《旋转全章复习》教案

《旋转全章复习》教案教学目标教学目标：梳理本章知识结构，进一步理解旋转及中心对称的概念和性质，并应用这些知识解决相关问题；体会从特殊到一般、转化等数学思想方法.教学重点：构建本章知识体系，深入理解旋转的实质.教学难点：从旋转的变换角度思考问题.教学过程时间教学环节主要师生活动结构梳理本章我们学习了一种新的图形变换——旋转，下面我们来对这一章节进行简要的梳理.首先我们遵循几何变换的一般研究思路，从定义、性质、应用几个方面对旋转进行了细致、深入的学习.然后我们又对其中一种特殊的旋转——中心对称进行了研究.最后结合之前学过的图形变换平移和轴对称，利用这三种图形之间的变化关系，以及它们变化前后只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小的共性，进行了图案设计.下面我们通过具体问题，来对本章一些具体的知识和方法进行复习和回顾.复习回顾：图形的旋转例如图所示，把一个直角三角尺ACB顺时针旋转到△EDB的位置，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则旋转中心是___，旋转角等于___度，∠BDC的度数为___度．设计意图：通过本题复习旋转的定义及性质.图形：定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.性质：1.对应点到旋转中心的距离相等.2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前、后的图形全等.例：已知：点A与点B.（1）画出点A绕点B逆时针旋转30°得到点C，并简述作图步骤；（2）连接点A，B，C，能得到什么图形？为什么？（3）如果想得到等边三角形和等腰直角三角形，应该旋转怎样的角度呢？设计意图：复习旋转作图，通过作图过程挖掘旋转变换中可挖掘的结论旋转作图的步骤：①明确旋转中心、旋转方向、旋转角；②找出关键点；③将图形的关键点与旋转中心连结起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此点的对应点；④按原图形顺序连结这些对应点，得到旋转后的图形.例：如图，小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即线段AB绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段CD，请在图中确定旋转中心点E的位置及旋转角度．设计意图：应用旋转的性质确定旋转中心.分析：上一道题是已知旋转中心和初始图形，做出旋转后的图形，本题则需要根据旋转前后的图形，确定旋转中心及旋转角度.首先，我们考虑如何确定旋转中心.根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，以及到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，我们可以得到，旋转中心在每对对应点所连线段的垂直平分线上.因此，我们只需确定两对对应点，取它们垂直平分线的交点即可确定旋转中心.在本题的叙述中，我们无法确定两条线段的端点是如何对应的，因此需要分类讨论.情况1：点A与点D对应，点B与点C对应.做线段AD与BC的垂直平分线，交于点E1，则点E1即为所求.进而∠AE1D、∠BE1C为旋转角.根据网格，可计算得出△AED的三边符合勾股定理逆定理，因此∠AE1D=90°，同理也可计算出∠BE1C=90°.因此线段DC可以看成是线段AB绕点E逆时针旋转90°得到的.情况2：点A与点C对应，点B与D对应.与情况1完全同理，可以确定此时点E2的位置如图所示，根据网格，可根据勾股定理逆定理得到旋转角∠AE2D=∠BE2D=90°.所以线段CD可以看成线段AB绕点E顺时针旋转90°得到的.复习回顾：中心对称例：如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是().（A）OC=OC′ （B）OA=OA′（C）BC=B′C′ （D）∠ABC=∠A′C′B′设计意图：复习中心对称的定义及性质.图形：定义：把一个图形绕着某一点旋转180゜，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.性质：（1）对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.（2）中心对称的两个图形是全等图形.例：如图，△DEF是△ABC经过某种变换后得到的图形．△ABC内任意一点M的坐标为(x,y)，点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是().（A）(-y,-x) （B）(x,-y)（C）(-x,y) （D）(-x,-y)设计意图：中心对称、关于原点对称的点的坐标.例：下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）（A）（B）（C）（D）设计意图：1.辨析轴对称图形与中心对称图形.轴对称图形判断的关键是寻找对称轴，对称轴两旁部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．综合应用例：在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC.求证：BD2=AB2+BC2.设计意图：从变换的角度出发，应用旋转相关的知识解决问题一题多解分析：定方向：从图形变换的角度解决问题.求证的这个等式的结构符合勾股定理形式，故需要将三条线段构造到一个直角三角形中，即改变它们的位置，但不改变大小.因此，我们从图形变换的角度来思考解决这个问题.结合已知给出的图形，下面我们就从旋转的角度出发，考虑如何添加辅助线，才能实现把三条目标线段构造到同一直角三角形中.【方法一】旋转三角形由例2我们可以看到，共端点的等线段是旋转变换的一个重要基本元素，存在共端点的等线段，我们就可以以此为基础，旋转以其中一条线段为边的三角形，使它旋转到与另一条等线段重合的位置，这样通过旋转三角形，达到旋转目标线段的目的.由已知图形我们可以看到，既包含共端点的等线段中的一条，又包含部分求证需要用到的线段这样的三角形共有两个，它们分别是△ABD和△DCB.△ABD包含的共端点等线段是DA，包含求证中的目标线段是BA和BD，△DCB中包含的共端点等线段是DC，求证中的目标线段是BC、BD，因此可以理解为它们所包含的已知信息是一样的，那我们就任选其中一个三角形来进行分析.不妨选取第一个三角形△ADB.由已知，线段AD需绕点D顺时针旋转60°才能与DC重合，因此将△ADB也进行相应的旋转变换，达到△DCE的位置.此时，AB旋转到了CE，又由于旋转了60°，连接BE，易得等边△BDE，故BE=DB，只需证∠1=90°，问题就得解了.证明：将△ADB绕点D顺时针旋转60°到△DCE的位置，连接BE.这时AB=CE，∠A=∠3，DB=DE，∠BDE=60°.∴△BDE为等边三角形.∴BD=BE.∵∠ABC=30°，∠ADC=60°，∴∠A+∠2=360°—∠ABC—∠ADC=270°.又∠A=∠3∴∠3+∠2=270°.∴∠1=360°—∠2—∠3=90°.在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2=BC2+CE2.∴BD2=AB2+BC2.归纳反思：1.从哪个信息考虑到旋转？怎样确定旋转图形？怎样确定旋转中心、旋转方向、旋转角度？.2.已知条件连接AC可得等边三角形△ADC，由于等边三角形三边相等，所以题目中含有三对共端点的等线段：AD与AC、DA与DC、CA与CD.用我们刚才总结的结论可以发现既包含共端点的等线段中的一条，又包含部分求证需要用到的线段这样的三角形共有三个，它们分别是△ACB，△DCB和△ABD.那么将它们进行适当的旋转，能证明求证的等式吗？有兴趣的同学可以课下进行进一步深入思考.【方法二】旋转线段AB与BC作为两条直角边，它们所夹的角度应该是90°，而题目中给出的是30°，因此考虑将其中一条线段继续旋转60°，以达到目标图形.不妨固定线段AB，旋转线段BC，则需要将线段BC以点B为旋转中心，逆时针旋转60°，点C的对应点记为点E.此时易得，只需连接AE，证明线段AE=BD即可.根据例2的结论，在旋转线段BC60°后，连接CE，即可得到等边△BCE.再由已知条件易推出△ADC也是等边三角形，此时易证△BDC≌△EAC了，从而可得BD=AE了.证明：将线段BC绕点B逆时针旋转60°到BE的位置，连接AE、CE.∴△BCE为等边三角形.∴∠1=60°，CB=CE.∵∠ADC=60°，AD=DC，∴△ADC为等边三角形.∴∠2=60°，CD=CA.∴∠1=∠2.∴∠1+∠3=∠2+∠3.即∠DCB=∠ACE.∴△DCB≌△ACE.∴BD=AE.∵∠ABC=30°，∠CBE=60°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2=AB2+BE2.∴BD2=AB2+BC2.课堂小结1.梳理了本章知识脉络，能运用旋转和中心对称的性质，解决简单的推理、计算问题.2.从变换的角度出发解决问题.3.怎样应用旋转变换解题.布置作业1.下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）.（A）等边三角形（B）矩形（C）平行四边形（D）菱形2.如图，在△ABC中，∠CAB=70°.在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′//AB，则∠BAB′等于.3.如图，四边形ABCD中，∠CAB=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE=5，则S四边形ABCD=.综合训练一、选择题1.下列图标中是中心对称图形的是()2.在平面直角坐标系中,线段OP的两个端点坐标分别为O(0,0),P(4,3),将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP'位置,则点P'的坐标为()A.(3,4) B.(-4,3)C.(-3,4) D.(4,-3)3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B,D两点间的距离为()A.10 B.22 C.3 D.254.如图,点A,B,C的坐标分别为(0,-1),(0,2),(3,0).从下面四个点M(3,3),N(3,-3),P(-3,0),Q(-3,1)中选择一个点,以A,B,C及该点为顶点的四边形是中心对称图形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.45.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论不正确的是()A.S△ABC=S△A'B'C'B.AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'C.AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'D.S△A'B'O=S△ACO6.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转,使点B落在AB边上点B'处,此时,点A的对应点A'恰好落在BC边的延长线上,下列结论错误的是()A.∠BCB'=∠ACA' B.∠ACB=2∠BC.∠B'CA=∠B'AC D.B'C平分∠BB'A'7.把一副三角板按如图放置,其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AC=BD=10,若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D'E'B,则点A在△D'E'B的()A.内部 B.外部C.边上 D.以上都有可能8.如图,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的对称中心,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为()A.14cm2 B.n4C.n-14cm2 D.二、填空题9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,△AB'C'可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B'与点B是对应点,点C'与点C是对应点),连接CC',则∠CC'B'的度数是.

10.如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C的坐标分别为A(0,3),B(-1,1),C(3,1).△A'B'C'是△ABC关于x轴的对称图形,将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°,点A'的对应点为M,则点M的坐标为.

11.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE.点C和点E是对应点.若∠CAE=90°,AB=1,则BD=.

12.如图,将含30°角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150°后得到△EBD,连接CD.若AB=4cm,则△BCD的面积为.

三、解答题13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,2),请解答下列问题:(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出A1的坐标.(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并写出A2的坐标.(3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3,并写出A3的坐标.14.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2;(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标;(3)在x轴上有一点P,使得PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.15.为创建绿色校园,学校决定对一块正方形的空地进行种植花草,现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计,使正方形和所画的圆弧构成图案,种植花草部分用阴影表示.请你运用平移、旋转、轴对称等知识,在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案(温馨提示:在两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种,例如:图①、图②只能算一种).16.如图①,有一张矩形纸片,将它沿对角线AC剪开,得到△ACD和△A'BC'.(1)如图②,将△ACD沿A'C'边向上平移,使点A与点C'重合,连接A'D和BC,则四边形A'BCD是形;

(2)如图③,将△ACD的顶点A与A'点重合,然后绕点A沿逆时针方向旋转,使点D,A,B在同一条直线上,则旋转角为度,连接CC',则四边形CDBC'是形;

(3)如图④,将AC边与A'C'边重合,并使顶点B和D在AC边的同一侧,设AB,CD相交于E点,连接BD,四边形ADBC是什么特殊四边形?请说明你的理由.综合训练一、选择题1.B2.C3.A连接BD.由勾股定理,得AB=AC2+BC2=42+32=5,AE=AC=4,所以BE=1,4.C5.D6.C7.C由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D'E'B,设△D'E'B与直线AB交于点M,可知∠EBE'=45°,∠E'=∠DEB=90°,∵∠DEB=90°,∠D=30°,BD=10,∴BE=5,∴BE'=BE=5,∴BM=52.又∠ABC=90°,∠A=45°,AC=10,∴AB=52,∴BM=AB,∴点A在△D'E'B的D'E'的边上.8.C连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含45°角的两个三角形全等,进而求得阴影部分面积等于正方形面积的14,即是14cm2.5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为14×4cm2,n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为14×(n-1)二、填空题9.15°10.(-2,1)11.2因为将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,所以AB=AD,因为∠CAE=90°,所以∠DAB=90°,因为AB=1,所以BD=1212.3cm2过点D作BE的垂线,垂足为F(图略),由∠AB