《实际问题与二次函数(第三课时)》教案

《实际问题与二次函数（第三课时）》教案教学目标教学目标：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题．通过建立坐标系解决实际问题，体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．教学重点：建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题．教学难点：恰当建立坐标系来解决实际问题．教学过程时间教学环节主要师生活动2min复习引入1.复习二次函数的图象和性质和解析式的确定2.前面学习了二次函数的实际应用两类问题：面积最值、最大利润问题，今天来研究需要建立坐标系才能解决的问题.8min问题探究1例1：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？分析：（1）求宽度增加多少需要什么数据？表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？（2）怎样求抛物线对应的函数的解析式？如何建立直角坐标系简单些？分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图).解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax².由抛物线经过点（2，-2），可得这条抛物线表示的二次函数为当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.此时水面的宽度为∴水面下降1m，水面宽度增加10min问问题探究2篮圈出手处最高点例2.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球与运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮框，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．若该运动员身高1.8米，球在头顶上方篮圈出手处最高点分析：由于篮球运行的路线是抛物线，可建立适当的直角坐标系，并把相关的数椐写成点的坐标，再利用点的坐标及待定系数法求出运行路线的解析式．最后算出跳离地面的高度．解：如图建立平面直角坐标系，点A（1.5，3.05）表示篮框，点B（0，3.5）表示球运行的最大高度，点C表示球员篮球出手处，其横坐标为．设C点的纵坐标为n，设点C、B、A所在的抛物线的解析式为由于抛物线的开口向下，则点B（0，3.5）为顶点坐标，所以．∵抛物线经过点A（1.5，3.05）．∴，解得．∴抛物线的解析式为．∴所以，球员跳离地面的高度为．3min课课堂小结1.解决运动轨迹、桥孔为抛物线形的二次函数应用问题时，解这类问题一般分为以下四个步骤：(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；(2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。①当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-k)2+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。归纳：3min布置作业1.如图,在喷水池的中心A处竖直安装一根水管AB,水管的顶端安有一个喷水头,喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C,高度为3m,水柱落地点D离池中心A处3m,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,当选取点A为坐标原点时,抛物线的表达式为(0≤x≤3),水管AB的长为m.

2.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米，15≈3.873参考答案：1.当以A为坐标原点时,抛物线的表达式为y=-34(x-1)2+3(0≤x≤3)AB=yB=-34×(0-1)2+3=92.解：(1)设二次函数的解析式为，顶点坐标为(6，5)∵A(0，2)在抛物线上(2)当时，(不合题意，舍去)（米）答：该同学把铅球抛出13.75米.知能演练提升一、能力提升1.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中每月获得的利润y和月份n之间的函数解析式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是()A.1月、2月、3月 B.2月、3月、4月C.1月、2月、12月 D.1月、11月、12月2.如图,在正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动.设运动时间为t(单位:s),△OEF的面积为S(单位:cm2),则S与t的函数关系可用图象表示为()3.某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y,则果园里增种棵橘子树,橘子总个数最多.

4.某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为.

5.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用周长为30m的篱笆围成.已知墙长为18m(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm.(1)若苗圃园的面积为72m2,求x.(2)若平行于墙的一边长不小于8m,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.(3)当这个苗圃园的面积不小于100m2时,直接写出x的取值范围.二、创新应用6.某商家正在热销一种商品,其成本为30元/件,在销售过程中发现随着售价增加,销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量y(单位:件)与售价x(单位:元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70,且x为整数).(1)直接写出y与x的函数解析式;(2)当售价为多少时,商家所获利润最大,最大利润是多少?

知能演练·提升一、能力提升1.C∵y=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12),∴当y=0时,n=2或n=12.又该函数的图象开口向下,∴1月,y<0;2月、12月,y=0.∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月.故选C.2.B设△OEF中EF边上的高为h,则易知h=12EF于是S△OEF=12h·EF=14EF2=14(EC2+FC2)=14[(8-t)2+t2]=12t2-4t+16(0故选B.3.104.0<a<6根据题意,设每天缴纳电商平台推广费用后的利润为W元,则每件获得的利润为(110-40-a-t)=(70-a-t)元,而件数为(20+4t),因此W=(70-t-a)(4t+20)=-4t2+(260-4a)t+1400-20a,其图象的对称轴为直线t=260-4a8,因为W随t的增大而增大,所以260所以a<6,故答案为0<a<6.5.解(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)m.依题意可列方程x(30-2x)=72,即x2-15x+36=0.解得x1=3,x2=12.当x=3时,30-2x=30-6=24>18,不符合题意,舍去.故x=12.(2)依题意,得8≤30-2x≤18,解得6≤x≤11.面积S=x(30-2x)=-2x-1522+225①当x=152时,S有最大值,S最大=2252(m②当x=11时,S有最小值,S最小=11×(30-22)=88(m2).(3)令x(30-2x)=100,得x2-15x+50=0.解得x1=5,x2=10.又30-2x≤18,x≥6,故x的取值范围是6≤x≤10.二、创新应用6.解(1)设线段AB的解析式为y=kx+b(k≠0,40≤x≤60),将点(40,300),(60,100)代入上式,得300=40解得k故函数的解析式为y=-10x+700(40≤x≤60).设线段BC的解析式为y=mx+n(m≠0,60<x≤70),将点(60,100),(70,150)代入上式,得60解得m故函数的解析式为y=5x-200(60<x≤70),y与x的函数解析式为y=-(2)设获得的利润为w元,①当40≤x≤60时,w=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50)2+4