专题05 三角函数的图像与性质（期末复习知识清单）（原卷版及全解全析）

INET：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．【清单04】同角的三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：．（2）商数关系：；

【清单05】三角函数诱导公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【清单06】正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心对称轴方程无注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；【清单07】与的图像与性质（1）最小正周期：．（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值-假设．①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心-假设．①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．（5）单调性-假设．①对于，②对于，

【清单08】三角函数图像变换-y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)【题型一】扇形的弧长与面积公式【例1】．（24-25高一下·贵州·月考）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解.【详解】设扇形的半径为，因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则，所以则该扇形的面积为.故选：B.【变式1-1】（25-26高三上·陕西咸阳·期中）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为（

）A． B． C． D．3【答案】A【难度】0.65【知识点】弧长的有关计算【分析】设与的延长线交于圆心，根据弧长公式结合题意列方程组求出.【详解】如图，与的延长线交于圆心，设圆心角，扇形半径，则，解得，故选：A.【变式1-2】．（24-25高一下·安徽·月考）已知扇形的周长为8，面积为4，则扇形圆心角的弧度数为（

）A．2 B．2或 C．4 D．4或2【答案】A【难度】0.94【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用【分析】利用扇形弧长、面积与半径、圆心角的数量关系列方程组，求解即得.【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为弧度，依题意有，，解得，故圆心角弧度.故选：A.【题型二】三角函数的概念【例2】．（25-26高一上·甘肃平凉·月考）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则的值为.【答案】【难度】0.94【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值【分析】根据题意结合任意角三角函数值的定义运算求解即可.【详解】因为角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，所以.故答案为：.【变式2-1】．（25-26高三上·山东青岛·期中）若角的终边上有一点，且，则；【答案】【难度】0.85【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数【分析】根据公式,即可得解.【详解】，即，解得.由于,故，则.故答案为：-1【变式2-2】．（25-26高三上·上海·期中）已知点是角终边上的点，则.【答案】【难度】0.94【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值【分析】根据三角函数定义式直接可得解.【详解】由已知角终边过点，则，故答案为：.【题型三】同角公式与诱导公式【例3】．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角的终边与单位圆的交点为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.94【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六【分析】根据交点求出，结合选项验证即可.【详解】由题得．所以，A错误；，B错误；，C正确；，D错误．故选：C【变式3-1】．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知函数，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【难度】0.85【知识点】诱导公式五、六【分析】根据三角函数的诱导公式对所求式子进行化简求解即可.【详解】由题意可得.故选：B．【变式3-2】.（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，则（

）A． B． C．4 D．6【答案】D【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系【分析】首先利用诱导公式化简已知条件，得到，再结合同角三角函数的基本关系，将进行化简，将代入即可求解.【详解】根据诱导公式可得，即，所以，则，因为，则，而又因为，所以，将代入得：；故选：D【题型四】五点法作图【例4】．（25-26高一上·全国·课后作业）用“五点法”作函数的图象．列出下表，

013790200根据表中信息：(1)请求出的值；(2)请写出表格中对应的值；(3)作出函数在一个周期内的图象．【答案】(1)；(2)；(3)图象见解析.【难度】0.85【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、由图象确定正（余）弦型函数解析式【分析】（1）（2）根据给定的数表，结合五点法作图求出及.（3）由数表描出点，进而作出函数图象.【详解】（1）由表格知，，由，解得，，所以.（2）由，得，当时，，，所以.（3）作出一个周期的图象，如图，【变式4-1】．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）请用“五点法”画函数在内的图象.(1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点.(2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？(3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值.【答案】(1)单调增区间为：，，单调递减区间为：，零点为，，；(2)答案见解析；(3)当时，；当时，【难度】0.65【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、求函数零点或方程根的个数、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求含sinx(型)函数的值域和最值【分析】（1）根据“五点法”画出函数图象，由图象可得单调区间，零点；（2）根据平移伸缩变换的概念直接求解即可；（3）由得，令，得，，结合三角函数性质求解即可.【详解】（1）由得，即函数在内为一个完整周期的图象，列表如下：其函数图象如下：由图象，函数在定义域上的单调增区间为，，单调递减区间为，函数在定义域上的零点为，，；（2）将函数的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得，再将函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得，再将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象；（3）因为，所以，令，即，，所以，当时，由最大值为，此时，当时，由最小值为，此时，综上：当时，；当时，.【题型五】三角函数的奇偶性【例5】．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是偶函数，则的值可以是（

）．A．0 B． C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数【分析】由（）为偶函数即可列方程求解．【详解】因为为偶函数，所以在处取到最值，所以（），故选：C．【变式5-1】．已知函数是奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解即可．【详解】解：是奇函数，，，得，，，当时，，故选：．【变式5-2】．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【难度】0.65【知识点】正弦函数图象的应用【分析】分，化简，结合正弦函数图象求解即可.【详解】当时，当时，，由正弦函数的图象可知，A选项符合题意，故选：A．【题型六】三角函数的周期性【例6】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，其中，则（

）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【难度】0.94【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期【分析】利用余弦型函数的周期公式计算即得.【详解】依题意，，因，则得.故选：B.【变式6-1】．（24-25高一下·浙江金华·月考）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.94【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期【分析】利用余弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期.【详解】函数的最小正周期为.故选：B.【变式6-2】．（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是.【答案】【难度】0.94【知识点】求正切（型）函数的周期【分析】利用正切函数的周期公式直接求解.【详解】函数的最小正周期是.故答案为：【题型七】三角函数的单调性【例7】．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【难度】0.94【知识点】求cosx型三角函数的单调性【分析】利用整体代换代入减区间，求解不等式可得答案.【详解】令，解得，所以的单调递减区间为．故选：B【变式7-1】．（2025·陕西汉中·二模）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】求sinx型三角函数的单调性【分析】利用正弦函数的单调性列出不等式求解即可.【详解】依题意，函数的递增区间，即为函数的递减区间，由，解得，所以的单调递增区间为.故选：A.【变式7-2】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为．【答案】【难度】0.94【知识点】求正切型三角函数的单调性【分析】利用求解即可.【详解】由，解得，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间.故答案为：.【题型八】三角函数的定义域与值域【例8】．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）函数的定义域为．【答案】【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域【分析】根据对数函数的定义域，结合三角函数的诱导公式以及单调性，可得答案.【详解】由，则，化简可得，解得.故答案为：.【变式8-1】．（24-25高一下·全国·课堂例题）函数的值域是．【答案】【难度】0.65【知识点】求cosx(型)函数的值域【分析】由余弦函数可得最值【详解】∵，∴，∴．∴，即值域为．故答案为：．【变式8-2】．（2024高三上·全国·专题练习）函数，的值域为．【答案】【难度】0.85【知识点】求cosx(型)函数的值域【分析】先求出整体角的范围，再利用余弦函数的值域求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以．所以函数的值域为．故答案为：【题型九】三角函数的对称性【例9】．（25-26高一上·全国·课前预习）(多选题）已知函数，则（

）A．是的一个周期 B．在内单调递增C．是奇函数 D．的图象关于中心对称【答案】AD【难度】0.65【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、函数奇偶性的定义与判断、求sinx型三角函数的单调性【分析】对于A，根据三角函数的周期性以及周期性的定义，可得其正误；对于B，利用整体思想，求得三角函数的单调区间，由题意检验，可得其正误；对于C，根据奇函数的必要条件，利用举反例，可得其正误；对于D，根据三角函数的对称中心，整体代入检验，可得其正误.【详解】由可得是的一个周期，A正确；令，则，所以函数的单调递增区间为，，令，则，所以函数的单调递减区间为，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在区间内不单调，B错误；，所以不是奇函数，C错误；由于，则的图象关于中心对称，D正确．故选：AD.【变式9-1】．（23-24高一上·江苏常州·月考）(多选题）下面关于叙述中正确的是（

）A．关于点对称 B．关于直线对称C．在区间上单调递增 D．函数是奇函数【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、函数奇偶性的定义与判断、求sinx型三角函数的单调性【分析】将代入即可判断AB；根据求出，结合三角函数的图象即可判断C；求出的解析式即可判断D.【详解】，对于AB：因为，不为最值，的图象关于点对称，且不为对称轴，故A正确，B错误；对于C：当时，，且正弦函数在内单调递增，在区间上单调递增，C正确；对于D：又为奇函数，D正确.故选：ACD.【变式9-2】．（25-26高一上·全国·单元测试）(多选题）已知函数，则下列叙述中，正确的是（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递增C．函数的最小正周期为 D．函数是偶函数【答案】AB【难度】0.65【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正切（型）函数的周期【分析】由正切函数的性质可判断AB，利用特殊值及周期性，奇偶性的定义判断CD.【详解】对于A，由于，即的图象关于点对称．故A正确；对于B，当时，，因此在上单调递增．故B正确；对于C、D，但不存在，故的最小正周期不是，也不是偶函数．故C、D不正确；故选：AB【题型十】三角函数的图像判断【例10】．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为．【答案】【难度】0.65【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式【分析】由图象可得振幅和周期，从而可得，再利用最高点的坐标可求，得解.【详解】根据函数的部分图象知，，，所以，由，得，，解得，；又，所以，所以．故答案为：.【变式10-1】．（24-25高一下·四川遂宁·期末）函数，（是常数，且）的部分图象如图所示，则．【答案】1【难度】0.85【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、特殊角的三角函数值【分析】由“五点法”，结合图象分别求出得，然后结合特殊角的函数值求解即可.【详解】由图象知，，即，所以，即，由五点法作图及图象过点知，即，则，当时，，满足，符合题意，所以，所以.故答案为：.【变式10-2】．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，若函数的图象如图所示，则.【答案】0【难度】0.85【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值【分析】根据正弦函数周期性，在不需求出解析式的情况下，判断一个周期内所有函数值的和为0，计算目标式子中有多少个周期，求出结果.【详解】由图形可知，得，由正弦函数的图象和性质可得，.故答案为：0.【题型十一】三角函数的图像变换【例11】．（25-26高三上·河北保定·月考）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】求图象变化前（后）的解析式【分析】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式.【详解】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象，再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得，即.故选：C【变式11-1】．（24-25高一下·云南昭通·期末）要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位，则（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】诱导公式五、六、求图象变化前（后）的解析式【分析】根据诱导公式以及平移的性质可得，即可根据范围求解.【详解】，故将其向左平移个单位得到，故,进而，故，解得，结合，取，则，故选：A【变式11-2】．（24-25高一下·北京顺义·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增【答案】A【难度】0.65【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求cosx型三角函数的单调性【分析】先应用平移规则得出的解析式，再结合余弦函数的单调性判断各个选项即可.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，当，则在区间上单调递减，A选项正确；B选项错误；当，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，C选项错误；D选项错误；故选：A.【题型十二】三角函数的实际应用【例12】．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（

）A．B．C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒【答案】D【难度】0.65【知识点】解正弦不等式、三角函数在生活中的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D.【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为，对于A，依题意，，则，A错误；对于B，由时，得，即，而，则，B错误；对于C，，令，得，解得，则，解得，即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误；对于D，由，得，即，则，解得，所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确.故选：D【变式12-1】．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（

）A． B．C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】三角函数在生活中的应用【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式.【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动，在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为，因此点的纵坐标，所以点离地面的高度.故选：B【变式12-2】．（24-25高一下·四川达州·期中）如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（

）

A． B．C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】三角函数在生活中的应用【分析】先求出观览车的角速度，再求出对应的角，根据三角函数的定义可的坐标，从而可求.【详解】观览车的角