专题01 集合与常用逻辑用语（期末复习知识清单）（原卷版及全解全析）高一数学上学期人教A版

12/13专题01集合与常用逻辑用语（6知识&9题型&2易错&1方法清单）【清单01】集合的概念与表示一、集合的概念★1.元素:一般地,把统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.3.集合相等:构成两个集合的元素是的.4.集合与元素的关系：关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素,就说a属于集合AaAa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合Aa

Aa不属于集合A二、集合中元素的特征★★★(1)确定性——对于一个给定的集合,它的元素必须是.也就是说,如果给定

一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.(2)互异性——对于一个给定的集合,它的元素一定是的.也就是说,集合

中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算为

元素.(3)无序性——对于一个给定的集合,它的元素并无,即任何两个元素都

是可以交换顺序的.三、集合的表示★★★★1.列举法把集合的所有元素,并表示集合的方法叫做列举法.2.描述法(1)定义:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.(2)写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再

画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的.特别提醒：用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他类型的集合．如集合表示函数的定义域；集合表示函数的值域；集合表示函数的点集；集合表示方程的解集.3.常见数集的表示★★常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR【清单02】集合之间的关系一、子集、真子集、集合相等★★★★概念图示性质子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的

,记作

(或

),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 任何一个集合是它本身的子集,即A⊆

A;对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆

C集合相等一般地,如果集合A的元素都是集合B的元素,同时集合B的元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作

 A⊆B,且B⊆A⇔A=B;A=B,且B=C,则A=C真子集如果集合

,但存在元素x∈B,且,就称集合A是集合B的真子集,记作(或) A⫋B,且B⫋C,则A⫋C;A⊆B,且A≠B,则A⫋B二、空集★★定义的集合叫做空集符号 

规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的二级结论：若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2.三、Venn图★★在数学中,经常用平面上封闭曲线的代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示.【清单03】集合的交集、并集及补集运算一、集合的并集与交集★★★★★文字语言符号语言图形语言运算性质并集一般地,由所有属于集合A

属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作

(读作“A并B”)A∪B=

 A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪⌀=⌀∪A=A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B),A⊆B⇔A∪B=B文字语言符号语言图形语言运算性质交集一般地,由所有属于集合A属于集合B的元素

组成的集合,称为集合A与B的交集,记作

(读作“A交B”)A∩B=

 A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩⌀=⌀∩A=⌀,(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B,A⊆B⇔A∩B=A二、集合的全集与补集★★★★1.全集一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的,那么就称这个集合为全集,通常记作U.2.补集文字语言对于一个集合A,由全集U中集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作

符号语言=

图形语言 运算性质⊆U,=⌀,=U,()=A,A∪()=U,A∩()=⌀二级结论：1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A∩()=⇔()∪B=U；2.德摩根律=1\*GB3①；=2\*GB3②【清单04】充分条件、必要条件及充要条件一、充分条件与必要条件★★★★★命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系由p可以推出q,记作

由p不能推出q,记作

条件关系p是q的

p不是q的

q是p的

q不是p的

二、充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q

,又有q⇒p,就记作

p⇔q

.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.【清单05】全称量词与存在量词一、全称量词与全称量词命题★★全称量词全称量词命题全称量词命题的真假判断短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做

,并用符号“

”表示含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为全真为真,一假为假二、存在量词与存在量词命题★★存在量词存在量词命题存在量词命题的真假判断短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做

,并用符号“

”表示含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为

一真为真,全假为假【清单06】全称量词与存在量词命题的否定★★★★命题的类型命题的符号表示命题的否定的符号表示命题的否定的类型全称量词命题p:∀x∈M,p(x)¬p:

存在量词命题存在量词命题p:∃x∈M,p(x)¬p:

全称量词命题【题型一】判断集合之间的关系【例1】（2025-2026湖北武汉期中）已知集合,则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,∵,∴表示所有奇数,也表示所有奇数,∴,故选D．【归纳总结】判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.【变式1-1】（2025-2026陕西汉中期中）已知集合,则（

）A． B． C． D．【题型二】利用集合之间的关系求参数【例2】（2025-2026河北省五校联合教研体期中）已知集合,,若,则m的值为（

）A．1 B．2 C．0 D．1或2【答案】B【解析】集合,因为,,所以的值为2,故选B.【变式2-1】（2025-2026安徽鼎尖名校期中）已知集合,若,则满足条件的实数的个数为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2025-2026湖北黄冈期中）已知集合,若,则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-3】（2025-2026安徽六安期中）已知集合,若,则实数的取值集合为.【题型三】集合的基本运算【例3】（2025-2026江苏连云港期中）已知集合,,则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合,,所以.故选B【归纳总结】进行集合的交、并、补运算注意三点：(1)意义化：分清集合的类型,是表示数集、点集还是图形构成的集合．(2)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来．(3)求出有关集合中方程、不等式的解,不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式．运算时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍．【变式3-1】（2025-2026福建莆田期中）已知集合,,则（）A． B．C． D．【变式3-2】（2025-2026安徽合肥期中）已知集合,则（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2025-2026江苏南京期中）已知全集,,,则图中阴影部分表示的集合为．

【题型四】利用集合的运算求参数【例4】（2025-2026内蒙古赤峰期中）已知集合,若,则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为,所以,又因为,所以,所以的取值范围是.故选A.【变式4-1】（2025-2026江苏南通期中）已知集合,集合,若,则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2025-2026山东枣庄期中）已知集合,若,则【题型五】充分条件、必要条件的判定【例5】（2025-2026天津滨海新区期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】,得,因为集合是集合的真子集,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.【归纳总结】对充分条件与必要条件的理解充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”【变式5-1】（2025-2026四川省成都蓉城联盟期中）已知命题,,则p是q的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式5-2】（2025-2026山东省青岛期中）“且”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型六】充分条件、必要条件的应用【例6】（2025-2026江苏淮安市高中协作体期中）已知集合,.若“”是“”的必要条件,则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为“”是“”的必要条件,所以,由,所以,解得,所以实数的取值范围是,故选B【归纳总结】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；(3)若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．【变式6-1】（2025-2026上海市复旦大学附中期中）设α：,β：,若α是β的充分条件,则实数a的取值范围是．【变式6-2】（2025-2026陕西渭南期中）已知命题：“方程至少有一个解”,若的一个必要不充分条件为“”,则实数的取值范围是.【题型七】含量词命题真假的判定【例7】（2025-2026浙江省钱塘联盟期中）下列命题正确的是（

）A．B．是的充分不必要条件C．D．菱形的两条对角线相等【答案】B【解析】选项A：对于方程,判别式,所以方程无实数根,故A错误；选项B：当时,成立,充分性成立,当时,解得,必要性不成立,所以是的充分不必要条件,故B正确；选项C：当时,满足条件,但此时,故C错误；选项D：菱形的两条对角线不一定相等,故D错误.故选B【变式7-1】（2025-2026湖南岳阳市平江县期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A．,方程有实数根B．存在一条直线与已知直线不平行C．对任意实数若,则D．存在一个实数x,使等式成立【题型八】含量词命题的否定【例8】（2025-2026广东深圳期中）命题“,使得”的否定为（

）A．,使得 B．,使得C．,使得 D．,使得【答案】C【解析】原命题是存在量词命题,其否定是全称量词命题,所以命题“,使得”的否定为“,使得”.故选C【归纳总结】对全称（存在）命题进行否定的方法①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词．②对原命题的结论进行否定．【变式8-1】（2025-2026广东省惠州期中）,否定是（

）A．, B．,C．, D．,【题型九】含量词命题及否定的应用【例9】（2024-2025山东省单县调研）若命题“存在,”为假命题,则实数的取值范围是【答案】【解析】由题意可知,任意,是真命题,当时,成立,当时,,得,综上可知,的取值范围是.【变式9-1】（2025-2026云南玉溪月考）若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式9-2】（2025-2026河北省部分高9月联合测评）若命题“任意”为假命题,则实数a的取值范围是．【题型一】利用集合之间的关系求参数,忽略元素的互异性致错【例1】（2024-2025云南昆明市期末）已知集合,,则（

）A．0 B．1 C．0或1 D．4【答案】B【解析】因为,,,所以,所以或,即或.当时,,集合中的元素不满足互异性,舍去；当时,,满足.综上,.故选B【点评】本题求出,易忽略检验是否满足元素的互异性.【易错提醒】在判断集合中元素的个数时,不少同学常因忽视互异性,疏于检验而出错．一般地,在解集合中的未知元素时,要将所得值回归集合中,检验集合是否满足互异性,若不满足互异性,则应舍去.【变式1-1】（2025-2026上海市香山中学期中）已知集合,,且,则的值为.【题型二】利用或求参数忽略为空集致错【例2】（2025-2026黑龙江佳木斯市期中）已知集合满足,则实数的值是（

）A．0或 B．1或 C．0或或1 D．0或【答案】C【解析】因为,且,当时,符合题意；当时,又,所以或,解得或,综上可得实数的取值集合为.故选C.【点评】本题时也满足条件【易错提醒】涉及到“”或“,且B≠”的问题,一定要分A＝和A≠两种情况讨论,不要忽视空集的情况．【变式2-1】（2025-2026湖南衡阳）已知集合,已知,若,则实数m的取值范围（

）A． B． C． D．【题型一】利用正难则反求解数学问题解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.【例1】已知A＝{x|x2＋x＋a≤0},B＝{x|x2－x＋2a－1＜0},C＝{x|a≤x≤4a－9},且A,B,C中至少有一个不是空集,求a的取值范围．【解析】这个问题的反面即是三个集合全为空集,即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－4a＜0，,1－4（2a－1）≤0，,a＞4a－9，))解得eq\f(5,8)≤a＜3,从而所求a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a＜\f(5,8)或a≥3)).【变式1—1】（2025-2026江苏淮安市高中协作体期中）设命题,；命题,(1)若为真命题,求实数的取值范围；(2)若为假命题,求实数的取值范围；(3)若、至多有一个为真命题,求实数的取值范围.

专题01集合与常用逻辑用语（6知识&9题型&2易错&1方法清单）【清单01】集合的概念与表示一、集合的概念★1.元素:一般地,把研究对象统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.3.集合相等:构成两个集合的元素是一样的.4.集合与元素的关系：关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素,就说a属于集合Aa∈

Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合Aa

∉

Aa不属于集合A二、集合中元素的特征★★★(1)确定性——对于一个给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,如果给定

一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.(2)互异性——对于一个给定的集合,它的元素一定是互不相同的.也就是说,集合

中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算为一个

元素.(3)无序性——对于一个给定的集合,它的元素并无先后顺序,即任何两个元素都

是可以交换顺序的.三、集合的表示★★★★1.列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.2.描述法(1)定义:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.(2)写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再

画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.特别提醒：用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他类型的集合．如集合表示函数的定义域；集合表示函数的值域；集合表示函数的点集；集合表示方程的解集.3.常见数集的表示★★常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR【清单02】集合之间的关系一、子集、真子集、集合相等★★★★概念图示性质子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集

,记作

A⊆B

(或

B⊇A

),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 任何一个集合是它本身的子集,即A⊆

A;对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆

C集合相等一般地,如果集合A的任何一元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作

A=B

 A⊆B,且B⊆A⇔A=B;A=B,且B=C,则A=C真子集如果集合

A⊆B

,但存在元素x∈B,且x∉A

,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A) A⫋B,且B⫋C,则A⫋C;A⊆B,且A≠B,则A⫋B二、空集★★定义不含任何元素的集合叫做空集符号 

⌀

规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集二级结论：若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2.三、Venn图★★在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示.【清单03】集合的交集、并集及补集运算一、集合的并集与交集★★★★★文字语言符号语言图形语言运算性质并集一般地,由所有属于集合A或

属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作

A∪B

(读作“A并B”)A∪B={x|x∈

A,或x∈B}

 A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪⌀=⌀∪A=A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B),A⊆B⇔A∪B=B文字语言符号语言图形语言运算性质交集一般地,由所有属于集合A且

属于集合B的元素

组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B

(读作“A交B”)A∩B={x|x∈

A,且x∈B}

 A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩⌀=⌀∩A=⌀,(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B,A⊆B⇔A∩B=A二、集合的全集与补集★★★★1.全集一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.2.补集文字语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作

符号语言={x|x∈U,且x∉A}

图形语言 运算性质⊆U,=⌀,=U,()=A,A∪()=U,A∩()=⌀二级结论：1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A∩()=⇔()∪B=U；2.德摩根律=1\*GB3①；=2\*GB3②【清单04】充分条件、必要条件及充要条件一、充分条件与必要条件★★★★★命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系由p可以推出q,记作

p⇒q

由p不能推出q,记作

q⇏p

条件关系p是q的充分条件

p不是q的充分条件

q是p的必要条件

q不是p的必要条件

二、充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q

,又有q⇒p,就记作

p⇔q

.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.【清单05】全称量词与存在量词一、全称量词与全称量词命题★★全称量词全称量词命题全称量词命题的真假判断短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词

,并用符号“∀

”表示含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x)

全真为真,一假为假二、存在量词与存在量词命题★★存在量词存在量词命题存在量词命题的真假判断短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词

,并用符号“

∃

”表示含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x)

一真为真,全假为假【清单06】全称量词与存在量词命题的否定★★★★命题的类型命题的符号表示命题的否定的符号表示命题的否定的类型全称量词命题p:∀x∈M,p(x)¬p:

∃x∈M,¬p(x)

存在量词命题存在量词命题p:∃x∈M,p(x)¬p:

∀x∈M,¬p(x)

全称量词命题【题型一】判断集合之间的关系【例1】（2025-2026湖北武汉期中）已知集合,则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,∵,∴表示所有奇数,也表示所有奇数,∴,故选D．【归纳总结】判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.【变式1-1】（2025-2026陕西汉中期中）已知集合,则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方程的两根分别为,所以集合,故,,,,故A,B,C错误,D正确.故选D.【题型二】利用集合之间的关系求参数【例2】（2025-2026河北省五校联合教研体期中）已知集合,,若,则m的值为（

）A．1 B．2 C．0 D．1或2【答案】B【解析】集合,因为,,所以的值为2,故选B.【变式2-1】（2025-2026安徽鼎尖名校期中）已知集合,若,则满足条件的实数的个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为且,所以,又因为,所以或,当时,,此时满足,该情况成立；当时,或：若,则,此时满足,该情况成立；若,则,此时满足,该情况成立；所以满足条件的的个数为3个.故选C.【变式2-2】（2025-2026湖北黄冈期中）已知集合,若,则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合,解得,集合,解得,说明集合中的元素都属于集合,即.故选B【变式2-3】（2025-2026安徽六安期中）已知集合,若,则实数的取值集合为.【答案】【解析】由题意得,,当时,,满足；当时,,则或,解得或.综上,实数的取值集合为.【题型三】集合的基本运算【例3】（2025-2026江苏连云港期中）已知集合,,则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合,,所以.故选B【归纳总结】进行集合的交、并、补运算注意三点：(1)意义化：分清集合的类型,是表示数集、点集还是图形构成的集合．(2)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来．(3)求出有关集合中方程、不等式的解,不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式．运算时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍．【变式3-1】（2025-2026福建莆田期中）已知集合,,则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为,,所以.故选A．【变式3-2】（2025-2026安徽合肥期中）已知集合,则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,或,则,则.故选D.【变式3-3】（2025-2026江苏南京期中）已知全集,,,则图中阴影部分表示的集合为．

【答案】【解析】由Venn图可知,图中阴影部分区域表示为,,,或,,或,【题型四】利用集合的运算求参数【例4】（2025-2026内蒙古赤峰期中）已知集合,若,则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为,所以,又因为,所以,所以的取值范围是.故选A.【变式4-1】（2025-2026江苏南通期中）已知集合,集合,若,则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由,则,故实数的取值范围为.故选B.【变式4-2】（2025-2026山东枣庄期中）已知集合,若,则【答案】2【解析】由,得,则或,当时,得,则,集合中元素不满足互异性,舍去；当时,解得或,若,则,,合题意；若,则,集合中元素不满足互异性,舍去；综上,.【题型五】充分条件、必要条件的判定【例5】（2025-2026天津滨海新区期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】,得,因为集合是集合的真子集,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.【归纳总结】对充分条件与必要条件的理解充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”【变式5-1】（2025-2026四川省成都蓉城联盟期中）已知命题,,则p是q的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若,则一定成立,故；若,则或,不一定有,故.因此,是的充分不必要条件.故选A.【变式5-2】（2025-2026山东省青岛期中）“且”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【谢谢】由且,得；反之,由,得且,或者且,所以“且”是“”的充分不必要条件.故选A【题型六】充分条件、必要条件的应用【例6】（2025-2026江苏淮安市高中协作体期中）已知集合,.若“”是“”的必要条件,则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为“”是“”的必要条件,所以,由,所以,解得,所以实数的取值范围是,故选B【归纳总结】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；(3)若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．【变式6-1】（2025-2026上海市复旦大学附中期中）设α：,β：,若α是β的充分条件,则实数a的取值范围是．【答案】.【解析】由α是β的充分条件,可得是的子集,即【变式6-2】（2025-2026陕西渭南期中）已知命题：“方程至少有一个解”,若的一个必要不充分条件为“”,则实数的取值范围是.【答案】【解析】对于命题：“方程至少有一个解”,若,则,解得,符合题意；若,则,解得且；综上所述：.若的一个必要不充分条件为“”,可知集合是集合的真子集,则,解得,所以实数的取值范围是.【题型七】含量词命题真假的判定【例7】（2025-2026浙江省钱塘联盟期中）下列命题正确的是（

）A．B．是的充分不必要条件C．D．菱形的两条对角线相等【答案】B【解析】选项A：对于方程,判别式,所以方程无实数根,故A错误；选项B：当时,成立,充分性成立,当时,解得,必要性不成立,所以是的充分不必要条件,故B正确；选项C：当时,满足条件,但此时,故C错误；选项D：菱形的两条对角线不一定相等,故D错误.故选B【变式7-1】（2025-2026湖南岳阳市平江县期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A．,方程有实数根B．存在一条直线与已知直线不平行C．对任意实数若,则D．存在一个实数x,使等式成立【答案】C【解析】因为B,D是存在量词命题,故应排除;对于A,当时,方程无实数根,故A错误,由不等式性质知,C是真命题.故选C.【题型八】含量词命题的否定【例8】（2025-2026广东深圳期中）命题“,使得”的否定为（

）A．,使得 B．,使得C．,使得 D．,使得【答案】C【解析】原命题是存在量词命题,其否定是全称量词命题,所以命题“,使得”的否定为“,使得”.故选C【归纳总结】对全称（存在）命题进行否定的方法①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词．②对原命题的结论进行否定．【变式8-1】（2025-2026广东省惠州期中）,否定是（

）A．, B．,C．, D．,【答案】C【解析】因为,否定是,.故选C.【题型九】含量词命题及否定的应用【例9】（2024-2025山东省单县调研）若命题“存在,”为假命题,则实数的取值范围是【答案】【解析】由题意可知,任意,是真命题,当时,成立,当时,,得,综上可知,的取值范围是.【变式9-1】（2025-2026云南玉溪月考）若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案