专题03 基本不等式及其应用（期末专项训练12大题型58题）（原卷版及全解全析）高一数学上学期人教A版

2/24专题03基本不等式及其应用题型1基本不等式求积的最大值（重点）题型7条件等式变形求最值（难点）题型2基本不等式求和的最小值（重点）题型8基本不等式链的应用题型3基本不等式“1”的妙用求最值（重点）题型9利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（重点）题型4二次与二次(或一次)的商式的最值题型10利用基本不等式证明不等式题型5换元法求最值（常考点）（难点）题型11基本不等式的实际应用（常考点）题型6两次应用基本不等式求最值（难点）题型12权方和不等式（拓展）（重点）2/24题型一基本不等式求积的最大值（共5小题）1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（

）A．12 B．14 C．16 D．183．（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知，且，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．5 D．104．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，且，则的最大值为.5．（24-25高一上·吉林四平·期末）用一根长度为2的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为.题型二基本不等式求和的最小值（共3小题）6．（24-25高一下·内蒙古·期末）的最小值为（

）A． B． C．6 D．247．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．58．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（

）A．4 B．5 C．3 D．29．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（

）A．7 B．1 C．5 D．10．（24-25高一上·河南周口·期末）若，则的最大值为.题型三基本不等式“1”的妙用求最值（共10小题）11．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若正数满足，则的最小值为（

）A． B． C．6 D．12．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知任意正实数x，y满足，则的最小值是（

）A． B． C．5 D．13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，且，则的最小值是（

）A．49 B．50 C．51 D．5214．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）已知，则的最小值是（

）A． B．9 C．4 D．515．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数，若，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，则的最小值为．17．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为.18．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为.19．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为.20．（23-24高一上·天津·期末）函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，则的最小值为．题型四二次与二次(或一次)的商式的最值（共3小题）21．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是.22．（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（

）．A． B． C．5 D．823．（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）已知正数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型五换元法求最值（共8小题）24．（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为.25．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数满足，则的最小值是.26．（2025·浙江·一模）已知实数满足，则的取值范围是..27．（25-26高一上·上海·期中）已知对任意实数，二次函数恒成立，且，则的最小值为．28．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数、满足：，则的最大值为，若实数，则的最小值为．29．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，则的最大值是，的最小值是．30．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知，则的最大值为.31．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，则的最大值为．题型六两次应用基本不等式求最值（共2小题）32．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．333．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知正数a，b满足，，则的最小值为.题型七条件等式变形求最值（共7小题）34．（25-26高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．235．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，，且，则的最小值是（

）A． B．5 C． D．736．（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知，且，则的最小值与最大值之和为（

）A． B． C． D．37．（25-26高三上·安徽·月考）已知实数a，b，c满足，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．4 D．838．（25-26高一上·辽宁·月考）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．339．（25-26高一上·河南郑州·月考）已知，b为正实数，且，则的最小值为．题型八基本不等式链的应用（共2小题）40．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，，，中最大的是（

）A． B． C． D．41．（多选）若，且，则（

）A． B．C． D．题型九利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（共4小题）42．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（

）.A． B． C．1 D．43．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．44．（25-26高一上·天津·期中），，且满足，若恒成立，则的取值范围为45．（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，且，若恒成立，则实数的最大值为.46．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为.47．（25-26高一上·贵州遵义·期中）关于x的不等式，对满足的任意正实数都成立，则实数x的最大值为．题型十利用基本不等式证明不等式（共4小题）48．（25-26高一上·湖北随州·月考）已知且求证：(1)，；(2)；(3).49．（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正数，求证：；（2）若，且，求的取值范围．50．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知，且.求证：(1)；(2).51．（25-26高一上·海南海口·月考）(1)已知均为正实数，求证：；(2)已知，求证：.题型十一基本不等式的实际应用（共5小题）52．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中．(1)如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益；(2)请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益．53．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.(1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？(2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值.54．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）.(1)试用表示的长，并求的取值范围；(2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值.题型十二权方和不等式（拓展）（共4小题）55．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．39 B．52 C．49 D．3656．（23-24高一上·陕西西安·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．1857．（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值．58．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.(1)若，证明二维形式的权方和不等式：.(2)已知，，求的最小值.(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.已知正数，满足，求的最大值.解：由权方和不等式得，所以的最大值是5.

专题03基本不等式及其应用题型1基本不等式求积的最大值（重点）题型7条件等式变形求最值（难点）题型2基本不等式求和的最小值（重点）题型8基本不等式链的应用题型3基本不等式“1”的妙用求最值（重点）题型9利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（重点）题型4二次与二次(或一次)的商式的最值题型10利用基本不等式证明不等式题型5换元法求最值（常考点）（难点）题型11基本不等式的实际应用（常考点）题型6两次应用基本不等式求最值（难点）题型12权方和不等式（拓展）（重点）题型一基本不等式求积的最大值（共5小题）1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本不等式，可得答案.【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，所以时，的最大值为，故选：A.2．（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】应用基本不等式求面积最大值即可.【详解】设直角三角形两直角边分别为，则，当且仅当时取等号，故其面积的最大值是.故选：C3．（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知，且，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．5 D．10【答案】A【分析】根据对数函数单调性可判断两数均为正数，再由基本不等式计算可求得结果.【详解】由可得，所以可得，当且仅当时等号成立；所以的最大值为1.故选：A4．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，且，则的最大值为.【答案】/【分析】利用基本不等式可求乘积的最大值.【详解】由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故答案为：.5．（24-25高一上·吉林四平·期末）用一根长度为2的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为.【答案】【分析】根据已知条件及基本不等式，利用弧长公式及扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，，则，当且仅当时，等号成立，所以扇形面积，当时，扇形面积取得最大为.所以圆心角的弧度数为.故答案为:.题型二基本不等式求和的最小值（共3小题）6．（24-25高一下·内蒙古·期末）的最小值为（

）A． B． C．6 D．24【答案】B【分析】将变形为，再利用基本不等式求其最小值即可.【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为，故选：B.7．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】C【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解.【详解】由，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：C.8．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（

）A．4 B．5 C．3 D．2【答案】C【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件即可.【详解】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3.故选：C9．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（

）A．7 B．1 C．5 D．【答案】A【分析】先将变为，然后利用基本不等式求解最小值即可.【详解】因为，所以，所以．当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7．故选：A10．（24-25高一上·河南周口·期末）若，则的最大值为.【答案】【分析】变形得到，由基本不等式求出最值.【详解】，，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故.故答案为：题型三基本不等式“1”的妙用求最值（共10小题）11．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若正数满足，则的最小值为（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】利用等量关系和基本不等式可求答案.【详解】由得，故，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B．12．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知任意正实数x，y满足，则的最小值是（

）A． B． C．5 D．【答案】A【分析】利用“1”的妙用，根据基本不等式即可求最值.【详解】因为，所以，又，所以，则由基本不等式可得：，当且仅当，即时，等号成立.因此，的最小值是.故选：A.13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，且，则的最小值是（

）A．49 B．50 C．51 D．52【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法计算可得.【详解】因为，且，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：A14．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）已知，则的最小值是（

）A． B．9 C．4 D．5【答案】A【分析】根据基本不等式求最值即可得解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：A15．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数，若，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则为奇函数且是增函数，由可得，即，再利用基本不等式可得答案.【详解】设，定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数；则，，故；因为为增函数，故，即，，故与同号，显然它们都是正数；当且仅当，即时等号成立；故选：D.16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，则的最小值为．【答案】6【分析】应用“1”的代换及基本不等式求的最小值，注意取值条件.【详解】由题设，当且仅当时取等号，即的最小值为6.故答案为：617．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为.【答案】/4.5【分析】根据“1”的变形技巧，利用基本不等式得解.【详解】由可得，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：18．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为.【答案】【分析】化简可得，结合基本不等式求其最小值.【详解】因为正实数，满足，当且仅当且时，即时取等号.故答案为：.19．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为.【答案】/【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值.【详解】因为，所以，又实数，，所以所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：.20．（23-24高一上·天津·期末）函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，则的最小值为．【答案】【分析】由指数函数的性质，确定定点坐标，再代入三角函数，可得，再利用基本不等式，即可求解.【详解】函数（且）横过定点，由题意可知，，即，，则，当时，即，得，时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：题型四二次与二次(或一次)的商式的最值（共3小题）21．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是.【答案】/【分析】依题意利用基本不等式计算可得.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，故答案为：22．（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【答案】A【分析】化简变形利用基本不等式计算即可．【详解】易知．因为，所以，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故，则的最大值是．故选：A23．（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）已知正数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.【详解】，因为，故，则，当且仅当，也即取得等号，故的最小值为.故选：D.题型五换元法求最值（共8小题）24．（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为.【答案】【分析】设，，再根据结合基本不等式求解即可.【详解】设，，则，因为，故，则.故，，当且仅当，即，结合可得，，即，，，时取等号.故答案为：25．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数满足，则的最小值是.【答案】【分析】先对已知条件变形因式分解，令，解出然后换元化简利用基本不等式求其最值.【详解】对已知变形有因式分解得，设，则，因为都是正实数，所以，联立方程组，解得，因为所以，故，所以，当且仅当，时取最小值.故答案为:26．（2025·浙江·一模）已知实数满足，则的取值范围是..【答案】【分析】由题干中的等量关系化简所求代数式，根据参数的取值范围，可得答案.【详解】，则，又，得，设，由函数在上单调递减，在上单调递增，则，由原式为，则所求范围为.故答案为：.27．（25-26高一上·上海·期中）已知对任意实数，二次函数恒成立，且，则的最小值为．【答案】【分析】先由二次函数恒成立得到，再令，将所求分式变成关于的分式，然后利用基本不等式可求.【详解】因为对任意实数，二次函数恒成立，则，且，令，则，当且仅当时取等号.故答案为：3．28．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数、满足：，则的最大值为，若实数，则的最小值为．【答案】【分析】对于第一空，利用基本不等式，再利用换元法令，再解一元二次不等式即可得解；对于第二空，先将整理为，再利用换元法令，将整理为，再利用基本不等式求得该式的最小值为，再运用配凑法与基本不等式求得的最小值即可得解.【详解】对于第一空：，当且仅当时等号成立.令，则可化为，解得，则，，当且仅当时等号成立，故的最大值为；对于第二空：可整理为，令，则.，当且仅当，即时，即时，等号成立，即最小值为，即.又因为，当且仅当，即时，等号成立.综上，当且仅当时，取到最小值故答案为：①；②.29．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，则的最大值是，的最小值是．【答案】4【分析】空一：化简，再利用“1”的代换结合基本不等式求解即可；空二：令，换元可得，再令，可得，结合二次函数的性质求解即可.【详解】由，则，所以，当且仅当，即时等号成立，则的最大值是；由，令，则，所以，令，则，所以时，取得最小值4.故答案为：；4.30．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知，则的最大值为.【答案】【分析】利用条件将变形为，令（），则原式可化为，利用对勾函数在上的单调性求出最小值，即可得解.【详解】①．由得，则②，将②代入①可得③．令，则.因为（当且仅当时等号成立），所以.所以③可化为，由对勾函数的性质可知函数在上单调递增，所以函数在时取到最小值，所以所以的最大值为．故答案为：31．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，则的最大值为．【答案】【分析】消去后借助换元法可用表示，再对分类讨论后利用基本不等式计算即可得解.【详解】由，则，即，则，由，，故，即，令，则，有，当时，；当时，，当且仅当，即，时，等号成立；综上可得，的最大值为.故答案为：.题型六两次应用基本不等式求最值（共2小题）32．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可.【详解】由条件可得，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当，且，即，，等号成立.故选：B.33．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知正数a，b满足，，则的最小值为.【答案】【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值．【详解】解：由，得，因为，，所以，当且仅当，即时取“等号”，所以当，，时，的最小值为故答案为：题型七条件等式变形求最值（共7小题）34．（25-26高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】由得到，直接利用基本不等式求解即可.【详解】，，，，，，，，当且仅当时取等号，即，解得，的最小值为9.故选：A.35．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，，且，则的最小值是（

）A． B．5 C． D．7【答案】D【分析】先根据已知条件得出的关系，代入后变形构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值．【详解】，，且，，，，当且仅当，即等号成立，的最小值为7．故选：D．36．（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知，且，则的最小值与最大值之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用基本不等式得求的范围，注意端点值的取值条件，即可得.【详解】由，有，有，得，当时，，当时，，所以的最小值为，最大值为2，所以的最小值与最大值之和为.故选：D37．（25-26高三上·安徽·月考）已知实数a，b，c满足，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】灵活应用基本不等式即可求解.【详解】由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，可取，所以的最大值为2．故选：B.38．（25-26高一上·辽宁·月考）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根据已知等式，将目标式化为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件.【详解】由题知，所以，当且仅当，即时，取等号.故选：B39．（25-26高一上·河南郑州·月考）已知，b为正实数，且，则的最小值为．【答案】/【分析】由条件可得，据此利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，，b为正实数，所以，，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：题型八基本不等式链的应用（共2小题）40．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，，，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项.【详解】因为，所以，，，当且仅当时，等号成立，则.故选：A.41．（多选）若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据作差法结合条件可判断AB，利用基本不等式可判断CD.【详解】，且，所以，即，故A错误，B正确；所以，即，故C错误，D正确.故选：BD.题型九利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（共4小题）42．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（

）.A． B． C．1 D．【答案】C【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得.【详解】，，恒成立，而，当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为.故选：C.43．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可．【详解】即，（当且仅当时取等号），又不等式恒成立，所以．故选：C．44．（25-26高一上·天津·期中），，且满足，若恒成立，则的取值范围为【答案】【分析】利用基本不等式中“1”的代换求得，进而，解不等式即可.【详解】，则，当且仅当，即时，等号成立，所以.又恒成立，所以，即，解得，所以k的取值范围为.故答案为：45．（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，且，若恒成立，则实数的最大值为.【答案】27【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解即可.【详解】，即，且，当且仅当时，等号成立，所以.故实数的最大值为27.故答案为：2746．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】利用乘“1”的方法，根据基本不等式求得，则，求解即可.【详解】因为，当且仅当，即当且仅当时，等号成立，所以，因为不等式对任意恒成立，可得，即，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.47．（25-26高一上·贵州遵义·期中）关于x的不等式，对满足的任意正实数都成立，则实数x的最大值为．【答案】9【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，根据已知不等式恒成立有，求解即可得.【详解】由题设，当且仅当时取等号，故，所以，故实数x的最大值为9.故答案为：9题型十利用基本不等式证明不等式（共4小题）48．（25-26高一上·湖北随州·月考）已知且求证：(1)，；(2)；(3).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）从中解出和，分别代入得解；（2）将都乘以正数，得到，两边同加，得到，代入，得到，同理得到，从而得解；（3）先将两边平方整理后得到，再使用基本不等式得解.【详解】（1），，，，，，，；（2），，，，，.同理，，则有，，，，综上；（3），，，，，.49．（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正数，求证：；（2）若，且，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）三次应用基本不等式结合不等式性质证明即可；（2）应用基本不等式，再结合换元法求解一元二次不等式计算即可.【详解】（1）因为都是正数，所以（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），所以，当且仅当时，等号成立，故，得证；（2）因为，所以（当且仅当时等号成立），因为，移项，得，所以，设，则，解得（舍去）或，因为，所以，故的取值范围为．50．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知，且.求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可；（2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得.【详解】（1），且，所以.因为，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立.所以，当且仅当时，等号成立.所以得证.（2），且，.因为，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立.所以，当且仅当时，等号成立.所以，即，当且仅当时，等号成立.所以得证.51．（25-26高一上·海南海口·月考）(1)已知均为正实数，求证：；(2)已知，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明；（2）由利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）因为均为正实数，所以（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），所以（当且仅当时等号成立），即（当且仅当时等号成立）．（2）因为,则，因为，，由得当且仅当时等号成立.所以.题型十一基本不等式的实际应用（共5小题）52．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中．(1)如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益；(2)请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益．【答案】(1)万元(2)万元【分析】（1）结合题目中的收益函数，代入计算即可求解.（2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，然后根据的范围，利用基本不等式求解最大值即可.【详解】（1）小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，所以A，B两个项目所获得的收益分别为万元，万元，所以他能获得的收益为万元.（2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，.那么总收益为万元，当且仅当时，即时，等号成立，故小王投入B项目万元，投入项目万元时，获得最大总收益，总收益的最大值为万元.53．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.(1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？(2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值.【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为(2)当时有最小值，最小值是【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解；（2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为.因为，当且仅当时，即，时等号成立，所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为；（2）由题意得，，当且仅当，即时等号成立，所以当时，有最小值，最小值是.答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为，（2）当时，有最小值，最小值是.54．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花