等腰三角形的性质课件华东师大版八年级数学上册

第十二章

全等三角形12.3

等腰三角形等腰三角形的性质数学华东师大版八年级上册1.掌握等腰、等边三角形的概念及其相关性质；2.会利用等腰、等边三角形的性质解决相关问题；3.经历探索等腰三角形和等边三角形相关性质的过程，进一步理解轴对称的性质；4.通过探究积累数学活动经验，强化几何观念.观察下列图形，哪些位置的图形是等腰三角形的形状？都是等腰三角形活动一：等腰三角形的相关概念

操作：如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去红线下方的部分，再把它展开，得到△ABC.ACDBAC和AB有什么关系?AC=AB有两边相等的三角形是等腰三角形活动一：等腰三角形的相关概念底角底角ACB腰腰底边顶角等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，如图，在△ABC中，AB=AC，则△ABC为等腰三角形.另一边叫做底边，两腰对应的角叫做底角，底边对应的角叫做顶角.做一做：剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？活动二：等腰三角形的性质ABCD折叠的两部分重合即△ABD和△ACD重合活动二：等腰三角形的性质等腰三角形是轴对称图形.折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.我们可以得出结论：ACBD想一想：你们还有什么发现？∠B

＝∠C，即等腰三角形的两个底角相等.思考：你能证明上述结论吗？活动二：等腰三角形的性质将上述情况转为几何语言已知：如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C.ACBD12分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线AD，然后证明△ABD

≌△ACD.证明：如图，作∠BAC的平分线AD，∴∠1=∠2在△ABD

和△ACD中，∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD

≌△ACD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)活动二：等腰三角形的性质将上述情况转为几何语言已知：如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C.ACBD12注意：①在进行某些定理/性质的证明时，往往首先将文字语言转为几何语言；②在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线，辅助线通常作成虚线.例如，上述证明中所添加的顶角平分线AD.我们得到等腰三角形的性质：①等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；②等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”.总结活动二：等腰三角形的性质几何语言：在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C.ACB活动二：等腰三角形的性质探索：由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论?AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高.BD=CD∠ADB=∠ADC=90°ACBD12如何证明上述结论呢？中线高线角平分线∠1=∠2活动二：等腰三角形的性质ACBD12如图，

△ABC是等腰三角形，AB=AC，作顶角∠BAC的平分线AD，与BC交于点D，求证：BD=DC，AD⊥BC.AD为顶角平分线AD为底边中线AD为底边高线我们得到等腰三角形的“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合.简写成“三线合一”.总结活动二：等腰三角形的性质总结活动二：等腰三角形的性质几何语言：在△ABC中，

AB=AC，(1)∵AD是底边上的高，∴∠___=∠__，____=____.(2)∵AD是中线，∴____⊥____，∠__=∠__.(3)∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____.122BDCDADBCBD1BCADCDACBD12等腰三角形三线合一总结等腰三角形的有关性质：等腰三角形是轴对称图形；等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线、高重合，这条线所在直线也是对称轴；等腰三角形的底角相等.有一条对称轴三线合一等边对等角活动二：等腰三角形的性质活动三：等边三角形的性质思考：若等腰三角形的底边和腰相等，那这样的三角形是怎样的呢?等腰三角形中，若底边与腰相等，这时三角形三边都相等.三条边都相等的三角形叫做等边三角形(equilateral).BAC活动三：等边三角形的性质思考：(1)等边三角形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？BAC等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴.由AB=AC，根据“等边对等角”，可以得到∠B=∠C，同理可得∠A＝∠B，所以∠A＝∠B＝∠C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.活动三：等边三角形的性质思考：(2)在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.BAC等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80°，求∠C和∠A的大小.分析：利用等边对等角及三角形的内角和定理进行求解即可.解：∵AB=AC(已知)，∴∠C=∠B=80°(等边对等角)又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-80°-80°=20°注意已知角是底角还是顶角，如果没有明确，需要分类讨论.教材例题

已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数.经典例题解：设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为2x°.根据“三角形三个内角的和等于180°，得：x+2x+2x=180解得

x=36，2x°=2×36°=72°.所以，这个三角形的三个内角分别是36°，72°，72°.利用等腰三角形的两个底角相等，内角和是180°构建方程，解方程即可求得对应角度.注意分析：利用等腰三角形三线合一的性质及三角形的内角和定理进行求解即可.

在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°.求：(1)∠ADC的度数；(2)∠1的度数.ADC12B教材例题解：(1)∵AB=AC，BD=DC(已知)，∴AD⊥BC(等腰三角形“三线合一”).∴∠ADC=∠ADB=90°(垂直的定义).

在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°.求：(1)∠ADC的度数；(2)∠1的度数.分析：利用等腰三角形三线合一的性质及三角形的内角和定理进行求解即可.教材例题ADC12B解：(2)∵∠1+∠B+∠ADB=180°(三角形内角和等于180°)，∠B=30°(已知)，∴∠1=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°.思考：如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线PQ，现在你能证明所得的直线PQ确实是已知线段AB的垂直平分线吗？PQABOABPQ(2)作直线PQ.直线PQ就是线段AB的垂直平分线.

按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.PQABO证明：如图，设AB与PQ相交于点O，连结PA、PB、QA、QB.在△APQ和△BPQ中，∵AP=BP，AQ=BQ，PQ=PQ，∴△APQ≌△BPQ(SSS).∴∠APQ=∠BPQ(全等三角形的对应角相等).又∵AP=BP，∴AO=BO且PQ⊥AB(等腰三角形的三线合一).因此直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.作法：(1)以点C为圆心，任意长为半径作弧，交直线AB于点M，N.思考：如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP.当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线.PABC点C在直线AB上(3)连接PC.所以直线PC就是过点C且垂直于直线AB的垂线.思考：当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线AB的垂线吗?点C在直线AB外比较垂线的作法示意图与垂直平分线的作法示意图，我们可以发现两者十分类似，过直线AB外一点C作AB的垂线，就相当于作线段MN的垂直平分线.PABMCN作法：(1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点M，N.(3)连接PC.所以直线PC就是过点C且垂直于直线AB的垂线.证明：如图，连结CM、CN、PM、PN.在△PMC和△PNC中，∵CM=CN，PM=PN，PC=PC，∴△PMC≌△PNC(SSS).∴∠CPM=∠CPN(全等三角形的对应角相等).又∵PM=PN，∴PC⊥AB(等腰三角形的三线合一).因此直线CP是直线AB的垂线.按如图所示的尺规作图的作法，证明直线CP是直线AB的垂线.PABMCN教材练习1.填空：(1)等腰三角形一个底角为50°，那么其余两个角的度数分别为

和______；(2)如果等腰三角形的顶角为70°，那么它的一个底角的度数为_____.2.如图，点E在BC上，AE∥DC，AB=AE.求证：∠B=∠C.50°55°80°证明：∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∵AE∥DC，∴∠AEB=∠C，∴∠B=∠C.3.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E.

求证：BD=CE.证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠BEC=∠CDB=90°∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∴在△BEC和△CDB中，∵∠BEC=∠CDB，∠EBC=∠DCB，BC=CB∴△BEC≌△CDB(AAS).∴BD=CE.AEDBC教材练习4.如图，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上，且∠DAC=50°.求证：BD=CD.ABCD40°50°证明：∵AB=AC，∠B=40°，∴∠C=∠B=40°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，又∵∠DAC=50°，∴∠BAD=50°=∠DAC.即：AD是等腰三角形ABC的角平分线，∴BD=CD.教材练习5.已知一个等腰三角形的周长为22cm，若其中一边长为6