17.3.2 勾股定理的应用（题型专练）（原卷版）

17.3.2勾股定理的应用基础达标练题型一用勾股定理解决河宽问题题型二用勾股定理解决梯子滑动问题题型三用勾股定理解决旗杆高度问题题型四用勾股定理解决小鸟飞行问题题型五用勾股定理解决大树折断前高度问题题型六用勾股定理解决杯中筷子问题题型七用勾股定理解决地毯长度问题题型八用勾股定理解决最短路径问题题型九用勾股定理解决选址问题题型十用勾股定理解决其他问题能力提升题题型一用勾股定理解决航海问题题型二用勾股定理解决台风影响问题题型三用勾股定理解决超速问题基础达标练题型一用勾股定理解决河宽问题1．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（

）A． B． C． D．2．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（）A．7km B．6km C．5km D．2km3．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（

）A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米4．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．(1)求支渠的长度．（结果保留根号）(2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？题型二用勾股定理解决梯子滑动问题5．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（

）米A．8 B．7 C．6 D．56．如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（

）A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米7．如图，一架长13米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙12米．(1)此时梯子顶端离地面多少米？(2)若梯子顶端上移2米，那么梯子底端将向右滑动多少米？8．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．(1)求风筝的垂直高度．(2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？题型三用勾股定理解决旗杆高度问题9．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米10．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（

）A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米11．如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆的高度，他发现绳子刚好比旗杆长1米，若把绳子往外拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆底端的距离恰好为，求旗杆的高度．12．某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）：项目主题测量旗杆的高度测量步骤如图，线段AB表示学校旗杆．步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度；步骤二：用手握住绳梢在地面移动，并逐步远离旗杆底部，直到绳子拉直到不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离（CD的长度）；步骤三：用皮尺测量点C与旗杆之间的距离（CE的长度）测量数据绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度CD的长度CE的长度2m1m9m……请你帮助该小组根据表中的测量数据，求出学校旗杆AB高度．题型四用勾股定理解决小鸟飞行问题13．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（

）米．A．17 B．15 C．10 D．814．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（）A．米 B．米 C．米 D．米15．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？16．在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内．(1)求风筝离地面的垂直高度；(2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明．题型五用勾股定理解决大树折断前高度问题17．《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（

）A． B．C． D．18．如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（

）A． B． C． D．19．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，(1)如图1，求木杆折断之前的高度；(2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长．20．如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．题型六用勾股定理解决杯中筷子问题21．如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（

）

A． B． C． D．22．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．23．印度数学家什迦罗（1141年～1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上一尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位五尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识解答这个问题．24．如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．

题型七用勾股定理解决地毯长度问题25．如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（

）A． B． C． D．26．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（

）

A．65 B．85 C．90 D．15027．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？28．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．

题型八用勾股定理解决最短路径问题29．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（

）

A． B． C． D．30．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（

）．A． B． C．3 D．931．如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（

）A． B． C． D．32．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺．题型九用勾股定理解决选址问题33．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（

）A．AB的中点 B．BC的中点C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点34．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km．A．5 B．10 C．15 D．2535．如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为300米，到公交站（点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（点），使之到学校及到车站的距离相等，求商店与车站之间的距离．36．如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站．(1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？(2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为．题型十用勾股定理解决其他问题37．某校预建如图1所示自行车棚，钢架已完成，现需要棚顶覆盖铁皮，图2是自行车棚顶的示意图．已知，棚宽米，棚高米，棚长米．求一个车棚顶需要的铁皮面积．（车棚顶铁皮褶皱忽略不计，车棚最顶端梁脊不用铁皮）38．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．39．如图是一台手机支架的示意图．，可分别绕点A，B转动，测得，，若，，垂足分别为点B，E，，求点D到的距离．40．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．(1)请求出的长度；(2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．．题型一用勾股定理解决航海问题41．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（

）A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时42．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（

）海里/小时A． B． C．40 D．2043．如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？44．禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西．(1)求甲巡逻艇的航行方向；(2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？45．如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上．(1)求的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？46．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米．(1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？(2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？题型二用勾股定理解决台风影响问题47．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（

）个小时开始受到台风影响．A． B． C．6 D．48．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒．49．如图，在A地往北的B处有一栋民房，往东的C处有一变电设施，在的中点D处有一古建筑，因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房、变电设施、古建筑都不遭破坏，问爆破影响的半径应控制在什么范围之内？题型三用勾股定理解决超速问题50．滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？51．行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（）52．小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米．(1)请你将小明对思考题的解答补充完整：解：设点将向外移动，即．则，．在中，，，可得方程，解方程，得，答：点将向外移动(2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题：①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．53．综合与实践问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．强强设计的铺设管道方案如下：方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．(1)施工人员测量的是点与点之间的距离．(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．54．综合与实践：在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知识，并对购物车的支架等进行测量