《数学活动：探究四点共圆的条件》教案

《数学活动：探究四点共圆的条件》教案教学目标教学目标：（1）探索并证明对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论. （2）在探究的过程中，体会由特殊到一般的数学思想，积累数学活动经验.教学重点：四点共圆的条件的探究.教学难点：四点共圆的条件的证明.教学过程时间教学环节主要师生活动一、创设情境，提出问题【创设情境】（1）经过一点A，可以在平面内作无数个圆.（2）经过两点A，B，可以在平面内作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.（3）经过三点：若A，B，C三点共线，则不能作出过三点的圆；若A，B，C三点不共线，可以作出一个圆.即：不在同一直线上的三点可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆.（4）经过平面内四点：若四个点中有任意三点共线，则不能作出过四点的圆；若其中任意三点都不共线，能否作出过四点的圆呢？【提出问题】过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？二、探究问题，提出猜想【引例】过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？正方形 矩形 平行四边形 等腰梯形 直角梯形想一想：正方形、矩形、等腰梯形有哪些共同特征？具有这些特征的其它四边形，过它的四个顶点是否一定能作一个圆？【猜想1】有一组对边平行的四边形的四个顶点共圆.【猜想2】有两个角是直角的四边形的四个顶点共圆.分析：需要分情况讨论.当两个直角相邻时，由直角梯形可知，四个顶点不一定共圆.当两个直角相对时，如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°.如图2，连接BD，作BD的中点O，连接OA，OC，则OA=OB=OD=OC，所以A，B，C，D在圆O上. 图1 图2【猜想3】过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.三、证明猜想，得出结论已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.求证：A，B，C，D四点共圆.证明：过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或点D在⊙O外. 若点D在⊙O内，延长AD交⊙O于E，连接CE，则∠B+∠E=180°.又∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠E.这与△CDE中，∠ADC>∠E矛盾，所以点D不在⊙O内.若点D在⊙O外，（请自己完成后面的画图和证明）……综上，假设不成立，点D在过A，B，C三点的圆上.结论：经过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.四、运用迁移【例】三角形的三条高线交于一点.已知：如图，△ABC的两条高BD，CE交于点H，连接AH并延长交BC于F.求证：AF⊥BC.【例】如图，∠ABC=∠ADC.求证：A，B，C，D四点共圆.五、总结提升【课堂小结】你可以用哪些方法证明四点共圆？如果要证明五个或五个以上的点共圆，可以怎样做？【布置作业】如图，在四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，添加下列条件中的一个后，不一定使A，B，C，D四点共圆的是（）.（A）∠B+∠D=180° （B）∠A=∠BCD（C）∠A=∠DCE （D）∠A=∠BCD=90°如图，将一个含45°角的直角三角板ABC和一个含30°角的直角三角板ADC拼在一起，斜边AC恰好重合，则∠BDC=________°.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B，C重合），∠AEF=90°.作正方形的外角∠DCG的平分线交射线EF于点H.请补全图形，并探究线段AE与EH之间的大小关系.（提示：先证明A，E，C，F四点共圆.）知能演练提升一、能力提升1.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,则半径为2的“等边扇形”的面积为()A.π B.1 C.2 D.22.如图,在扇形OAB中,已知∠AOB=90°,OA=2,过AB的中点C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,则图中阴影部分的面积为()A.π-1 B.π2-1 C.π-12 D3.如图,半径为10的扇形AOB中,∠AOB=90°,C为AB上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E.若∠CDE为36°,则图中阴影部分的面积为()A.10π B.9π C.8π D.6π4.如图,水平地面上有一面积为30πcm2的扇形OAB,半径OA=6cm,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则点O移动的距离为()A.20cm B.24cmC.10πcm D.30πcm5.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,2m长为半径的扇形区域(阴影部分)内种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是()A.6πm2 B.5πm2C.4πm2 D.3πm26.如图,△ABC是正三角形,曲线CDE……叫做“正三角形的渐开线”,其中CD,DE,EF……的圆心依次按A,B,C循环,它们依次相连接,若AB=1,则曲线CDEF7.如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.以点B为圆心,BO长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,F.若∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,则EF的长为.(结果保留π)

8.图中的粗线CD表示某条公路的一段,其中AmB是一段圆弧,AC,BD是线段,且AC,BD分别与圆弧AmB相切于点A,B,线段AB=180m,∠ABD=150°.(1)画出圆弧AmB的圆心O;(2)求A到B这段弧形公路的长.★9.如图,AB为☉O的直径,CD⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E,F.(1)请写出三条与BC有关的正确结论;(2)当∠D=30°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.二、创新应用★10.图①是某学校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形.图②是车棚顶部截面的示意图,AB所在圆的圆心为O.车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留π)知能演练·提升一、能力提升1.C使用扇形的面积公式S=12lR可求出其面积,即S=12×2×2=2.B3.A4.C点O移动的距离即扇形OAB所对应的弧长,先运用扇形的面积公式S扇形=nπR2360求出扇形的圆心角n=300°,再由弧长公式l=nπR180,5.A6.4π关键是确定圆心角和半径.因为△ABC是边长为1的正三角形,所以CD,DE,EF的圆心角都为因此CD=2π3,DE=4π3,EF=6π7.π8.解(1)如图,过点A作AO⊥AC,过点B作BO⊥BD,AO与BO相交于点O,O即为圆心.(2)因为AO,BO都是圆弧AmB的半径,O是其所在圆的圆心,所以∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°.所以△AOB为等边三角形,即AO=BO=AB=180m.所以AB=60π(m),即A到B这段弧形公路的长为60πm.9.解(1)答案不唯一,只要合理均可.例如:①BC=BD;②OF∥BC;③∠BCD=∠A;④BC2=CE2+BE2;⑤△ABC是直角三角形;⑥△BCD是等腰三角形.(2)连接OC(图略),则OC=OA=OB.∵∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∴∠AOC=120°.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,BC=1,∴AB=2,AC=3.∵OF⊥AC,∴AF=CF.∵OA=OB,∴OF是△ABC的中位线.∴OF=12BC=1∴S△AOC=12AC·OF=12×3×12=34,S扇形AOC=13π·OA2=π3.二、创新应用10.分析车棚的顶棚的展开图是矩形,顶棚的横截面是弓形,求出弓形的弧长,即得到了展开图的宽.解连接OB,过点O作OE⊥AB,垂足为点E,并延长交AB于点F,如图.由垂径定理,知E是AB的中点,F是AB的中点,从