非线性回归模型课件-高二下学期数学人教A版选择性

8.2一元线性回归模型第三课时8.2.3非线性回归人教A版选择性必修第三册第八章第二单元课时目标1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.（重点）2.了解非线性回归模型.（难点）3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.（重点）1.经验回归方程：

2.最小二乘估计：经验回归方程中的参数计算公式为：复习回顾，引入新知1.非线性回归模型应用【问题提出】研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系．在大量的实际问题中，需要研究的两个变量不一定都呈现线性相关关系，它们之间可能呈现指数相关或对数相关等非线性相关关系.在应用中需要分析实际问题背景、观察散点图等进行判断.

对于非线性模型，某些情况下，可以转化为一元线性回归模型.（1）画散点图在图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.【例】人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.编号12345678年份18961912192119301936195619601968记录/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95散点图1.非线性回归模型应用

将经验回归直线叠加到散点图，得到下图.1.非线性回归模型应用

由图形可知，第一点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方.

这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.

1.非线性回归模型应用观察【追问1】如何修改模型，以使其更好地反映散点的分布特征？

1.非线性回归模型应用

（3）建立非线性回归方程令x=ln(t-1895)，通过x=ln(t-1895)，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据，如下表.编号12345678年份/t18961912192119301936195619601968x0.002.833.263.563.714.114.174.29记录/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.951.非线性回归模型应用

1.非线性回归模型应用

直接观察法在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象(蓝色)以及经验回归方程①的图象(红色).

非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①.（4）比较两个回归方程的拟合程度（4）比较两个回归方程的拟合程度1.非线性回归模型应用残差分析——直接比较

编号12345678189619121921193019361956196019680.5910.2840.3010.2180.1960.1110.0920.2050.0010.0070.0120.015-0.0180.0520.0210.022

观察各项残差的绝对值，发现经验回归方程②远远小于①，即经验回归方程②的拟合效果要远远好于①.

1.非线性回归模型应用（4）比较两个回归方程的拟合程度残差分析——比较残差平方和1.非线性回归模型应用（4）比较两个回归方程的拟合程度利用决定系数R2刻画回归效果.

与经验回归方程有关与经验回归方程无关R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.方程①和②的R2分别为0.7325和0.9983，可见②的刻画效果比①好很多.显然0≤R2≤1，所以R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好.另外，我们还可以用新的观测数据来检验模型的拟合效果.事实上，我们还有1968年之后的男子短跑100m世界纪录数据，如下表所示.编号91011121314198319881991199119941996/s9.939.929.909.869.859.84编号151617181920199920052007200820082009/s9.799.779.749.729.699.581.非线性回归模型应用显然绿色散点分布在蓝色经验回归曲线的附近，远离红色经验回归直线，表明经验回归方程②对于新数据的顶报效果远远好于①.1.非线性回归模型应用将新的观测数据（绿色的散点）添加到原来的散点图中，再添加经验回归方程①所对应的经验回归直线（红色），以及经验回归方程②所对应的经验回归曲线（蓝色），得到下图.【追问3】在上述问题情境中，男子短跑100m世界纪录和纪录产生年份之间呈现出对数关系，能借助于样本相关系数刻画这种关系的强弱吗？1.非线性回归模型应用

能，但样本相关系数用于衡量线性相关程度，需要先进行对数变换，将对数关系转换成线性关系之后，再采用样本相关系数去衡量.【追问5】解决非线性回归问题的步骤是什么？画散点图

选拟合函数变换求解变换还原根据原始数据(x,y)画散点图.根据散点图,发现非线性相关特征，选择恰当的拟合函数.进行恰当的变换，转化成线性函数，求经验回归方程.通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程.1.非线性回归模型应用说明：在使用经验回归方程进行预测时，需注意以下问题回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；我们所建立的回归方程一般都有时间性；样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值.事实上,它是预报变量的可能取值的平均值.1.非线性回归模型应用【练习】某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位:千万元)对年销售量y(单位:千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi(i=1,2,‧‧‧,10)的数据，得到散点图如图所示.

(1)利用散点图判断y=a+bx和y=c‧xd(其中c,d均为大于0的常数)哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；

(2)对数据作出如下处理，令ui=lnxi,vi=lnyi,得到相关统计量的值如下表.根据第(1)问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.1.非线性回归模型应用

1.非线性回归模型应用1.非线性回归模型应用【问题2】常见的非线性函数转换方法有哪些？

1.非线性回归模型应用【问题2】常见的非线性函数转换方法有哪些？

小结几种常见的非线性模型及其线性化的方法曲线类型变换方法变换公式变换后的线性关系式y=axb两边取自然对数并换元c=lna，v=lnx，u=lnyu=c+bv两边取自然对数并换元c=lna，u=lnyu=c+bx两边取自然对数并换元c=lna，v，u=lnyu=c+bvy=a+blnx换元v=lnxy=a+bvy=a+b换元v=，u=yu=a+bv题型1.用拟合效果分析非线性回归问题

D根据散点图，可以知道各点基本上是沿着一条具有递减趋势的曲线分布，并且变化趋势较平缓，A中，y=ax+b表示直线，变化趋势是定的，不符合题意；B中，y=ax2+b表示的曲线在(2，10)内随x的增大而上升或下降的越来越快，不符合题意；C中，y=aex+b表示的曲线不论是上升还是下降，都比较快，曲线较“陡峭”，不符合题意；D中，y=aln

x+b表示的曲线不论是上升还是下降，都比较平缓，符合题意.题型1.用拟合效果分析非线性回归问题(1)根据散点图可以判断两个变量之间的相关关系，根据样本点的分布选取合适的函数模型.(2)两个变量Y与x的回归模型中，决定系数R2越大，拟合效果越好.

反思感悟题型2.非线性回归模型【例2】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i=1，2，…，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(Ii-)2(Wi-)2(Ii-)·(Di-)(Wi-)·(Di-)1.04×10-1145.7-11.51.56×10-210.516.88×10-115.1

(Ii-)2(Wi-)2(Ii-)·(Di-)(Wi-)·(Di-)1.04×10-1145.7-11.51.56×10-210.516.88×10-115.1题型2.非线性回归模型

题型2.非线性回归模型

(1)确定变量：确定解释变量为x，响应变量为y.(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)图象作比较，选取拟合效果好的函数模型.(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题.(4)分析拟合效果：通过计算决定系数来判断拟合效果.(5)写出非线性经验回归方程.

反思感悟解决非线性回归问题的方法步骤题型3.利用决定系数R2刻画回归效果【例3】已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏.(若R2>0.9，则认为回归模型拟合效果很好)x1416182022y1210753解析题型3.利用决定系数R2刻画回归效果“R2、残差图”在回归分析中的作用总结

题型3.利用决定系数R2刻画回归效果题型4.非线性回归分析题型4.非线性回归分析总结解决非线性经验回归问题的方法及步骤题型4.非线性回归分析题卡点评11.(13分)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如表：月份123456广告投入量x/万元24681012收益y/万元14.2120.3131.83