2025年哈尔滨铁道职业技术学院单招数学真题及解析汇编

哈尔滨铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目规定的.

1.若集合加={0,1},I={04,2,3,4,5}，则为()

A.{0,1}B.{2,345}C.{0,2,345}

D.{1,2,345}

2.函数)，=5tan(2x+l)的最小正周期为()

IFIT

A.-B.-C.7tD.2兀

42

3.函数=lg—的定义域为()

x-4

A.(1,4)B.[1,4)C.(-00,1)J(4,+oo)

D.(^o,l]v(4,+oo)

4

4.若tana=3,tanQ=—，则tan(a-/?)等于()

A.-3B.--C.3

3

D.-

3

u

5.设(f+i)(2x+l)9=4+4*+2)+4(X+2)2+・・+all(x+2)f

则4)+4+/+…+4的值为()

A.-2B.-1C.1

D.2

6.一袋中装有大小相似，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一

种球，共取2次，则获得两个球的编号和不不不小于15的概率为（）

A.—C

32,1

D.—

64

7.连接抛物线f=4），的焦点尸与点M（1,0）所得的线段与抛物线交于点A,设点。

为坐标原点，则三角形0AM的面积为（)

A.-1+V2B.--V2C.1+V2

2

D.-+V2

2

8.若0<x<],则下列命题对的的是（)

A•2

A.sinx<-xB.sinx>-xC.sinx<-x

717171

C.3

D.sinjc>—x

71

9.四面体A48的外接球球心在CD上，且C£>=2,AD=6,在外接球面上两点

A8间的球面距离是（）

A兀

A.-CD

6-T-T

4

10.设〃：/*）=1+2/+〃优+1在（-00,+8）内单调递增，，则〃是q的

)

A.充足不必要条件B.必要不充足条件

\C.充足必要条件D.既不充足也不必要条件

11.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不一样、内空高度相

等、杯口半径相等的毁@杯,如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的二

分之一.设剩余酒的礴灰左到右敝为h2,%,h4,则它们的大小关系对的的

是（^7°

"7u~nuin

CZ>XC^>cz^

A./^>/^>h4B.%%

C.7^>/?2>h4D.h2>hA>h｝

X~y21

12.设椭圆三+2=1（。>〃>0）的离心率为e=：,右焦点为F（c,0）,方程

crlr2

eve+bx-c=0的两个实根分别为王和々，则点P（%，/）（）

A.必在圆/+丁=2上B.必在圆/+_/=2外

C.必在圆/+V=2内D.以上三种情形均有也许

二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.请把答案填在答题卡上.

13.在平面直角坐标系中，正方形。48C的对角线08的两端点分别为0（0,0）,

5（1,1）,则.

14.已知等差数歹1」｛q｝的前〃项和为S”，若S12=21，则生+%+4+。”=

15.已知函数y=/（x）存在反国数），=尸。），若函数），=/（1+幻的图象通过点

（3,1），则函数），=（尤）的图象必通过点.

16.如图，正方体AC的棱长为1,过点作平面48。的垂线，垂足为点〃.有下列

四个命题

A.点”是△A3。的垂心

B.A"垂直平面

c.二面角C-AA-C的正切值为正

D.点〃到平面AAGA的距离为:

4

其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字阐明，证明过程或演算环

节.

17.(本小题满分12分)

cr+1(0<x<c)g

X满足

I2F(c^x<l)8

(1)求常数。的值；

(2)解不等式/a)¥+i.

O

18.(本小题满分12分)

JT

如图，函数y=2COS(GX+6)(XWR,g>0,()W。)的图

象与)，轴相交于点(0,6),且该函数的最小正周期为兀.

(1)求6和。的值;

(2)已知点4(^，0),点P是该函数图象上一点，点

。(如凡)是PA的中点，当为=当，小£T，兀时，求

%的值.

19.(本小题满分12分)

栽培甲、乙两种果树，先要培育成苒，然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苒的

概率分别为0.6,().5,移栽后成活的概率分别为().7,0.9.

(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苒的概率；

(2)求恰好有一种果树能培育感苒且移栽成活的概率.

20.(本小题满分12分)

右图是一种直三棱柱(认为AgG底面)被一平面所载得到的几何体，截面为

ABC.已知A4=片G=1,/人圈。1=90,A4=4,BB]

(1)设点。是A8的中点，证明：OC〃平面4AG;

(2)求AB与平面AACQ所成的角的大小;

(3)求此几何体的体积.

21.(本小题满分12分)

设｛〃“｝为等比数列，q=l,%=3.

(1)求最小的自然数〃，使22007;

1079/7

(2)求和：T)n=------+-------------

%444“

22.(本小题满分14分)

设动点P到点4(-1,0)和鸟(1。)的距离分别为4和4,N不7=2。，且存在常数

%(0</1<1),使得445小2。=2.

y

A

(i)证明：动点P的轨迹。为双曲线，并求出。的方程；

(2)如图，过点工的直线与双曲线C的右支交于AB两点.问：与否存在力,使

△6A8是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出力的值；若不存在，阐

明理由.

参照答案

一、选择题

1.B2,B3.A4.D5.A6.D7.B8.B

9.C

10.C11.A12.C

二、填空题

13.114.715.（1,4）16.A,B,C

三、解答题

17.解：（1）由于（）<c<l,因此。2<C；

由/（不）=2,即03+1=£,c.

oo2

一x十1,0<x<—

（2）由（1）得/⑴=,2

由/（幻>2?+1得，

O

当0<x<：时，解得<x<^~,

当二WX<1时I解得—■A：<—,

228

因此f（x）>-^―+1的解集为“

848

18.解：（1）将x=0,y=\[5代入函数y=2cos（s十8）中彳导cos。二号,

由于0W9W工,因此。二色.

26

r\r\

由已知T=71,且69>。，得。=—=--=2.

T7C

(2)由于点梏,0),Q(x°,%)是R4的中点，=-

因此点尸的坐标为(2x0-.

又由于点P在)，=23伍+小的图象上，且X七〈兀，因此

7兀1/5兀119兀IIH/日/57i1E5/5兀13兀

—^4x0-—，从而彳导4%--=,或4/一-r二丁，

6666666

即小=4或-%==♦

J■

19.解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件A,4;分别记甲、乙两种果树苗移栽成

活为事件四,B2,P(A)=0.6,P(A,)=0.5,P(B,)=0.7fP(B2)=0.9.

(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为

P(A+42)=1-嗝.A)=1-0.4x().5=0.8;

(2)解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件AB,

则P(A)=P(43J=0.42,P(3)=P(4与)=0.45.

恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

P(AB+AB)=0.42x0.55+0.58x0.45=0.492.

解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为

P(AB[A+4隹4,B.、+AA3,+4AB[B、)=0.492.

20.

解法一：

(1)证明：作。O〃4Al交A出于。，连G。.

由于。是AB的中点，

因此00=3(明+5用)=3=(7。］.

则oocc是平行四边形，因此有OC〃G。，

CQu平面CMA，且。c<z平面CMA

则oc〃面A4G.

(2)解：如图，过B作截面处2。2〃面A罔G，分别交AA,CG于4，G，

作B”J.A2G于〃，

由于平面43c2,平面"CC，则的，面A4CC.

连结A”，则/8A”就是AB与面A4GC所成的角.

由于8”二号,AB=45,因此sinN8A”=^二噂

48与面A4CC所成的角为NBA"=arcsin等

(3)由于B"=*，因此.

4,如为正等；

JQG-A必,？=S4AMG・8B=3♦2=1.

3

所求几何体的体积为V=十-ABC

VB-/U:C:C^BjC,22=2

解法二：

(1)证明：如图，认为用原点建立空间直角坐标系，则40,1,4),8(0,0,2),

C(l,0,3),由于。是A8的中点,因此。(0,；,3

乙

oc=1,——,0

2

易知，〃=(0,0,1)是平面AB©的一种法向量.

由oc・〃=()且oca平面A4G知oc〃平面48c.

(2)设AB与面A4,GC所成的角为。.

求得AA=(0,0,4),AG=(L-1，O).

A.A»m=0z=0

设tn=(x,y,z)是平面AA^C的一种法向量,则由得

AQ"?=ox-y=0

获得y=1：，〃=(1,10).

又由于A3=(0,-L—2)

因此,cos<m,AB>=〃:芳=一贝Jin0=.

\।m\]AB\10s10

叵

因此AB与面AAG。所成的角为arcsin

To"

(3)同解法一

/\w-l

21.解：(1)由已知条件得=卜”=3"T,

由于36<2007<3’,因此，使可》2007成立的最小自然数，=8.

,..._12342〃人

(2)由于。=----F-r+r,.......①

2w13323332M2

\__l_2_3__±_2n-l2n

22〃o々2+Q3々4+o2/J-IO2M'..................

①+②得：/="+一*…-

32/,2H

丁一声

3

3»32n-3-8z?

4.32M

22.解：(1)在△尸大鸟中，忻用=2

4=d；+-2d4cos20=(d「d?)2+44d?sin20

(J,-J,)2=4-4/1

|4-4|=2ji=I(不不小干2的常数)

故动点P的轨迹C是以耳，F2为焦点，实轴长2a=的双曲线.

,x2V2

方程为T一—-二1.

1—%A

(2)措施一：在△4£B中，设|