专题04 幂函数、指数函数与对数函数（易错必刷50题10种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第一册）（原卷版及全解全析）

专题04幂函数、指数函数与对数函数（易错必刷50题10种题型专项训练）题型一利用幂函数的单调性求解不等式问题题型二有限制条件的根式的化简题型三解指数型不等式题型四涉及指数函数判断奇偶性题型五由已知对数求解未知对数式题型六比较指数幂的大小题型七解对数型不等式题型八判断对数函数的奇偶性题型九根据零点所在区间求参数范围题型十根据零点的个数求参数范围题型一利用幂函数的单调性求解不等式问题（共5小题）1．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．（22-23高一上·辽宁铁岭·阶段练习）设，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（14-15高二上·河南周口·阶段练习）已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（

）A． B．ln＞lnC． D．4．（22-23高一上·云南·期末）设集合，，则（

）A． B． C． D．5．（22-23高一上·重庆·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型二有限制条件的根式的化简6．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，且，下列三个式子，正确的个数为（

）①；②；③.A． B． C． D．7．（24-25高一上·江西赣州·期中）若，则（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．9．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（

）．A． B．C． D．10．（23-24高一上·北京丰台·期末）（

）A． B． C． D．题型三解指数型不等式11．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（

）A． B． C． D．3，112．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（

）A． B．C． D．13．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．14．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．15．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（

）A． B．C． D．题型四涉及指数函数判断奇偶性16．（2022·重庆永川·模拟预测）下列函数中是奇函数的为（

）A． B．C． D．17．（20-21高一上·河北·期中）下列函数中，奇函数的个数是（

）①，②，③，④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．（22-23高一上·重庆渝中·期末）已知奇函数的定义域为R，对于任意的x，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数m构成的集合为（

）A． B．C． D．19．（22-23高三上·甘肃张掖·阶段练习）任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．20．（21-22高三上·广东湛江·阶段练习）定义域为的奇函数的图象关于直线对称，当时，f(x)=3x−1，则（

）A．-2 B．0 C．2 D．4题型五由已知对数求解未知对数式21．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，，则的值约为（

）A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.69922．（22-23高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．23．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．1224．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．25．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．题型六比较指数幂的大小26．（浙江省嘉兴市八校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．27．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．28．（24-25高三上·广西·阶段练习）函数的定义域为，满足：①，②任意，都有.设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．29．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．30．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，则实数的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．题型七解对数型不等式31．（江西省景德镇市2025届高三第一次质检数学试题）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（

）A． B．C． D．32．（24-25高二上·甘肃白银·期中）设集合，，则（

）A． B． C． D．33．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知集合，则（

）A．−1,1 B． C． D．0,234．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．35．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知集合，则（

）A． B．C． D．题型八判断对数函数的奇偶性36．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知奇函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递增，若a=log43,b=logπ2,c=14log2512A． B．C． D．37．（2022·四川攀枝花·二模）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则（

）A． B．C． D．38．（22-23高三上·全国·阶段练习）已知定义在R上的奇函数的周期为4，当时，，则的值为（

）A．－2 B．－1 C．1 D．239．（21-22高一上·天津和平·期末）已知奇函数的定义域为，且对任意实数满足，当时，，则（

）A． B．C． D．40．（18-19高一下·河南鹤壁·阶段练习）下列命题①若奇函数的周期为4，则函数的图象关于对称；②如，则；③函数是奇函数；④存在唯一的实数使为奇函数．正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型九根据零点所在区间求参数范围41．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（

）A． B．2 C．或2 D．142．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（

）A． B． C． D．43．（2023高一上·江苏·专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．∪44．（22-23高一上·重庆九龙坡·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．45．（22-23高一上·辽宁鞍山·期末）已知函数在区间上有唯一零点，则正整数（

）A．8 B．9 C．10 D．11题型十根据零点的个数求参数范围46．（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）若函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（

）A．或 B．C． D．47．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．48．（2024·广东珠海·一模）已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．49．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．50．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若函数与函数的图象有两个不同的交点，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．

专题04幂函数、指数函数与对数函数（易错必刷50题10种题型专项训练）题型一利用幂函数的单调性求解不等式问题题型二有限制条件的根式的化简题型三解指数型不等式题型四涉及指数函数判断奇偶性题型五由已知对数求解未知对数式题型六比较指数幂的大小题型七解对数型不等式题型八判断对数函数的奇偶性题型九根据零点所在区间求参数范围题型十根据零点的个数求参数范围题型一利用幂函数的单调性求解不等式问题（共5小题）1．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合，再利用交集运算即可求解.【详解】由题意可得集合，因为，且，则，故D正确.故选：D.2．（22-23高一上·辽宁铁岭·阶段练习）设，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据幂函数的单调性解出第一个不等式，再根据绝对值不等式的解法解出第二个不等式，最后根据充分不必要条件的定义得到答案.【详解】根据幂函数在上为单调增函数，，解得，由得或,得或,即“”是“”的充分不必要条件,故选：A.3．（14-15高二上·河南周口·阶段练习）已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（

）A． B．ln＞lnC． D．【答案】D【分析】由（）得，根据基本初等函数单调性逐个判断即可，或举出反例排除.【详解】由（）得，对A，，不恒成立，A错；对B，ln＞ln，不恒成立，B错；对C，三角函数有周期性，不恒成立，C错；对D，，D对.故选：D.4．（22-23高一上·云南·期末）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解集合M和集合N中的不等式，求两集合的交集.【详解】，，所以.故选：D．5．（22-23高一上·重庆·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的限制.【详解】为偶函数，且在上递减.∵，∴，∵，，∴且，∴.故选：B题型二有限制条件的根式的化简6．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，且，下列三个式子，正确的个数为（

）①；②；③.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数幂的运算性质可判断①③；利用根式的运算性质可判断②.【详解】因为，，对于①，，①错；对于②，因为，且，当为奇数时，；当为偶数时，.②对；对于③，，③错.所以，正确的个数为.故选：B.7．（24-25高一上·江西赣州·期中）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断的正负，然后利用根式运算化简原式即可求得结果.【详解】因为，所以，所以，故选：C.8．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据根式的性质化简即可得解.【详解】因为，所以，故选：A9．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解.【详解】由可知，对于A，，，故A错误；对于B，时，，而无意义，故B错误；对于C，，，且，故C正确；对于D，时，，而无意义，故D错误；故选：C.10．（23-24高一上·北京丰台·期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根式的性质、指数和对数的运算性可得出所求代数式的值.【详解】，故A正确.故选：A.题型三解指数型不等式11．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（

）A． B． C． D．3，1【答案】B【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由，得到，令，则，对称轴，当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为，所以的最大值和最小值分别是.故选：B．12．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件求出，再代入讨论符号即可求解.【详解】根据题意知，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以可求得，则函数，所以当时，则可得，又因单调递增，所以可得，当时，则可得，又因单调递增，所以可得，综上可得的解集为.故选：A13．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知的取值范围.【详解】因为，所以，，即，当时，有最小值，，故选：A14．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解对数不等式与指数不等式，求出集合，然后由并集的运算求解即可.【详解】，，所以，故选：D15．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通过解分式不等式和指数不等式，分别解出两个集合，再由交集和并集的运算，即可解答.【详解】由题意，集合，集合，所以，.故选：A.题型四涉及指数函数判断奇偶性16．（2022·重庆永川·模拟预测）下列函数中是奇函数的为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据奇函数的定义，先判断每一选项中函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下，再判断是否成立，即可得答案.【详解】解：对于A，因为，，关于原点对称，，故不是奇函数；对于B，因为，，关于原点对称，，故不是奇函数；对于C，因为，，关于原点对称，，故是奇函数；对于D，因为，，不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性.故选：C.17．（20-21高一上·河北·期中）下列函数中，奇函数的个数是（

）①，②，③，④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】根据函数的定义域以及的关系，由此判断出函数的奇偶性，从而可得正确选项.【详解】A．中，所以定义域为关于原点对称，又因为，所以是奇函数；B．的定义域为关于原点对称，又因为，所以为偶函数；C．，因为，所以恒成立，所以的定义域为关于原点对称，又因为，所以，所以为奇函数；D．中，所以，所以定义域关于原点对称，又因为，所以为奇函数，故选：C.18．（22-23高一上·重庆渝中·期末）已知奇函数的定义域为R，对于任意的x，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数m构成的集合为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知得出函数的周期性，再结合奇函数的性质得出函数的值域，从而不等式恒成立转化为新不等式有解，再根据和分类讨论可得．【详解】由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称，由任意的x，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4.又当时，，而是奇函数，当时，，又，，从而行，即时，，而函数的周期是4，于是得函数在R上的值域是，因为对任意，存在，使得成立，从而得不等式在R上有解，当时，成立，当时，在R上有解，必有，解得，则有.综上得.故选：B．19．（22-23高三上·甘肃张掖·阶段练习）任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数，若将表示成一个偶函数和一个奇函数的差，且对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出、的解析式，则问题转化为恒成立，参变分离恒成立，利用基本不等式及函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：由，有，解得，，则，可化为，有，有恒成立，可得恒成立，又由，当且仅当，即时取等号，又函数在上单调递减，所以，所以，即.故选：C．20．（21-22高三上·广东湛江·阶段练习）定义域为的奇函数的图象关于直线对称，当时，f(x)=3x−1，则（

）A．-2 B．0 C．2 D．4【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以确定函数的周期，利用周期性进行求解即可.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，因此有，可得，因为函数是奇函数，所以可得，即有，从而，因此该函数的周期为，当时，f(x)=3x−1，所以，的图象关于直线对称，，，故选：C题型五由已知对数求解未知对数式21．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，，则的值约为（

）A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699【答案】B【分析】借助指数与对数的关系及对数运算法则计算即可得.【详解】由，则.故选：B.22．（22-23高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由对数的运算求出，再结合对数和指数的运算化简即可.【详解】由题得，所以.故选：A.23．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．12【答案】D【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案.【详解】由，得，故，故选：D24．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，把和用表示出来，根据等量关系求出的值，而，可得结果.【详解】设，则有，，，可得，即，解得，所以.故选：D.25．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将对数式化为指数式，然后两边平方即可得到，进而求解.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：D.题型六比较指数幂的大小26．（浙江省嘉兴市八校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数以及对数函数单调性即可限定出的范围，可得结论.【详解】由指数函数为单调递增函数可知，即；再由对数函数为单调递减函数可知，即，所以可得.故选：B27．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的图象和性质求解即可.【详解】幂函数，当时，在单调递增，故，又指数函数，当时，在上单调递减，故，即，又因为，所以，故选：D28．（24-25高三上·广西·阶段练习）函数的定义域为，满足：①，②任意，都有.设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可知：为奇函数且在上的增函数，结合函数性质分析判断.【详解】由①可知：为奇函数；由②可知：是上的增函数；且，因为，则，所以.故选：B.29．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由对数函数的底数小于1得到函数单调递减，判断出，的大小关系，又判断出，大于1，小于1，从而得出结论.【详解】由于在单调递减，故，又∵，∴.故选：A.30．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，则实数的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用中间变量法得到，利用构造函数法得到即可.【详解】因为，，所以，而，，故我们构造指数函数，得到，由指数函数性质得在上单调递减，因为，所以，综上可得，故C正确.故选：C题型七解对数型不等式31．（江西省景德镇市2025届高三第一次质检数学试题）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数是奇函数可得关于1,0成中心对称，先解出当时的解，即可利用对称性得不等式的解.【详解】∵f2x+1∴，即关于1,0点对称．又函数的定义域为，故f1=0．当时，令，即，解得．根据对称性可知当时，．综上所述，的解集是．故选：B．32．（24-25高二上·甘肃白银·期中）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解对数不等式，再利用两个集合的交集的定义求解即可.【详解】因为，所以．故选：C.33．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知集合，则（

）A．−1,1 B． C． D．0,2【答案】C【分析】运用对数函数单调性求解集合，再结合交集的定义求解即可.【详解】因为，，则.故选：C.34．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，结合交集运算性质计算即可.【详解】由集合，解得，故.故选：B35．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用对数函数的性质，求得，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，可得，即，因为，可得，所以，则.故选:D．题型八判断对数函数的奇偶性36．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知奇函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递增，若a=log43,b=logπ2,c=14log2512A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题中等式找到对称轴，结合函数为奇函数推得周期性和单调性，比较，利用周期性和单调性得出答案；【详解】因为对任意的满足，所以关于对称，又因为奇函数的定义域为，所以f(x)=−f(−x)=−f(x+2)，则，则的周期为4，因为在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，∵1=logc=1∵3又f(c)=f(194)=f(4+所以f(b)<f(34)<f(a)故选：D.37．（2022·四川攀枝花·二模）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据构造函数，利用函数的奇偶性、单调性比较大小．【详解】解：令函数，则，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；当时，因为，所以，即，所以在上为单调递增，，，，因为，所以，根据在上单调递增，所以．即．故选：D．38．（22-23高三上·全国·阶段练习）已知定义在R上的奇函数的周期为4，当时，，则的值为（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】C【分析】根据函数的周期性和奇偶性，以及已知函数解析式，结合对数运算，即可求得结果.【详解】因为奇函数的周期为4，所以．故选：C．39．（21-22高一上·天津和平·期末）已知奇函数的定义域为，且对任意实数满足，当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由得出，再由题设解析式得出答案.【详解】，又故选：A40．（18-19高一下·河南鹤壁·阶段练习）下列命题①若奇函数的周期为4，则函数的图象关于对称；②如，则；③函数是奇函数；④存在唯一的实数使为奇函数．正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意，可知命题①③④可以利用函数的奇偶性和周期性分析得出；命题②可以利用函数的单调性求解得出。【详解】对于①，若奇函数f(x)的周期为4，则，则函数f(x)的图像关于对称，故正确；对于②，若，则，则，故错误；对于③，函数满足，且定义域为，为奇函数，故正确；对于④，为奇函数时，可以得到，可以求得，故错误。因此①③正确。故选：B题型九根据零点所在区间求参数范围41．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（

）A． B．2 C．或2 D．1【答案】C【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零点存在性定理证明即可.【详解】方程化为，分别做出方程左右两边的图象，从图象可知，方程，方程有两个分别在和2,3之间的根，下面证明：方程在和2,3之间各有一个实根，设，根据函数性质得在区间2,3上是增函数，又，，则，由零点存在性定理知，在区间2,3上仅有一个零点，即方程区间2,3上仅有一个实根，同理可得方程区间上仅有一个实根，结合题意可知，或，故选：C.42．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零点存在性定理判断即可.【详解】由题意可知，在R上单调递增，因为，，则零点在区间上，可得.故选：C.43．（2023高一上·江苏·专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．∪【答案】D【分析】根据零点存在性定理结合题意求解即可.【详解】当时，，不存在零点；当时，是一次函数，必然单调，故只需即可，即，解得或，即的取值范围是∪，故选：D44