专题07 指数与指数函数（考题猜想易错必刷43题10种题型）（原卷版及全解全析）

专题07指数与指数函数（易错必刷43题10种题型专项训练）有理数指数幂与根式的互化指数函数的特征及解析式指数函数的定义域指数函数的值域指数函数图象特征与底数的关系指数函数及指数型复合函数的图象判断指数型函数的单调性指数函数单调性的应用指数函数的实际应用指数函数综合题一．有理数指数幂与根式的互化1．（2023秋•洛龙区校级期末）可化为A． B． C． D．2．（2023秋•河北区期末）已知，则化为A． B． C． D．3．（2022秋•金山区期末）将化为有理数指数幂的形式为．二．指数函数的特征及解析式4．（2023秋•颍上县校级期末）已知指数函数的图像经过点，则A．4 B．1 C．2 D．5．（2023秋•相山区校级期末）若函数是指数函数，则实数的值为A． B．1 C． D．6．（2023秋•昆明期末）若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值．三．指数函数的定义域7．（2023秋•上饶期末）函数的定义域为A．， B．， C．， D．，8．（2023秋•威海期末）函数的定义域为A． B． C．， D．，9．（2023秋•漳州期末）函数的定义域为A． B． C． D．10．（2022秋•农安县校级期末）函数的定义域为A．， B．，， C．， D．11．（2023秋•赤峰期末）函数的定义域为．四．指数函数的值域12．（2023秋•利辛县校级期末）函数，，，则的值域是A．， B．， C． D．13．（2022秋•新邵县期末）已知函数，，，则函数的值域为A．， B．， C．， D．，14．（2022秋•北海期末）已知函数是指数函数．（1）求实数的值；（2）已知，，，求的值域．15．（2022秋•铁岭期末）函数的定义域为．（Ⅰ）设，求的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域．指数函数图象特征与底数的关系16．（2022秋•内江期末）函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，17．（2023秋•官渡区校级期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，，，的是A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧18．【多选】（2023秋•周至县校级期末）若，，则以下结论正确的是A． B． C． D．19．（2023秋•黄浦区校级期末）若实数、满足，则A． B． C． D．20．（2023秋•南昌期末）如图，指数函数，，与直线分别交于点，，，若，，的横坐标分别为，，，满足，则，．指数函数及指数型复合函数的图象21．（2023秋•故城县校级期末）函数的图象大致是A． B． C． D．22．（2023秋•南山区校级期末）指数函数的图象如图所示，其中，，则二次函数的顶点的横坐标的取值范围是A． B． C． D．23．（2022秋•西昌市期末）函数一定不过A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限24．【多选】（2023春•会宁县校级期末）已知函数且的图象如图所示，则下列结论正确的是A． B． C． D．25．【多选】（2022秋•海港区校级期末）已知函数，实数，满足（a）（b），则A． B．，，使得 C． D．26．（2023秋•新市区校级期末）函数的图象恒过定点．27．（2023春•水富市期末）当且时，函数过定点．28．（2022秋•闵行区校级期末）函数的图象恒过定点．七．判断指数型函数的单调性29．（2023春•汉中期末）下列函数中，在区间上单调递增的是A． B． C． D．30．（2022秋•周村区校级期末）函数的单调递增区间是：．八．指数函数单调性的应用31．（2022秋•浦东新区校级期末）若指数函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是．32．（2022秋•通辽期末）指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是A．，， B．，， C． D．33．（2022秋•丰城市期末）已知偶函数，则满足（2）的实数的取值范围是A． B． C． D．，，34．（2022秋•定州市期末）设，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．35．（2023春•梁园区校级期末）设函数在区间单调递减，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，36．（2022秋•南开区校级期末）若函数在区间单调递增函数，则实数的取值范围是．九．指数函数的实际应用37．（2022秋•佛山期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的A．18倍 B．24倍 C．36倍 D．48倍38．（2024春•黄浦区校级期末）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为A．60 B．63 C．66 D．6939．（2023秋•平谷区期末）在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，，，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论：①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多；②早上6时和早上7时通过通过该路口的车辆数相等；③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆；④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆．依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是．指数函数综合题40．（2022秋•黄埔区校级期末）已知函数，为常数且，的图象经过点，（1）试求，的值；（2）若不等式在，时恒成立，求实数的取值范围．41．（2023春•鲤城区校级期末）已知函数，且．（1）求；（2），求的取值范围．42．（2021秋•黄石期末）已知定义在上的奇函数．在时，．（1）试求的表达式；（2）用定义证明在上是减函数；（3）若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．43．（2022春•雁塔区校级期末）已知函数在，上的值域为，．（1）求，的值；（2）写出函数，的单调性（不需要证明），并解不等式．

专题07指数与指数函数（易错必刷43题10种题型专项训练）有理数指数幂与根式的互化指数函数的特征及解析式指数函数的定义域指数函数的值域指数函数图象特征与底数的关系指数函数及指数型复合函数的图象判断指数型函数的单调性指数函数单调性的应用指数函数的实际应用指数函数综合题一．有理数指数幂与根式的互化1．（2023秋•洛龙区校级期末）可化为A． B． C． D．【解析】．故选：．2．（2023秋•河北区期末）已知，则化为A． B． C． D．【解析】原式．故选：．3．（2022秋•金山区期末）将化为有理数指数幂的形式为．【解析】，故答案为：．二．指数函数的特征及解析式4．（2023秋•颍上县校级期末）已知指数函数的图像经过点，则A．4 B．1 C．2 D．【解析】由指数函数的图象经过点，可得，解得，所以．故选：．5．（2023秋•相山区校级期末）若函数是指数函数，则实数的值为A． B．1 C． D．【解析】因为函数是指数函数，所以，解得或．故选：．6．（2023秋•昆明期末）若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值．【解析】设指数函数，指数函数的图象经过点，，且，，，．综上所述，，．三．指数函数的定义域7．（2023秋•上饶期末）函数的定义域为A．， B．， C．， D．，【解析】函数有意义则必有，解得，所以定义域为，．故选：．8．（2023秋•威海期末）函数的定义域为A． B． C．， D．，【解析】由，得，即．函数的定义域为，．故选：．9．（2023秋•漳州期末）函数的定义域为A． B． C． D．【解析】要使有意义，则，解得，的定义域为：．故选：．10．（2022秋•农安县校级期末）函数的定义域为A．， B．，， C．， D．【解析】，，解得，故函数的定义域为，，故选：．11．（2023秋•赤峰期末）函数的定义域为．【解析】要使函数有意义，则，解得．函数的定义域为：．故答案为：．四．指数函数的值域12．（2023秋•利辛县校级期末）函数，，，则的值域是A．， B．， C． D．【解析】因为在，上单调递减，所以在，上的值域为．故选：．13．（2022秋•新邵县期末）已知函数，，，则函数的值域为A．， B．， C．， D．，【解析】设，当，时，，，则等价为，，，时，函数取得最小值3，当时，函数取得最大值4，即函数的值域为，，故选：．14．（2022秋•北海期末）已知函数是指数函数．（1）求实数的值；（2）已知，，，求的值域．【解析】（1）由题意可得，解得；（2）由（1）可得，因为，，令，，令，则（1），（4），因此函数的值域为，．15．（2022秋•铁岭期末）函数的定义域为．（Ⅰ）设，求的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域．【解析】（Ⅰ）在上单调递增，（Ⅱ）函数可化为：在，上单减，在，上单增比较得，（1），函数的值域为，五．指数函数图象特征与底数的关系16．（2022秋•内江期末）函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【解析】直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为，，，，由，故选：．17．（2023秋•官渡区校级期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，，，的是A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧【解析】由指数函数的图像性质可知，①②③④为指数函数图像，且③④为单调递增的指数函数，取可知，③④分别对应，，又①④图像关于轴对称，则①对应，即②不属于；由对数函数的图像性质可知，⑤⑥⑦⑧为对数函数图像，其中⑦⑧为单调递减的对数函数，由“底大图低”可知⑧对应，⑦对应，且⑤⑧图像关于轴对称，则⑤对应，即⑥不属于．故选：．18．【多选】（2023秋•周至县校级期末）若，，则以下结论正确的是A． B． C． D．【解析】，，对于，，正确；对于，函数是上的减函数，则，正确；对于，取，，显然错误；由可得，则，错误．故选：．19．（2023秋•黄浦区校级期末）若实数、满足，则A． B． C． D．【解析】不等式可化为，设，则是定义域上的单调增函数，由得，所以，选项正确．故选：．20．（2023秋•南昌期末）如图，指数函数，，与直线分别交于点，，，若，，的横坐标分别为，，，满足，则，．【解析】由题意知，，所以，，，所以，所以，又因为，，且，，所以，．故答案为：2；4．六．指数函数及指数型复合函数的图象21．（2023秋•故城县校级期末）函数的图象大致是A． B． C． D．【解析】，是偶函数，其图象关于轴对称，当时，，，，，在上单调递增．又（1），结合选项可知，选项符合题意．故选：．22．（2023秋•南山区校级期末）指数函数的图象如图所示，其中，，则二次函数的顶点的横坐标的取值范围是A． B． C． D．【解析】由图知指数函数是减函数，则，又点，在图象的下方，故，解得，由可知抛物线的对称轴为：直线，故得二次函数的顶点的横坐标的取值范围是．故选：．23．（2022秋•西昌市期末）函数一定不过A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限【解析】函数的图象是把的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，其图象如图：由图可知，函数一定不过第四象限．故选：．24．【多选】（2023春•会宁县校级期末）已知函数且的图象如图所示，则下列结论正确的是A． B． C． D．【解析】由图象可知，函数且在上单调递增，则，且当时，，可得．对于选项，，对；对于选项，，对；对于选项，，错；对于选项，由题意可知，，则，所以，，对．故选：．25．【多选】（2022秋•海港区校级期末）已知函数，实数，满足（a）（b），则A． B．，，使得 C． D．【解析】画出函数的图象，如图所示，由图知，则，故错，对，由基本不等式可得，所以，则，故错，对．故选：．26．（2023秋•新市区校级期末）函数的图象恒过定点．【解析】根据指数函数过点，函数当指数即时，函数的图象过故答案为：．27．（2023春•水富市期末）当且时，函数过定点．【解析】对于当且时，函数，令，求得，所以，所以函数过定点．故答案为：．28．（2022秋•闵行区校级期末）函数的图象恒过定点．【解析】因为，所以当时，总有，所以必过点，故答案为：．七．判断指数型函数的单调性29．（2023春•汉中期末）下列函数中，在区间上单调递增的是A． B． C． D．【解析】根据题意，依次分析选项：对于，由于函数在上单调递增，所以在上单调递减，故项错误；对于，由于在上是减函数，故项错误；对于，由于在上单调递增，故项正确；对于，由于是对称轴为，开口向上的二次函数，所以在上单调递减，在上单调递增，故项错误．故选：．30．（2022秋•周村区校级期末）函数的单调递增区间是：．【解析】令，，，，故的减区间为，，函数的增区间为，．八．指数函数单调性的应用31．（2022秋•浦东新区校级期末）若指数函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是．【解析】因为指数函数在上是严格减函数，所以，解得．所以实数的取值范围是．故答案为：．32．（2022秋•通辽期末）指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是A．，， B．，， C． D．【解析】由于指数函数是上的减函数，故有，求得则实数的取值范围为，故选：．33．（2022秋•丰城市期末）已知偶函数，则满足（2）的实数的取值范围是A． B． C． D．，，【解析】当时，为增函数，又由函数为偶函数，故当时，为减函数，若（2），则，解得：，故选：．34．（2022秋•定州市期末）设，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【解析】，，，又，，故选：．35．（2023春•梁园区校级期末）设函数在区间单调递减，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，是的增函数，要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，即，故实数的取值范围是，．故选：．36．（2022秋•南开区校级期末）若函数在区间单调递增函数，则实数的取值范围是．【解析】在上单调递增，，解得，的取值范围是，．故答案为：，．九．指数函数的实际应用37．（2022秋•佛山期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的A．18倍 B．24倍 C．36倍 D．48倍【解析】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数量为，则，经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：．经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍．故选：．38．（2024春•黄浦区校级期末）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为A．60 B．63 C．66 D．69【解析】由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：．39．（2023秋•平谷区期末）在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，，，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论：①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多；②早上6时和早上7时通过通过该路口的车辆数相等；③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆；④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆．依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是．【解析】对于①，因为，，，令，，；则在，内单调递减，在，内单调递增，所以先增后减，命题①错误；对于②，因为是二次函数，函数图象的对称轴是，所以（6）（7），所以（6）（7），命题②正确；对于③，因为的最小值为，所以的最大值为，即在