2025-2026学年上海莘庄中学高二上学期数学期中试卷及答案（2025.11）（含答案）

参考答案一、填空题1.假；2.；3.；4.；5.外；6.；7.；8.；9.；10.；11.①②④；12.；11.下列选项中，正确的是______．①若两条不同直线的方向向量为，，则②若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心③若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底④若空间向量共面，则存在不全为0的实数使【答案】①②④【解析】对于①：两条不同直线的方向向量为，则与等价，即，故①正确；

对于②：已知是空间向量的一组基底，且，则，故

设点为的中点，整理得，所以，所以点在平面内，且点为的重心，故②正确；

对于③：由于是空间向量的一组基底，且，故不是空间向量的一组基底，故③错误；

对于④：由空间向量共面定理知：空间向量，共面，则存在不全为0的实数使，故④正确．故答案为：①②④．12.正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是______．【答案】【解析】设球心为，作平面，垂足为，则为等边三角形的中心．,．

设内切球的半径为，则，解得．

设该四面体的外接球的半径为，则．

解得．由题意是直径的两端点，可得，

即求正四面体表面上的动点到的距离的范围．

当位于（切点）时，取得最小值；

当位于处时，即为正四面体外接球半径最大，即为

综上可得的最小值为，最大值为．

则的取值范围是．故答案为：．二、选择题13.B；14.C；15.A；16.D15.某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为，高为，

因为圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，

所以，解得，所以，

设该圆锥内切球的半径为，作出轴截面如图所示，其中为内切球的球心，为圆锥底面的圆心，，为切点，

则，则，开，解得，

所以该圆锥的内切球的体积故选：16.在正方体中，点分别是线段，上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有，则下列结论正确的是（）A.①②均正确 B.①②均不正确C.①正确，②不正确 D.①不正确，②正确【答案】D【解析】对于①，如图，连接

在正方体体，有正方形，所以，

又，所以四边形为平行四边形，故确定唯一的平面，

又平面平面，所以

又平面，所以平面

因为平面，所以对任意点，都有，只有与重合符合题意，与不为端点矛盾，故对任意点，不存在点，使得，故①不正确；

对于②，如图，连接交于，连接，由①得平面，又，所以四边形为平行四边形，所以，则平面，因为平面，所以又因为正方形，所以，又平面平面，所以，

因为平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以

于是当点与重合时，存在点，对任意的，均有，故②正确．

故选：D．三、解答题17.（1）证明略（2）18.（1）-3或0（2）或19.（1）180000cm³（2）85.2元20.如图，在菱形中，，与相交于点，平面，，．（1）求证：平面；（2）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证：；（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成的余弦值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）证明：因为四边形是菱形，所以，

因为平面平面，所以．

因为平面平面，

所以平面；

（2）证明：因为平面，

所以直线与平面所成的角为，即.

在等边中，，所以Rt中，所以．

过作交于点，所以Rt中，，

Rt中，，Rt中，，

所以；（3）取边的中点，连接，易得且，为所求的角或其补角，而在Rt中，

Rt中，

所以异面直线与所成的余弦值为．21.如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上．（1）证明：平面平面；（2）若二面角的正切值为，求的值；（3）点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）证明：因为是正三角形，且，所以，所以，

又是直角三角形，所以，取的中点，连接，则，且，因为，所以，即，且，

又，且平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

（2）连接，由（1）可得，所以就是二面角的平面角，即,

所以，

所以,在中，由正弦定理知，，

所以，所以．

（3）将