湖北省六校（宜城一中枣阳一中曾都一中襄阳六中南漳一中老河口一中）2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025－2026学年上学期期中考试高二数学试题时间：120分钟分值：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.【答案】C【解析】【分析】根据焦点在轴上的椭圆列不等式即可得实数的取值范围.故选：C.2.某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由古典概型概率计算公式直接计算即可求解.【详解】符合题意的选择是：第一次取到不能打开门的钥匙有两种选择，第二次取到能打开门的钥匙只有一种选择，故选：B.【答案】D【解析】故选：D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量分析空间中的线、面位置关系，结合空间向量的坐标运算逐项分析判断.所以平面与平面不垂直，故D错误；故选：B.A.9 B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心坐标即得的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.故选：AA. B. C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】根据空间中，点线面位置关系，以及二面角的性质，求出各线段的长度，进而求出结果.【详解】故选：A.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义及勾股定理即可求解.【详解】如图，作出符合题意的图形，过的直线与椭圆交于，两点，故选：C.【答案】B【解析】故选：.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.D.若与相互独立，则和至少有一个发生的概率为【答案】AC【解析】【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率公式分别判断各选项.故选：AC.A.存在实数，使得直线与圆相切【答案】ACD【解析】所以圆上到直线的距离为的点有个，故C正确；故选：ACDD.若，分别是棱，的中点，则在上的投影向量的模长为定值【答案】AD【解析】【分析】根据正方体的性质，将正方体侧面展开，利用两点之间线段最短判断选项A，利用等体积法求点到平面距离判断选项B，构造空间直角坐标系，结合正方体及其外接球的性质判断选项C，利用投影向量模长公式求解判断选项D．选项B：选项D：记向量与的夹角为，则为锐角.故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【答案】【解析】【分析】根据直线平行求得直线的斜率，进而可得倾斜角.所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故答案为：【答案】【解析】【详解】如图所示，设椭圆的右焦点为，当且仅当在的延长线上时，等号成立，故答案为：13【解析】【详解】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程.【解析】【小问1详解】【小问2详解】（1）求和的值；（2）若两题都答对者可被评为“优秀”，求甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率.（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于和的方程组，求解即可；（2）法一：甲、乙至少有一人被评为“优秀”，包含甲被评为“优秀”、乙没被评为“优秀”，甲没被评为“优秀”、乙被评为“优秀”，甲、乙都被评为“优秀”三种情况，分别求解加和即可；法二：先求得甲、乙都没被评为“优秀”的概率，利用对立事件的思想，即可求得甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率.【小问1详解】由题可知，每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为，【小问2详解】设甲被评为“优秀”为事件，乙被评为“优秀”为事件，甲乙至少一人被评为“优秀”为事件.则（1）求动圆圆心的轨迹方程；【解析】【分析】（1）根据圆与圆的内切与外切可得圆心间距离与半径的关系，结合椭圆定义可得轨迹方程；（2）设点，利用转化法及坐标法表示向量数量积，结合点在椭圆上，根据椭圆上的点的坐标取值范围可得数量积范围.【小问1详解】【小问2详解】【答案】（1）证明见解析；【解析】【小问1详解】连接交于点，连接，【小问2详解】以为原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：（1）求与的交点的轨迹的方程；（2）证明见解析；（3）.【解析】所以与的交点的轨迹为以为直径的圆，根据几何关系即可确定圆心和半径