《数学活动：三角点阵中前n行的点数计算》教案

《数学活动：三角点阵中前n行的点数计算》教案教学目标教学目标：：通过观察三角点阵，探究发现三角点阵中前n行的点数规律，并能用于计算.运用一元二次方程的知识探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式.掌握从特殊到一般的分析问题的方法，建立数学模型解决问题.教学重点：探索并运用三角点阵中前n行的点数和的计算公式教学难点：探索并运用三角点阵中前n行的点数和的计算公式时间教学环节教学过程2分钟活动1问题引入教师展示三角形点阵：问题1：三角点阵中，从上往下有无数多行，你能说说它的规律吗？对了，它的第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点。问题2：前4行的点数和是多少？通过“逐个数”的方式，我们可以得到前四行的点数和是10，当然我们也可以通过这种方式得到前5行，前6行或者任意前几行的点数和，不过我们也发现当n逐渐变大，点数和越来越大，数起来就越来越麻烦了.10分钟活动2探索规律问题3：你能发现300是前多少行的点数的和吗？我们是不是可以一行一行的加，一直加到点数和为300？很明显我们只要列出算式：这样由上而下地逐行相加其点数，就可以得到答案也就是说，前24行的点数和为300。但是很明显的，这样寻找答案要花费较多时间，能有更快捷的方法来解决这个问题吗？你想到了吗？我们只要能够推导出三角点阵中前n行的点数公式就可以借助方程解决这个问题了。基于我们之前对于三角点阵的分析，它前n行的点数和应该这样计算：我们发现：这样我们只要能够确定这n个数相加有多少对和为(n+1)的数就可以啦！如果n为偶数，一共有对，所以和为如果n为奇数，n项不能均分成两部分，最中间的数是，这样还剩下n-1个数，n-1为偶数，也就是有对和为(n+1)的数，所以这n个数的总和为，整理得，得到.发现和n为偶数的情况得到的结果是一样的，也就是说无论n为奇数还是偶数都有.整理得，得到.也就是说无论n为奇数还是偶数都有这样我们就得到了三角点阵前n行的点数和公式.除了分类讨论之外，我们为了能够实现的“首尾相加”，还可以考虑把和写成倒序形式，我们不妨设记为方程①，再将这个等式的右边改写成倒序相加的形式，记为方程②，将这两个方程相加，得到等式右边有n个（n+1）做和，所以得到解得也可以得到的值是.这样做是不是更快捷了？也有同学会提出问题，这样做倒序相加，再结合三角点阵的背景，不就是将一个正立的三角和一个倒立的三角拼在一起吗？能不能直接利用到图形特征来求呢？我们来一起看一看以前7行为例，如果我们将2个三角点阵如图放置我们可以把它们组合成一个平行四边形把其中一个点阵进行移动，我们可以把它们组合成一个平行四边形点阵，此时可以用平行四边形的面积公式算得平行四边形点阵的点数和为，也就是两个7行的三角点阵的点数和为，那么一个7行的三角形点阵的点数和为.活动3建立方程解决问题我们再回到问题3：你能发现300是前多少行的点数的和吗？将方程：转化为：整理得：解得：由实际意义得：即三角形点阵中前24行的点数和为300.活动4巩固提高拓展延伸通过刚才的探索，我们发现，得到自然数的前n项和的公式后，可以建立一元二次方程，“一劳永逸”的解决类似的问题，比如：问题4：三角点阵中前n行的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明理由.我们可以直接依题意列出方程：整理得：计算发现尽管此方程有两个不等实根，但是由于不是完全平方数，所以得不到正整数根，不符合题意.所以三角点阵中前n行的和不可能是600.如果三角形各行的点数换了呢？那我们推得的公式就不适用了，如何解决？我们来看问题5，问题5：如果把三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明理由.根据题意列出方程：变形为：由之前推导出的公式，可得：根据实际意义，解得：活动5：本课小结本节课我们在三角点阵前n行的点数计算的探索过程中，通过观察算式特征和图形的特征，发现了规律，得到了公式，将繁琐的计算转化为简洁的一元二次方程，从而解决了问题。这个过程体现了利用已有的知识和熟悉的方法来解决不熟悉的问题，这也正是解决数学问题的最常用的方法.综合训练一、选择题1.下列事件中,是不可能事件的为()A.买一张电影票,座位号是奇数B.射击运动员射击一次,命中9环C.明天会下雨D.度量三角形的内角和,结果是360°2.下列说法正确的是()A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨B.“抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为12”C.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定会中奖D.“抛一枚质地均匀的正方体骰子,朝上的点数是2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在13.如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任意摸出一张,摸到号码为1的卡片的概率是()A.12 B.13 C.23 4.一只蚂蚁在如图所示的树上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它获得食物的概率是()A.13 B.12 C.23 5.一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球,其中2个红色,1个白色,1个黑色,搅匀后从布袋里摸出1个球,摸到红球的概率是()A.12 B.13 C.14 6.如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2在x轴上,点B1,B2在y轴上,其坐标分别为A1(1,0),A2(2,0),B1(0,1),B2(0,2),分别以A1,A2,B1,B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形,所作三角形是等腰三角形的概率是()A.34 B.12 C.23 7.如图,甲为四等分数字转盘,乙为三等分数字转盘.同时自由转动两个转盘,当转盘停止转动后(若指针停在边界处则重转),两个转盘的指针恰好有一个指向阴影区域的概率是()A.56 B.13 C.23 8.一项“过关游戏”规定:在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数)抛掷n次,若n次抛掷所出现的点数之和大于54n2,则算过关;否则不算过关.则能过第二关的概率是(A.1318 B.C.14 D.二、填空题9.如果从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意选取一个数,那么取到的数恰好是5的倍数的概率是.

10.在一个不透明的盒子中装有n个小球,它们除颜色外其他均相同,其中有2个红球,每次摸球前先将盒子中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定于0.2,则可以推算出n大约是.

11.如果小球在如图所示的地面上自由滚动,并随机停留在某块方砖上,那么它最终停留在黑色区域的概率是.

12.今年五一节,某超市开展“有奖促销”活动,凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会(如图,转盘被分为8个全等的小扇形),当指针最终指向数字8时,该顾客获一等奖;当指针最终指向2或5时,该顾客获二等奖(若指针指向分界线则重转).经统计,当天发放一、二等奖奖品共600份,那么据此估计参与此次活动的顾客为人次.

三、解答题13.有一个质地均匀的正12面体,12个面上分别写有1~12这12个整数(每个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同).投掷这个正12面体一次,记事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”,记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”,请你判断等式“P(A)=12+P(B)”是否成立,并说明理由14.一个不透明的口袋里装着分别标有汉字“灵”“秀”“神”“州”的四个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀再摸球.(1)若从中任取一个球,则球上的汉字刚好是“神”的概率为多少?(2)甲从中任取一个球,不放回,再从中任取一个球,请用画树状图的方法,求出甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“灵秀”或“神州”的概率P1;(3)乙从中任取一个球,记下汉字后再放回袋中,然后再从中任取一个球,记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“神州”的概率为P2,指出P1,P2的大小关系(请直接写出结论,不必证明).15.小亮与小齐学习概率初步知识后设计如下游戏:小亮手中有方块10,8,6三张扑克牌,小齐手中有方块9,7,5三张扑克牌.每人从各自手中取一张牌进行比较,牌面上的数字大的为本“局”获胜,每次取的牌不能放回.(1)若每人随机取手中的一张牌进行比赛,求小齐本“局”获胜的概率;(2)若本局采用三局两胜制,即胜2局或3局者为本次比赛获胜者.当小亮的三张牌出牌顺序为先出6,再出8,最后出10时,小齐随机出牌应对,求小齐本次比赛获胜的概率.16.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,如果这三种情况是等可能的,那么当三辆汽车经过这个十字路口时:(1)求三辆车全部同向而行的概率;(2)求至少有两辆车向左转的概率;(3)由于十字路口右转弯处是通往新建经济开发区的,因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了多次统计,发现汽车在此十字路口向右转的频率稳定于25,向左转和直行的频率均稳定于310.综合训练一、选择题1.D2.D3.A4.A根据题意可知蚂蚁可以选择的路径共有9条,其中可以获得食物的有3条.故P(获得食物)=395.A6.B分别以A1,A2,B1,B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形的所有情况有:△A1OB2,△A1OB1,△A2OB1,△A2OB2共4种情况,其中是等腰三角形的为△A1OB1和△A2OB2两种情况,所以所求概率为247.D8.A根据题意,当点数之和大于54×22=5时,能过第二关.列表如下点数123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格可知,共36种等可能的结果,点数之和大于5的结果数是26,故P(能过第二关)=2636二、填空题9.1510.1011.12.16008个小扇形中有3个可以获奖,600÷38=1600三、解答题13.解不成立.理由:因为P(A)=812=23,P(B)=412=14.解(1)任取一个球,共有4种不同结果,所以球上汉字刚好是“神”的概率是14(2)由题知树状图如下:共有12种等可能的取法,能满足要求的有4种,所以P1=412(3)P1>P2.15.解(1)每人随机取一张牌共有9种等可能的情况:[或(10,9),(10,7),(10,5),(8,9),(8,7),(8,5),(6,9),(6,7),(6,5)]小齐获胜的情况有(8,9),(6,9),(6,7),共三种,所以小齐获胜的概率为P1=39(2)根据题意,小亮的出牌顺序为6,8,1