初中数学《圆》教案

初中数学《圆》教案教学目标教学目标：理解圆的描述性定义和圆的集合性定义；了解弦，弧，半圆，优弧，劣弧，等圆，等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；教学重点：圆的定义的形成过程，以及对与圆有关的概念的理解.教学难点：圆的集合性定义.教学过程时间教学环节主要师生活动2min创设情境引入新知圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象.比如：世界上唯一建在桥上的摩天轮，天津之眼；象征着圆满、团圆、和谐的满月；绿色出行工具自行车的车轮.提出问题：车轮为什么做成圆形的？这里面有什么数学道理吗？4min动手操作形成概念我们在小学已经对圆有了初步认识,下面我们就一起来画圆.画圆：有的同学借助圆规在纸上画圆；有的同学可能借助一根绳子，固定一端，旋转这根绳子画圆.2.教师ppt演示画圆的动态过程，学生观察归纳圆的形成过程，得出圆的描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.10min提出问题深入理解概念问题1篮球是圆吗？不是.篮球是立体图形，而圆是平面图形.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆.”所以在圆的定义中一定要注意前提条件是：在一个平面内.问题2（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么特点？圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）.（2）到定点的距离等于定长的点又有什么特点？到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.归纳出:圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．战国时期的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载.它的意思就是圆上各点到圆心的距离都等于半径.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早很多年．问题3车轮为什么做成圆形的？把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变.因此，车辆在平路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳.如果车轮不是圆的，比如是三角形、正方形、椭圆形的（可以让学生用纸剪成三角形、正方形、椭圆形的模拟车轮滚动的情况，教师动画演示），车辆在行驶时，坐车人会感觉上下颠簸，不舒服.4min概念应用例矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上.分析：要证明“A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上”.根据圆的定义，只要证明这几个点到圆心的距离相等即可.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴，，.∴.∴A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上.小结：通过这道题，我们可以得到用圆的定义证明几个点在同一个圆上的方法：只要证明这几个点到圆心的距离相等即可.5min探究新知与圆有关的概念：（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.如图中，AB，AC是弦，AB是直径.直径是特殊的弦.想一想图中最长的弦是什么？为什么？在图1中，连接OC，则OA=OB=OC.∵AB=OA+OB=OA+OC，OA+OC>AC，（三角形两边之和大于第三边）∴AB>AC.在另外两个图中，连接OC，OD，则OA=OB=OC=OD.∵AB=OA+OB=OC+OD，OC+OD>CD，∴AB>CD.直径是最长的弦.（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的）叫做优弧；小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧.（3）能够重合的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.“等弧”要区别于“长度相等的弧”请同学们认真观察老师的实验，然后得出结论.拿一根固定长度的毛根(一根可以任意弯曲的缠满绒线的细铁丝)，在圆O1中把它围成弧AB，在圆O2中把它围成弧CD，这样就可以保证两条弧的长度是相等的.然后移动圆O1,让点A与点C重合，那么就可以观察到这两条弧是否可以重合了.很显然，它们不能够重合.所以“长度相等的弧”不一定就是“等弧”.在这里依然要注意定义的前提条件：在同圆或等圆中.1min课堂小结本节课我们一起认识了圆，学习了：（1）圆的两种定义；（2）证明几个点共圆的方法；（3）与圆相关的概念；0.5min布置作业请同学们在作业本上完成下面两道课后作业：1.你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄.把树干的横截面看成是圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是23cm，这棵树的半径平均每年增加多少？2.△ABC中，∠C=90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上.知能演练提升一、能力提升1.下列说法错误的是()A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧C.面积相等的两个圆是等圆D.半径相等的两个半圆弧是等弧2.如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,连接AC,BC,则∠C的度数是()A.60° B.90° C.120° D.150°3.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()4.如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿OA→AB→BO的路径运动一周.设OP为s,运动时间为t,则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是()5.如图,A,B,C是☉O上的三个点,∠AOB=50°,∠B=55°,则∠A的度数为.

6.有一种圆规(如图),有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A,B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm,则画出的圆的半径为cm.

7.如图,一根2m长的绳子,一端拴在墙边,另一端拴着一只羊,画出羊的活动区域.8.如图,△ABC1,△ABC2,△ABC3,……△ABCn是n个以AB为斜边的直角三角形,试判断点C1,C2,C3,…,Cn是否在同一个圆上?并说明理由.9.如图,M,N,P,Q分别是菱形ABCD各边的中点,点M,N,P,Q在同一个圆上吗?为什么?★10.如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c之间有什么关系?11.如图,已知AB是☉O的直径,C为AB延长线上的一点,CE交☉O于点D,且CD=OA,求证:∠C=13∠AOE二、创新应用★12.如图①,☉O的半径为r(r>0),若点P'在射线OP上,满足OP'·OP=r2,则称点P'是点P关于☉O的“反演点”.如图②,☉O的半径为4,点B在☉O上,∠BOA=60°,OA=8.点A',B'分别是点A,B关于☉O的反演点,求A'B'的长.图①图②知能演练·提升一、能力提升1.B2.B3.D连接OP,因为OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=12AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP是一个定值,点P就在以O为圆心的圆弧上,那么中点P下落的路线是一段弧线4.C当点P从点O向点A运动时,OP逐渐增大,当点P从点A向点B运动时,OP不变,当点P从点B向点O运动时,OP逐渐减小,故能大致地刻画s与t之间关系的是选项C中的图象.5.30°6.10设两个互相垂直的滑槽的交点为O,则所画的圆为☉O,半径为OP.∵△AOB是直角三角形,P为斜边AB的中点,∴OP=12AB∵AB=20cm,∴OP=10cm.7.分析根据题意,羊的活动区域应是以O为圆心,以2m为半径的半圆及其内部.解如图,羊的活动区域是图中的阴影部分(包括半圆周).8.解点C1,C2,C3,…,Cn在以AB为直径的圆上.理由如下:取AB的中点D,分别连接C1D,C2D,C3D,…,CnD,则C1D,C2D,C3D,…,CnD分别表示对应的直角三角形斜边上的中线.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可知C1D=C2D=C3D=…=CnD=12AB.所以点C1,C2,C3,…,Cn在同一个圆上,并且在以AB的中点为圆心,AB为直径的圆上9.解点M,N,P,Q在同一个圆上.理由:如图,连接AC,BD交于点O,连接OM,ON,OP,OQ,则AC⊥BD.在Rt△AOD中,∵点M是AD的中点,∴OM=12AD同理,ON=12AB,OP=12BC,OQ=1∵AB=BC=CD=AD,∴OM=ON=OP=OQ.∴点M,N,P,Q在以点O为圆心,OM长为半径的圆上.10.解如图,连接OM,OD,OA,根据矩形的对角线相等,得BC=OA,EF=OD,NH=OM.再根据同圆的半径相等,得a=b=c.11.分析因为∠AOE是△COE的一个外角,且与∠C不相邻,所以∠AOE=∠C+∠E.现在要证明∠C=13∠AOE,即∠AOE=3∠C,所以只要证得∠E=2∠C即可又由于OE为半径,而连接OD后OD也是半径,故OE=OD,所以∠ODE=∠E,从而可证结论成立.证明如图,连接OD.因为CD=OA=OD,所以∠C=∠COD.又OD=OE,所以∠OED=∠ODE.所以∠AOE=∠C+∠OED=∠C+∠ODE=∠C+∠COD+∠C=3∠C,即∠C=13∠AOE二、创新应用12.解因为☉O的半径为4,点A