甘肃省白银市2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

第第页甘肃省白银市2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（）A．5种 B．6种 C．8种 D．9种2．在等差数列an中，a1+A．20 B．10 C．10 D．53．下列双曲线，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±1A．x24−y2=1 B．x4．已知C16x=A．4 B．3 C．5 D．15．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且BD=3BC，则AD=A．4AC−3ABC．43AC−6．已知函数fx是定义在R上的奇函数，若gx=fA．3 B．−3 C．1 D．−17．已知A2,0，B−1,1，动点Hx,y满足3HA=2HBA．x2+yC．x2+y8．元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（）A．1280 B．300 C．1880 D．1560二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分部分选对的得部分分有选错的得0分求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知虚数z满足z=−A．z的实部为−B．z的虚部为3C．zD．z在复平面内对应的点在第三象限10．已知(2−x)11A．aB．aC．aD．a11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线E:3xA．曲线E关于原点对称，且关于直线y=x对称B．曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2C．若Mx,y是曲线E上的任意一点，则3y−x的最大值为D．已知P1,1，直线y=kxk>0与曲线E交于A,B两点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有种选择.13．已知F为抛物线C:y2=8x的焦点，A为抛物线C上一点．若AF=11，则点F的坐标为，点14．已知ω∈N+，函数fx=sinωx+π四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知O为坐标原点，抛物线C:x2=2py（1）求抛物线C的标准方程；（2）M,N为抛物线C上的两点，若直线MN与y轴垂直，且△OMN为等腰直角三角形，求△OMN的面积.16．已知x+2（1）求n的值；（2）求展开式中x4（3）求二项式系数最大的项.17．在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；（2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；（3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生.18．已知双曲线C:x2a2−y212=1（1）求双曲线C的离心率；（2）若线段AB的中点坐标为3,3，求直线l的斜率；（3）直线l经过双曲线C的右焦点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求直线l的方程.19．若椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0，B10,b，B20,−b，P为椭圆Γ上异于点B1（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若椭圆Γ为“内含椭圆”，求椭圆Γ的标准方程；（3）若椭圆Γ为“内含椭圆”，H为椭圆Γ上一点，M510,0，且存在实数λ，使得H

答案解析部分1．【答案】B【解析】[【解答】解：由分步计数原理，则得出不同的选择方案共有2×3=6种.故答案为：B.【分析】利用已知条件和分步乘法计数原理，从而求出不同的选择方案种数.2．【答案】D【解析】【解答】解：根据题意，得a1+a故答案为：D.【分析】利用等差中项公式结合已知条件得出a203．【答案】C【解析】【解答】解：由x24−y2由y23−x212=1、y24故答案为：C.【分析】根据双曲线的标准方程判断出焦点位置，则判断出选项A和选项B；利用双曲线的焦点位置确定出渐近线方程，则可判断选项C和选项D，进而找出正确的选项.4．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意，得出x=2x+1或x+2x+1=16，

解得x=−1（舍去）或x=5.故答案为：C.【分析】由组合数公式和已知的等量关系，从而列方程得出x的值.5．【答案】B【解析】【解答】解：AD=故答案为：B.【分析】利用向量加减、数乘的几何意义，从而用AC,AB表示出6．【答案】A【解析】【解答】解：∵gx=fx+2∴gx由fx是定义在R上的奇函数，得f∴gx∴g3又因为g3=1，∴故答案为：A.【分析】根据fx是奇函数得到gx与g−x的关系式，再由g7．【答案】C【解析】【解答】解：因为3HA=2则3x−22+y2故答案为：C.【分析】根据题意结合两点距离公式，从而得出曲线C的方程.8．【答案】D【解析】【解答】解：将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2．当各组人数为1，1，1，3时，共有C6当各组人数为1，1，2，2时，共有C6故不同安排方法有480+1080=1560种．故答案为：D.【分析】利用先分组再分配的方法结合排列数、组合数公式，再根据分类加法计数原理得出不同的安排方法种数.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由z=−12所以z的实部为−12,z则z在复平面内对应的点(−1故答案为：ACD.【分析】根据共轭复数的定义得出复数z，则得出复数z的实部和虚部，从而判断选项A和选项B；利用复数求模公式判断出选项C；利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，从而判断出点所在的象限，则判断出选项D，进而找出正确的选项.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：令x=0，得a0令x=1，得a0+令x=−1，得a0−由①−②得a1令x=2，得a0则2×a得a1故答案为：ACD.【分析】利用赋值法结合已知条件得出a0的值和a0+a1+a2+⋯+11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：根据曲线方程，

若点x,y在曲线E上，易知点−x,−y,y,x都满足曲线E所以曲线E关于原点对称，且关于直线y=x对称，故A正确；令第一象限点x,y在曲线E上，则3x因为xy≤x2+y22，则所以曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2，故B正确；由曲线E的对称性知，当Mx,y位于第二象限时，3y−x所以3x2+3将x=3y−t代入3x2+3故Δ=(20t)2−4×36×3由题意知点A,B关于原点对称，不妨设第一象限点Ax,y则B−x,−y且3则PA=PB=(PA==4xy所以PA+故答案为：ABD.

【分析】根据曲线上任意点x,y结合曲线方程判断−x,−y,y,x是否在曲线上，则判断出选项A；令第一象限点x,y在曲线E上得xy=3x2+3y2−82≤x2+y22，再利用基本不等式求最值的方法，从而求出x2+y212．【答案】10【解析】【解答】解：根据题意，可得小沉的选择种数为C5故答案为：10.【分析】根据题意可知两瓶香水没有顺序要求，则问题是组合数问题，再结合组合数公式得出小沉共有的选择种数.13．【答案】2,0；9【解析】【解答】解：由题意得抛物线C的焦点为F2,0，设Ax,y，

因为AF=x+2=11故答案为：2,0；9.【分析】由抛物线的几何性质可得焦点坐标；再由焦半径公式可求出点A的横坐标.14．【答案】10【解析】【解答】解：因为x∈π4,π3，所以ωx+π6∈πω4+π6,所以πω4+所以4+6k≥14+6k≥43当k=0时，ω∈4当k=1时，ω∈28故ω的最大值为10.故答案为：10.【分析】应用整体法结合正弦函数的单调区间列出不等式，即得43+8k≤ω≤4+6k，再结合ω∈N+得出15．【答案】（1）解：因为抛物线x2=2py的焦点F到准线的距离为所以p=1，故抛物线C的标准方程为x2（2）解：因为直线MN与y轴垂直，且△OMN为等腰直角三角形，

所以∠MON=90°，y轴的非负半轴为∠MON根据抛物线的对称性，不妨设点Mm,nm>0,n>0，

则N-m,n，则m所以点M的坐标为2,2，点N的坐标为-2,2，直线MN的方程为y=2，所以MN=4，点O到直线MN的距离为2故△OMN的面积S=1【解析】【分析】（1）根据焦点到准线的距离为p，再结合已知条件得出p的值，从而得出抛物线标准方程.（2）不妨设点Mm,nm>0,n>0，由已知条件列方程求出m,n的值，再结合三角形的面积公式得出（1）抛物线x2=2py的焦点F到准线的距离为所以p=1，故抛物线C的标准方程为x2（2）因为直线MN与y轴垂直，且△OMN为等腰直角三角形，所以∠MON=90°，y轴的非负半轴为根据抛物线的对称性，不妨设点Mm,nm>0,n>0，则则m2=2nn=m所以点M的坐标为2,2，点N的坐标为-2,2，直线MN的方程为y=2，所以MN=4，点O到直线MN的距离为2故△OMN的面积S=116．【答案】（1）解：由题意得n+1=9，解得n=8.（2）解：由（1）可知x+2x8令8−2k=4，解得k=2，则T3故展开式中x4（3）解：根据题意，可得二项式系数最大的项为T5【解析】【分析】（1）利用二项式展开式中共有n+1项结合已知条件，从而可得n的值.（2）利用二项式定理求出二项展开式的通项，令指数为4，则求出参数的值，再代入参数的值到通项，即可得出展开式中x4（3）根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得出的通项，从而得出二项式系数最大的项.（1）由题意得n+1=9，解得n=8.（2）由（1）可知x+2x8令8−2k=4，解得k=2，则T3故展开式中x4（3）根据题意可得二项式系数最大的项为T517．【答案】（1）解：先排2名指导老师，有A2再排2名女大学生，有C2最后排剩余的2名男大学生，有A2所以共有A2（2）解：先排2名指导老师和2名女大学生，有A4再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有C4最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有C4所以共有A4（3）解：先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有C2再排2名指导老师，有A2最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有A3所以共有C2【解析】【分析】（1）利用已知条件和分步乘法计数原理，即可得出2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻的站法种数.（2）利用已知条件和插空法结合分步乘法计数原理，则得出2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生的站法种数.（3）利用已知条件和捆绑法结合分步乘法计数原理，则得出2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生的站法种数.（1）先排2名指导老师，有A2再排2名女大学生，有C2最后排剩余的2名男大学生，有A2所以共有A2（2）先排2名指导老师和2名女大学生，有A4再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有C4最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有C4所以共有A4（3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有C2再排2名指导老师，有A2最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有A3所以共有C218．【答案】（1）解：将点H2,0的坐标代入C:x2a2故双曲线C的离心率e=1+（2）解：根据题意易得直线l的斜率存在，设Ax则x124整理得y1因为线段AB的中点坐标为3,3，

所以x1所以直线l的斜率k=y故直线l的方程为y−3=3x−3，即3x−y−6=0经检验，直线l与双曲线C相交，所以直线l的斜率为3.（3）解：由题意得双曲线C的右焦点为F4,0若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，则OA⋅当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，根据对称性不妨设A4,6,B4,−6，则OA=4,6则可设直线l的方程为y=kx−4由y=kx−4x2Δ=64所以x1因为OA=x1,y解得k=±15所以直线l的方程为y=±155x−4，

即为3​​​​​​​【解析】【分析】（1）将点H2,0的坐标代入双曲线方程得出a的值，再根据离心率公式e=1+b（2）设出点A,B坐标，代入双曲线方程，再利用点差法和中点坐标公式，即可求出直线l的斜率.（3）根据直线斜率是否存在进行分类讨论，当直线斜率存在时，设出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，再运用韦达定理和平面向量数量积为0，即可得出直线l的方程.（1）将点H2,0的坐标代入C:x2a2故双曲线C的离心率e=1+（2）根据题意易得直线l的斜率存在，设Ax则x124整理得y1因为线段AB的中点坐标为3,3，所以x1所以直线l的斜率k=y故直线l的方程为y−3=3x−3，即3x−y−6=0经检验，直线l与双曲线C相交，所以直线l的斜率为3.（3）由题意得双曲线C的右焦点为F4,0若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，则OA⋅当