第4章 图形与坐标期末复习（知识清单）（答案版）-浙教版(2024)八上

第4章图形与坐标1.平面直角坐标系的定义：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条水平数轴叫做x轴（又叫横轴），另一条叫做y轴（又叫纵轴），画成与x轴垂直。平面直角坐标系简称直角坐标系，坐标系所在的平面叫做坐标平面；2.坐标的定义：如图，对于平面内任意一点M,分别过该点作x轴、y轴的垂线，在各自数轴上表示的数分别为a、b，则a叫做点M的横坐标，b叫做点M的纵坐标，有序数对（a，b）叫做点M的坐标。3.象限：如下图，整个平面直角坐标系被x轴和y轴分成四个象限，象限以数轴为界，x轴、y轴上的点不属于任何象限，四个象限中点的坐标的符号特征分别如下表：4.坐标轴上的线段长（1）x轴上点的坐标表达式（x，0）；y轴上点的坐标表达式（0，y）（2）坐标平面内两点间（如图A(x1，y1)，B(x2，y2)）的距离公式为：如图①，若点A、B在同一水平线上，则AB=|x1-x2|；如图②，若点A、B在同一竖直线上，则AB=|y1-y2|；如图③，对于任意位置的点A和点B，则AB=（ABAABABAB图①图②图③5.坐标平面内点的轴对称规律：在直角坐标系中：点（a，b）关于x轴的对称的点的坐标为（a，﹣b）；点（a，b）关于y轴的对称的点的坐标为（﹣a，b）；点（a，b）关于原点对称的点的坐标，即为点（a，b）先关于x轴对称，再关于y轴对称，为（﹣a，﹣b）；6.坐标平面内点的平移规律：在直角坐标系中：点（a，b）向右平移m个单位得（a+m，b）；点（a，b）向左平移m个单位得（a－m，b）；点（a，b）向上平移m个单位得（a，b+m）；点（a，b）向下平移m个单位得（a，b－m）；7.坐标平面内图形怎么变换，则图形上的各点也是按照同样的方法变换，所以，做一个几何图形的轴对称图形或者平移后的图形，首先把图形各个顶点的对应点做出来，再依次连线即可。1.坐标轴上的点的坐标错误：错误混淆在坐标轴上的点的坐标的表示。注意：x轴上点的坐标表达式(x，0)；y轴上点的坐标表达式(0，y)。要注意在表示时(x，0)和(0，y)的区别。例1（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，若点M-1,b+3在x轴上，点Na-9,【答案】-【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据点在坐标轴上的性质解题即可．【详解】解：∵点M-1,b∴b+3=0解得：b=∵点Na-9,∴a-解得：a=9则ab=∴ab的立方根为3-故答案为：-32.不同象限的点的坐标的符号错误：混淆不同象限上点的坐标（横坐标与纵坐标）的符号。注意：不同象限上点的坐标的符号有明确区别，具体如下：尤其是要注意第二象限与第四象限上点的坐标的符号。例2（24-25七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，已知点P(1)若点P的横坐标为2，求点P的坐标；(2)若a<-2【答案】(1)2,(2)第三象限【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+，+；第二象限-，+；第三象限（1）根据点P的横坐标为2可得a+2=2，据此可得a的值，进而得出点P（2）根据a<-2，可得a+2<0，【详解】（1）解：若点P的横坐标为2，则a+2=2解得a=0∴2∴点P的坐标为2,-（2）若a<-2，则得a∴点P所在的象限是第三象限．3.点到坐标轴的距离错误：在已知点到坐标轴的距离时确定点的坐标，可能会①不注意结合其他条件，或不通过作图讨论即回答，导致错解、漏解；②已知到x轴的距离就得出横坐标的值，已知到y轴的距离就得出纵坐标的值，是想当然的错误思维。注意：题干表示点到坐标轴上的距离时，需进行讨论。如，点P到x轴的距离为1，点P可能在第一、二象限，此时它的纵坐标为1；也可能在第三、四象限，此时它的纵坐标为﹣1；例3（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点M(1)若m的值为2时，求点M的坐标；(2)若点M到y轴的距离为2，求点M的坐标．【答案】(1)M(2)点M的坐标为-2,-【分析】本题主要考查点坐标的特点，掌握其特点是解题的关键．（1）直接代入求点坐标即可；（2）根据题意3m【详解】（1）解：将m=2代入点M3m（2）∵M到y轴的距离为2即3m∴3∴m=1∴点M的坐标为-2,-24.坐标轴上线段的长错误：不会构建直角三角形，结合勾股定理求出坐标系中斜线段的长。注意：求坐标系中斜线段的长，可以过线段两点作平行于x轴和y轴的平行线，相交于第三点，使得斜线段为直角三角形的斜边。先求出两直角边的长，再通过勾股定理即可求出斜边长。快捷的计算方式为：AB=AAB例4（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知点A(a(1)若点A在x轴上，求点A的坐标；(2)若直线AB∥y轴，且AB=4【答案】(1)A(2)B(3,1)或【分析】本题考查了点的坐标特征．（1）根据在x轴上的点的坐标的纵坐标为零，求解即可；（2）根据平行于y轴的两个点的横坐标相等得到a=3，根据AB=4先求出【详解】（1）解：∵点A(a,∴a∴a∴A（2）解：∵直线AB∥∴a∴A∵AB∴b=5-∴B(3,1)或例5已知点A（﹣2，1），点B（b，﹣3），（1）若点B在第四象限上，求b的取值范围；（2）若b=3，求AB的长；（3）若AB=5，求b的值。【答案】(1)b＞0（2）41（3）﹣5或1【分析】本题考查了坐标点的象限和坐标系上两点之间的距离的知识点．（1）根据第四象限上点的横坐标为正，可得出b＞0；（2）关于点A与点B分别平行于y轴、x轴作平行线，构建如图①所示的直角三角形ABC，通过勾股定理即可求出斜边AB的长；AABCAB1PB2图①图②（3）根据如图②所示构造直角三角形PAB1和直角三角形PAB2均满足题意，结合AB=5，可求得BP的长，进而求出点B1和点B2。【详解】（1）∵点B在第四象限，则点B的横坐标为正数，则b＞0；（2）如图①所示，过点A作AC平行y轴，过点B作BC平行x轴，AC与BC交于点C，∵点A（﹣2，1），点B（3，﹣3）,可以AC=1－（-3）=4，BC=3－（-2）=5，所以AB=42（3）如图②所示，点B1与点B2均符合AB=5；已知直角三角形ABP中，AB=5，AP=4，则BP=3，因为点P的横坐标为﹣2，所以点B1的横坐标为﹣2+3=1，点B2的横坐标为﹣2-3=﹣5.所以b的值为﹣5或1。5.用几何图形的性质求解图形上的点的坐标错误：求坐标系上点的坐标，或已知坐标系上点的坐标时，不能结合已学的图形的几何性质，将其转化成坐标系上几何图形的已知条件。注意：在平面直角坐标系中，几何图形的已知条件可以转化成代数与代数关系；同样的，坐标系上点的坐标值，或代数式，可以转化成几何图形的已知条件，从而达到数形结合的效果。因此通过几何图形的性质，将数值和代数式通过数量关系建立等式或不等式，即可解决更多的数学问题。具体如下：坐标轴上的点坐标轴上的点几何图形的线段长用坐标系的知识求出点与点连结的线段长、点到线的距离等。通过几何图形的性质的等量关系，列式求出坐标系上点的坐标。例6（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点A3,0，B0,2，C4,n，若点C在第一象限，且【答案】6【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据S△【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，∵A∴OA=3∴S梯形OBCD=12∵S△∴2n∴n=6故答案为：6．例7（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为-1,0，点B的坐标为2,5【答案】-【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，同角的余角相等，过A作AE⊥x轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F，由点C的坐标为-1,0，点B的坐标为2,5，则OC=1，OF=2【详解】解：如图，过A作AE⊥x轴于点E，过B作BF⊥∵点C的坐标为-1,0，点B的坐标为2,5∴OC=1，OF=2，∴CF=∵∠ACE+∠∴∠ACE∵∠AEC=∠∴△AEC∴CF=AE=3∴OE=∴点A的坐标为-6,3故答案为：-6,3例8（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为A0,4、B-5,0、C3,0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO(1)当t>52时，OP=(2)连接PA，设△POA的面积为S，当S=6时，求(3)当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标以及此时对应的t【答案】(1)2(2)1或4(3)存在，P-3,0,t=1【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形性质，分类讨论思想．解题的关键是根据点P的不同位置进行分类讨论．（1）由题意得t>52时，BP>5，再由（2）分点P在原点左侧和原点右侧两种情况讨论求解；（3）分AP=AC,PC=AC,AP=【详解】（1）解：由题意，BP=2t，∴当t>52∴OP=2故答案为：2t（2）解：由题意，OA=4当点P在原点左侧时，0≤t<2.5∴△POA的面积S由10-4t当点P在原点右侧时，t>2.5，OP∴△POA的面积S由4t-10=6综上，t的值为1或4；（3）解：存在，题意，分三种情况：①当AP=AC时，∵AO⊥∴PO=∴P-3,0，②当PC=AC时，∵AO⊥∴AC=5∴OP=PC-∴P-2,0，③当AP=PC时，设PO=a，则∴a+32=∴BP=5∴P-76综上，P-3,0,t=16.坐标点的对称变换错误：坐标点的对称变换，经常出现关于谁对称则变谁的符号。比如错误认为（1,2）关于x轴对称后是（﹣1,2），这是脱离坐标系实际情况的。注意：坐标点的对称变换，要遵循“关谁对称谁不变”，也就是当点关于x轴对称时，横坐标x的正负号不变；当点关于y轴对称时，纵坐标y的正负号不变。例9（25-26八年级上·重庆·期中）平面直角坐标系中，点A1,m-3与点B1,n关于【答案】3【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．根据点A1,m-3与点B1,【详解】∵点A1,m-3与点B∴纵坐标互为相反数，∴m∴m例10（25-26八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0,0)，点A(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△DOE，其中A、B的对应点分别为D、E．写出D、(2)请在x轴上作点F，使AF+【答案】(1)图象见解析，D(2)图象见解析【分析】（1）点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可画图并求点的坐标；（2）A关于x轴的对称点为A'，连接A'B，与x本题考查轴对称的应用．【详解】（1）解：如图：D2,1（2）解：如图，A关于x轴的对称点为A'连接A'B，与x轴的交点即为所求点．7.坐标点的平移变换错误：点在平面直角坐标系上平移变换时，左右平移和上下平移时，横坐标与纵坐标的数值变化混淆，且加或减一个数值也混淆。注意：坐标点的平移遵循“左减右加，上加下减”，详见知识清单第6点。例11（2024·广东·模拟预测）如图，已知点A1,0，B4,2，将线段AB平移至CD的位置，其中点C-2,1，则点【答案】1,3【分析】本题考查点的平移，根据点A1,0与点C【详解】解：∵点A1,0的对应点C的坐标为-∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1．∵点B4,2的对应点为点D∴点D的坐标为4-3,2+1，即故答案为：1,3．8.坐标系上关于点或图形规律的问题错误：不能找到点的排布规律，总结不出横坐标的规律和纵坐标的规律。注意：坐标系上点的规律，一般先看点的排列规则，然后分别总结横坐标的数值规律和纵坐标的数值规律，一般横坐标和纵坐标可以分别确定。但也有一些题目不是让我们读图，而是通过文字描述寻找的规律，这时候我们要将每个变化后的点计算出来，至少计算前4个点的坐标，再总结规律。例12（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿O→A1→A2→A3→A【答案】1012,1【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题的关键是识别点的移动周期，根据周期确定对应点的坐标特征．观察已知点的坐标，发现每8个点为一个移动周期，分析周期内点的坐标变化规律；用2025除以周期数8，通过商和余数确定A2025【详解】解：由已知点坐标可知，点的移动以8个为一个周期，即A8k+1每个周期内第1个点（余数为1）的坐标特征为A8∵2025÷8=253余1，即∴k=253∴A2025的x坐标=4×253=1012，y故答案为：1012,1．例13（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90∘，A3,0，B0,4，AB=5，若△ABO≌△AB1C1≌△A1【答案】44,0【分析】本题考查全等三角形的性质，点的坐标的变化规律，找出点B的变化规律是解题的关键．根据题意可得B18,0，B212,5，B320,0，B424,5，……，得到当【详解】解：∵A3,0，B∴OA=3，OB∵△ABO∴AB=AO=OB=∴B18,0，B212,5，∴当n为奇数时，Bn当n为偶数时，Bn∴当n=7时，8+6即B7故答案为：44,0．1．（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为-3,4，则点P到y轴的距离为（

A．3 B．4 C．5 D．-【答案】A【分析】本题考查点的坐标与距离的关系，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，据此进行分析，即可作答．【详解】解：∵点P的坐标为-3,4∴点P到y轴的距离为-3故选：A．2．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）在平面直角坐标系中，点-2,m-A．m＜3 B．m＞3 C．【答案】A【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握第三象限点的坐标特征是解题的关键．第三象限的点，横坐标和纵坐标均为负数，据此即可解答．【详解】∵点-2,∴横坐标<0，纵坐标<0，∴m-3<0，即故选：A．3．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系xOy中，点A-5,3与点Bm-1,3关于yA．-6 B．6 C．-4 D【答案】B【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同．根据关于y轴对称的点的坐标特征解答．【详解】解：∵点A-5,3与点Bm∴点A与点B的纵坐标相同（均为3），横坐标互为相反数．∴点B的横坐标应等于点A横坐标的相反数，即m-∴m=6故选：B．4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点Am，n和点B0，-3，若直线ABA．0 B．4或-4 C．12或-12 D．1【答案】C【分析】本题考查代数式求值，涉及平行于x轴的直线上点的坐标特征，熟记平行于x轴的直线上点的坐标特征是解决问题的关键．由AB∥x轴，可知点A与点B纵坐标相等；结合AB=4，利用两点之间距离公式求点A【详解】解：∵AB∥x轴，点Am∴n=∵AB=4，且AB∴m-即m=4∴m=当m=4时，mn当m=-4∴mn=故选：C．5．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，一动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点1,3，第2次运动到点2,0，第3次运动到点3,-1，……，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（A．2025,3 B．2025,0 C．2026,3 D．2025,【答案】A【分析】本题考查了规律型中的点的坐标，列出部分点的坐标，根据点的坐标变化找出规律“n,3【详解】解：观察，发现动点每4次为一个循环，点的坐标依次为“n,3∵2025=4×∴第2025次运动是第507次循环的第1次运动，∴第2025次运动的点的坐标是2025,3．故选：A．6．（江西省景德镇市2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，点P-2,x【答案】二【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．根据点的坐标符号判断所在象限．【详解】点P的横坐标为-2纵坐标为x2由于x2≥0因此点P在第二象限．故答案为：二．7．（25-26八年级上·新疆喀什·期中）已知点P(2,4)，P、Q两点关于x轴对称，则点Q的点的坐标是【答案】(2,【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，掌握知识点是解题的关键．根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．【详解】解：点P2,4关于x轴对称的点Q的横坐标与P相同，为2；纵坐标与P的纵坐标互为相反数，为-故点Q的坐标为2,-故答案为2,-8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若点Ma-2,a在y轴上，则点M关于【答案】(0,【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握y轴上点的横坐标为0以及关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）是解题的关键．先根据点在y轴上的坐标特征求出a的值，确定点M的坐标，再依据关于x轴对称的点的坐标特征求出对称点的坐标．【详解】解：∵点M(a-∴a-解得a=2∴点M的坐标为(0,2)．点M关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴对称点的坐标为(0,-故答案为：(0,-9．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）如图，轮船在灯塔的东偏、°方向上，距离灯塔千米．【答案】北3040【分析】本题考查了方位角和比例尺，掌握相关知识点是解题关键．根据图形方位确定方位角，再根据比例尺求出距离，即可求解．【详解】解：如图，轮船在灯塔的东偏北30°距离为4×故答案为：北，30°，4010．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,4，点B的坐标为6,0，点C是x轴正半轴上的一个动点．连接AC，过点C作CD⊥AC，且CD（1）设点C的坐标为t,0，则点D的坐标为（2）当线段BD取最小值时，点C的坐标为．【答案】t+4,t/4+【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、两点坐标距离公式、平方式的非负性等知识，作辅助线构造全等三角形是解答的关键．（1）过D作DH⊥x轴于H，证明得到OA=CH，DH=（2）利用两点坐标公式得到BD=2t-1【详解】解：（1）如图，过D作DH⊥x轴于H，则∵CD⊥∴∠OAC=∠∴△AOC∴OA=CH，∵点A的坐标为0,4，点C的坐标为t,0，且点C是x∴OA=4，OC∴OH=OC+∴点D的坐标为t+4,故答案为：t（2）∵点B的坐标为6,0，∴BD==2∵t-12∴2t-1当t=1时，BD取得最小值，此时，点C的坐标为1,0故答案为：1,011．（25-26八年级上·重庆巴南·期中）在平面直角坐标系中，已知点P(1)当点P在y轴上时，求出点P的坐标；(2)当直线PA平行于x轴，且A(-4,(3)若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值并写出P点坐标．【答案】(1)点P的坐标为0,7(2)点P的坐标为-(3)m=-5或m=35【分析】本题考查了各象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；（2）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可．（3）根据点P到x轴，y轴距离相等，则点的横纵坐标的绝对值相等，再建立方程求解即可．【详解】（1）解：当点P2m-4,解得：m=2∴3∴点P的坐标为(0,7)．（2）解：∵PA平行于x轴，且A∴3解得：m=∴2∴点P的坐标为(-（3）解：∵点P2m-4,∴2m∴2m-4=3解得：m=-5或当m=2m则点P的坐标为-14,当m=352m则点P坐标为(-综上所述，m=-5或m=35，点12．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1(2)求△ABC(3)判断△ABC【答案】(1)-(2)5(3)△ABC【分析】本题考查作图—轴对称变换，坐标与图形的变化—轴对称，勾股定理及其逆定理．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．（1）先找出点B、C关于y轴对称的点，然后依次连线即可，最后根据坐标系求出点C1（2）利用割补法求出△ABC（3）根据勾股定理求出三边长，再根据勾股定理逆