx2在区间-π3,π37.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有fπ8+t=fπ8-t,且fπ88.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3192所示,则φ=.

图3192课堂考点探究探究点一函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换1(1)[2016·全国卷Ⅰ]将函数y=2sin2x+π6的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为 ()A.y=2sin2x+π4 B.y=2sin2x+π3C.y=2sin2xπ4 D.y=2sin2xπ3(2)[2018·安徽江南十校联考]函数y=cos2x的图像可以由函数y=sin2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是 ()A.向左平移π2B.向右平移π2C.向左平移π4D.向右平移π4[总结反思]由y=sinx的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于式题(1)[2017·雅安三诊]把函数y=sinx的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移π6个单位长度,所得图像的函数解析式为 ()A.y=sin2x-πC.y=sinx2-π(2)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像,可以将函数y=2cos3x的图像 ()A.向右平移π12B.向右平移π4C.向左平移π12D.向左平移π4探究点二函数y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式2(1)[2017·马鞍山三模]已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,π<φ<0)的部分图像如图3193所示,则φ=.

图3193(2)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)M>0,|φ|<π2的部分图像如图3194所示,其中A(2,3)(点A为图像的一个最高点),B52,0,则函数f(x)=.

图3194[总结反思]利用图像求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3195所示,且Aπ2,1,B(π,1),则φ值为.

图3195探究点三函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质3(1)[2017·惠州模拟]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f(x)的图像向左平移π3个单位长度后所得图像过点P(0,1),则函数f(x)=sin(ωx+φ) ()A.在区间-πB.在区间-πC.在区间-πD.在区间-π(2)[2017·西宁二模]函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3196所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=22,则该函数图像的一条对称轴为 ()图3196A.x=π2 B.x=C.x=2 D.x=1[总结反思]求y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的一般步骤.(1)求A,B.确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,(2)求ω.确定函数的周期T,则ω=2π(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题[2017·长安一中质检]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3197所示,若f(0)=3,且AB·BC=π288,B,C分别为最高点与最低点.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若将f(x)的图像向左平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,π2上的最大值和最小值.图3197

探究点四三角函数模型的简单应用4有一个半径为4m的水轮(如图3198),水轮的圆心O距离水面2m,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P从水中浮现(即到达图中点P0)时开始计时.(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P距水面的高度超过4m.图3198

[总结反思](1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=Asin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)把实际问题“翻译”为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,最后把数学结论“翻译”为实际问题的答案.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6(x6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的月平均气温为℃.

第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切课前双击巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)=.

(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.

(3)公式T(α±β):tan(α±β)=.

常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.二倍角余弦公式的变形:sin2α=1-cos2α2,cos3.一般地,函数f(α)=asinα+bcosα(a,b为常数)可以化为f(α)=a2+b2sin(α+φ)其中tanφ=ba或f(α)题组一常识题1.[教材改编]sin75°的值为.

2.[教材改编]已知cosα=35,α∈π2,π,则sinα+π33.[教材改编]cos65°cos115°cos25°·sin115°=.

4.[教材改编]已知tanα=13,tanβ=2,则tan(αβ)的值为题组二常错题◆索引:忽略角的范围,用错公式的结构;用错两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.5.已知tan5π4+α=17,α∈π2,π,则cosα的值是.

6.化简:12sinx32cosx=7.计算:1-tan15°8.若α+β=3π4,则[1+tan(πα)](1tanβ)的值为课堂考点探究探究点一两角和与差的三角函数公式1(1)若sin(α+β)=2sin(αβ)=12,则sinαcosβ的值为 ()A.38 B.C.18 D.(2)[2017·惠州模拟]已知α∈0,π2,cosα+π3=23,则cosα=.

[总结反思]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.式题(1)[2017·德州二模]已知cosα=35,cos(αβ)=7210,且0<β<α<π2,那么β= A.π12 B.C.π4 D.(2)[2017·肇庆二模]已知tanα,tanβ分别是lg(6x25x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)=.

探究点二两角和与差公式的逆用与变形2(1)[2017·常德一中期中]已知sinα+cosβ=13,sinβcosα=12,则sin(αβ)=(2)[2017·长沙三模]已知αβ=π3,tanαtanβ=3,则cos(α+β)的值为[总结反思]常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);(2)asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ)tanφ=式题(1)[2017·淮北一中期中]sin42°cos18°cos138°cos72°=.

(2)(1+tan20°)(1+tan21°)(1+tan24°)(1+tan25°)=.

探究点三角的变换问题3(1)[2017·宜春四校联考]已知tan(α+β)=25,tanβπ4=14,则cosα+sinαcosαA.1318 B.16 C.1322 (2)[2017·龙岩六校联考]已知π6<α<2π3,0<β<π3,cosπ3+α=35,sin2π3+β=513,则sin([总结反思]常见的角变换:π2±2α=2π4±α,2α=(α+β)+(αβ),α=α+β2+α-β2,π3+α=式题(1)已知tanα=12,tan(αβ)=25,那么tan(2αβ)的值为 (A.34 B.C.98 D.(2)[2017·运城模拟]已知α为锐角,若sinαπ6=13,则cosαπ3= ()A.3+28 BC.26+16 第21讲二倍角公式与简单的三角恒等变换课前双击巩固1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=.

(2)公式C2α:cos2α===.

(3)公式T2α:tan2α=.

2.常用的部分三角公式(1)1cosα=,1+cosα=.(升幂公式)

(2)1±sinα=.(升幂公式)

(3)sin2α=,cos2α=,

tan2α=.(降幂公式)

(4)sinα=2tanα21+tan2α2,cosα=,(5)asinα+bcosα=,其中sinφ=ba2+b2,cosφ=3.三角恒等变换的基本技巧(1)变换函数名称:使用诱导公式.(2)升幂、降幂:使用倍角公式.(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tanπ4(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.常用结论半角公式:sinα2=±1-cosα2,cosα2=±1+cosα2,tan题组一常识题1.[教材改编]sin15°3cos15°的值是.

2.[教材改编]已知f(x)=sin2x12(x∈R),则f(x)的最小正周期是3.[教材改编]已知cos(α+β)=13,cos(αβ)=15,则tanαtanβ的值为4.[教材改编]已知sinθ=35,θ为第二象限角,则sin2θ的值为题组二常错题◆索引:求三角函数值时符号的选取(根据求解目标的符号确定);已知三角函数值时求角的范围;asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ)5.sin112.5°=.

6.已知α,β均为锐角,且tanα=7,tanβ=43,则α+β=7.化简sinαcosα=2sin(α+φ)中的φ=.

8.已知sin2α=34,2α∈0,π2,则sinαcosα=.

课堂考点探究探究点一三角函数式的化简1(1)1+sin6+1-sin6= (A.2sin3 B.2sin3C.2cos3 D.2cos3(2)[2017·重庆一中段考]已知α∈R,则函数f(x)=1sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)的最大值为.

[总结反思](1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升幂的作用.(3)当角α的终边在直线y=x的上方区域时,sinα>cosα;当角α的终边在直线y=x的下方区域时,sinα<cosα.式题[2017·合肥一模]已知sin2α2=2cos2α,则sin2α+sin2α=.

探究点二三角函数式的求值考向1给值求值2(1)[2017·厦门一中模拟]已知cosθ=725,θ∈(π,2π),则sinθ2+cosθ2=(2)已知cosxπ3=13,则cos2x5π3+sin2π3x的值为 ()A.19 B.19 C.53[总结反思]给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.考向2给角求值3求值:cos20°cos35°1-sin20A.1 B.2C.2 D.3[总结反思]该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.考向3给值求角4已知π2<α<π,π<β<0,tanα=13,tanβ=17,求2α+β

[总结反思]通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为π2,π2,则选正弦较好.强化演练1.【考向1】[2017·郑州质量预测]已知cos23π2θ=79,则sinπ6+θ的值等于 ()A.13 B.±13 C.19 2.【考向3】[2018·六安一中月考]若sin2α=55,sin(βα)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2则α+β的值是 (A.7π4 B.9π4 C.5π4或73.【考向1】[2017·黄冈期末]若sinα+cosαsinα-cosα=124.【考向2】[2017·淮北第一中学期中]2sin46°-3cos74探究点三三角恒等变换的综合应用5[2017·赣州二模]已知函数f(x)=sinωxcosωx3cos2ωx+32(ω>0)图像的两条相邻对称轴之间的距离为π2(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若函数y=f(x)13在(0,π)上的零点为x1,x2,求cos(x1x2)的值

[总结反思](1)求三角函数解析式y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号.式题已知函数f(x)=2sinx(3cosxsinx).(1)求函数f(x)在π6,π3上的值域;(2)在△ABC中,f(C)=0,且sinB=sinAsinC,求tanA的值.

第22讲正弦定理和余弦定理课前双击巩固1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA===2R(其中R是△ABCa2=,

b2=,

c2=

定理的变形a=2RsinA,b=,c=,

a∶b∶c=

cosA=,

cosB=,

cosC=

2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数

3.三角形面积公式(1)S=12ah(h表示边a上的高(2)S=12bcsinA=12acsinB=12absin(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径)常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;变形:A+B2=2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=cosC;(3)sinA+B2=cosC2;(4)cosA+3.三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.题组一常识题1.[教材改编]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于.

2.[教材改编]在△ABC中,已知a=5,b=23,C=30°,则c=.

3.[教材改编]在△ABC中,已知a2c2+b2=ab,则C等于.

4.[教材改编]在△ABC中,已知a=32,b=23,cosC=13,则△ABC的面积为题组二常错题◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在△ABC中,若sinA=sinB,则A,B的关系为;若sinA>sinB,则A,B的关系为.

6.在△ABC中,若A=60°,a=43,b=42,则B等于.

7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=,△ABC的面积等于.

8.在△ABC中,角A,B,C满足sinAcosCsinBcosC=0,则三角形的形状为.

课堂考点探究探究点一利用正弦﹑余弦定理解三角形1[2017·成都三诊]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ca=2bcosA.(1)求角B的大小;(2)若b=23,求a+c的最大值.

[总结反思](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.式题(1)[2017·合肥二模]在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(ab)(sinA+sinB)=(cb)sinC,若a=3,则b2+c2的取值范围是 ()A.(5,6] B.(3,5)C.(3,6] D.[5,6](2)[2017·天津南开区三模]如图3221,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=3BD,BC=2BD,则sinC的值为.

图3221探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状2[2017·襄阳五中一模]如图3222所示,图3222在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.

[总结反思]判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.式题在△ABC中,若sinA=2cosBsinC,则△ABC的形状是.

探究点三与三角形面积有关的问题3[2017·山西吕梁一模]已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2Bcos2Csin2A=sinAsinB,sin(AB)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=2,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.

[总结反思](1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sinAsinB)=(cb)(sinC+sinB).(1)求角C;(2)若c=7,△ABC的面积为332,求△ABC

第23讲正弦定理和余弦定理的应用课前双击巩固1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的和目标视线的夹角,目标视线在水平视线的叫仰角,目标视线在水平视线的叫俯角,如图3231(a)所示.

2.方位角:指从顺时针转到目标方向线的水平角,如图3231(b)中B点的方位角为α.

图32313.方向角:相对于某正方向的,如北偏东α,即由正北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3231(c)),其他方向角类似.

4.坡角:坡面与所成的二面角的度数(如图3231(d)所示,坡角为θ).

坡比:坡面的铅直高度与之比(如图3231(d)所示,i为坡比).

题组一常识题1.[教材改编]海上有A,B,C三个小岛,A,B相距53海里,从A岛望C和B成45°视角,从B岛望C和A成75°视角,则B,C两岛间的距离是海里.

2.[教材