湖北省重点高中智学联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

202512 “a2”,是直线l1:(a2)x2y10与直线l2:4xay10平行的 充要条 B.充分不必要条C.必要不充分条 D.既不充分也不必要条设a0，b0，直线ax+by-1=0经过圆C:x2y22x2y0的圆心，则12的最小值为 A． C．

A.2

B.

C.2

D.已知椭圆的中心在原点，离心率e程为

3x24y

3y2

B.xy21C.

3y2

D.x2y6.已知直线𝑙过定点𝐴(3,3,1)，且方向向量为𝑠=(0,1,1)，则点𝑃(4,3,2)到𝑙的距离为 A.

7.已知直线𝑙:y=𝑥+𝑚与圆𝐶:𝑥2+𝑦2=4交于𝐴,B两点，𝑂为坐标原点.若∠AOB≤90∘，则实数𝑚的取值范 A.2,C.[22,0]∪[2,2

B.22,2]∪[2,22D.22,22

(𝑥+

=

+

=1

+

=1A. B. C. D.3618.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.60→→ a,ac,a B.ab,bc,cC.2ab,a3b, D.2ac,a3b,c袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件𝐴={第一次摸到红球}，事件𝐵={第二次摸到红球}，事件𝐶={两个球颜色相同}。则下列结论正 P(A)= P(AC)=

P(A∪B)=D.事件A与事件B已知O为坐标原点,M5,1,点P、Q是抛物线C:y24x上两点，F为C的焦点，则下列说法中正确 B．△PMF周长的最小值为C．PF为直径的圆与y轴相 D．若直线PQ经过点F，则kOPkOQ 已知向量a1,0,1，b0,2,1，则向量𝑎在向量𝑏上的投影向量的坐标 已知椭圆𝑀：𝑎2+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别是𝐹1，𝐹2，𝐴(0,𝑏)△𝐴𝐹1𝐹2是面积为的正三角形．过𝐹1垂直于𝐴𝐹2的直线交椭圆𝑀于𝐵，𝐶两点，则△𝐴𝐵𝐶的周长 已知圆Cx2y22x2y70P(12)ABP且倾斜角为α

|AB|ABPAB16.如图，在空间四边形𝑂ABC中，2𝐵D=𝐷C，点𝐸为𝐴D的中点，设𝑂A=𝑎，𝑂B=𝑏，𝑂C=(1)试用向量𝑎，𝑏，𝑐表示向量(2)若𝑂A=𝑂C=4，𝑂B=2，∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求𝑂E⋅𝐴C5[5060)，[6070)，[70,80)，[8090，[90,100]根据直方图，求a

PABCD和四棱锥QABCDABCD为边长为3PAABCDQDABCDPAQD4PA平面QCD求直线QBPCDPABCD和四棱锥QABCD

已知双曲线𝐶:2−2=1(a>0,b>0)的焦距为25，1，2分别为其左、右焦点，𝑃为双曲线𝐶 点，且𝑃𝐹1⋅𝑃𝐹2的最小值是求双曲线𝐶的方程(2)记双曲线𝐶的左、右顶点分别为𝐴1，𝐴2，直线𝑙:x=𝑚y+3与𝐶的右支交于𝑀，𝑁求实数𝑚的取值范围若直线𝐴𝑀，𝐴𝑁的斜率分别为𝑘

2，证明：𝑘021填空题：12、 13、

55

14、 由题设通过双曲线的定义推出|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=8，利用|𝑀𝑃|≤|𝑃𝐹1|+|𝑀𝐹1|，|𝑃𝑁|≥|𝑃𝐹2|−|𝑁𝐹2|，推出|𝑃𝑀|−|𝑃𝑁|≤|𝑃𝐹1|+|𝑀𝐹1|−|𝑃𝐹2|−|𝑁𝐹2|，求出最大值．𝑥2解：在双曲线169=1∵𝑎=4，𝑏=3，𝑐=∴∵|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=2𝑎=∴|𝑀𝑃|≤|𝑃𝐹1|+|𝑀𝐹1|，|𝑃𝑁|≥∴−|𝑃𝑁|≤−|𝑃𝐹2|+所以，|𝑃𝑀|−|𝑃𝑁|≤|𝑃𝐹1|+|𝑀𝐹1|−|𝑃𝐹2|+=8+1+1=11.抛物线CF1,0x1PQxPQ与抛物线C只有一个交点，不合乎题意，Px1y1、Qx2y2，y2PQxmy1，联立xmy

y24my4016m2160y1y24my1y24PQxx2myy44m244 当且仅当m0PQ最小值为4，ABPPAx1A，由抛物线的定义可得PAPF，PF

PA

PA、MPF

PA

取最小值，且最小值为516△PMFPF

6

6

6 ，BCPFEx110PFx12x1 x11EyPFy轴相切，CDPQF

y1y2

y2y1

16

，D14.【解析】由𝐴𝐹1𝐹2面积为3，且其为正三角形，可得𝑎，然后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案．解：如图，设|𝑂𝐹2|=𝑐，则𝑎2=𝑏2+因△𝐴𝐹1𝐹2面积为43又|𝑂𝐴|=𝑏𝑏=⋅2𝑐⋅𝑏=

⇒𝑏=23，则𝑎=𝑐=又直线𝐵𝐶过𝐹1，与𝐴𝐹2△𝐴𝐹1𝐹2为正三角形，则直线𝐵𝐶为𝐴𝐹2中垂线，则|𝐴𝐵|=|𝐵𝐹2|，|𝐴𝐶|=|𝐶𝐹2|，又|𝐵𝐶|=|𝐵𝐹1|+|𝐹1𝐶|，故△𝐴𝐵𝐶的周长𝑙=|𝐵𝐹2|+|𝐵𝐹1|+|𝐹1𝐶|+|𝐹2𝐶|，又𝐶，𝐵在椭圆上，则由椭圆定义有𝑙=4𝑎=16．15.(1)|AB|

（2）2xy4【解析】(1)解：圆Cx1)2y1)29，则C(1,1)，半径r3，

AB则直线AB方程xy30 31则圆心到直线的距离d|113|3199r2d所以弦长|r2d

7（2）AB的斜率为k，根据条件可知CPAB则

1211 所以kAB2 10则直线AB的方程为y22(x1)，即2xy40 1316.(1)𝑂E=1𝑎+1𝑏+ （2）𝑂E⋅𝐴C

【解析】解：(1)∵2𝐵D=𝐷C∴𝐵D=3𝐵C=3𝑂C−𝑂B=3𝑐−𝑏 故𝑂D=𝑂B+𝐵D=𝑏+3𝑐−𝑏=3𝑏+ 42∵点𝐸2∴𝑂E

=1𝑎+1𝑏+ 7 由题意得𝑎⋅𝑐=8，𝑎⋅𝑏=4，𝑐⋅𝑏=4，𝐴C= 故𝑂E⋅𝐴C=(2𝑎+3𝑏+6𝑐) 10=−1𝑎2+1𝑐2+1𝑎⋅𝑐+1⋅1⋅

3

𝑐−3𝑏 =−2×16+6×16+3×8+3×4−3×= 1517.(1)a0.030，众数 中位数(2)（1所以[70,80)的频率为10.080.120.420.080.30所以a0.30.030 3众数：最高矩形对应区间为[8090)，中点即为众数中位数：累积频率达到0.5时，由频率分布直方图知中位数为 7（2）因为乙最终获胜，比分可能是202设乙2:0获胜为事件A，2:1获胜为事件B 9 2 若乙2:0获胜，则概率为P(A)1

1121 12 若乙2:1获胜，则概率为P(B) 14 33 18.(1)解析如下（2）1234（3）15

15【解析】(1)PAABCDQDABCDPAQD又因为PA平面QCD,QD平面QCD,所以PA//平面QCD AB,AD,APxyz由题意得:B3,0,0,P0,04,D0,3,0C3,30,Q0,34 6→nCDx,y,z3,0,03x0故→ nPDx,y,z0,3,43y4zx令y4得y4,故平面PCD的一个法向量为→0,4,3 9 z直线QBPCD所成角为

12

11QBQB34432324242所以直线QB与平面PCD所成角的正弦值12 12PQPAQDPAQDAPQDPDQAHPBCQPCQB相交,设交点为GPABCD和四棱锥QABCD重合部分为几何体GHABCDABCDMN,连接GMGNMN容易得到几何体GMNHAD几何体GHABCD由四棱锥GBMNC与三棱柱GMNHAD所以几何体GHABCD的体积V 1332321315 17

(1)4

=

【解析】解：(1)由题意知𝑥2设𝑃(𝑥,𝑦)，故0−0=0

𝑎2

𝑐2

则1⋅𝐹2=(−𝑐−𝑥0,−𝑦0)⋅(𝑐−𝑥0,−𝑦0)=𝑥0+𝑦0−𝑐=𝑎+𝑏2𝑦0+𝑦0−𝑐= 当𝑦2=0时，𝑃𝐹1⋅𝑃𝐹2取到最小值−𝑏2，即−𝑏2=−1，𝑏2=1，又因为焦距为25，则𝑐2−𝑎2=𝑏2=1，𝑎2=4 所以双曲线𝐶4

= 6(2)(𝑖)设𝑥=𝑚𝑦+