专题09 对数及对数函数原卷版及全解全析

专题09对数及对数函数【清单01】对数对运算法则对数的定义一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记,其中叫做对数的底数，叫做对数的真数对数运算法则①外和内乘：②外差内除：③提公次方法：④特殊对数：⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几：3、换底公式①常用换底②倒数原理③约分技巧【清单02】对数函数一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).对数函数的特征(1)logax的系数是1；(2)logax的底数是不等于1的正数；(3)logax的真数仅含自变量x.注意：对数图象是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只需由相应的指数函数图象关于对称【清单03】对数函数的图像和性质1.y＝logax(a>0，且a≠1)图像a>10<a<1图象性质①定义域：(0，＋∞)②值域：R③当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)④当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0④当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0⑤在(0，＋∞)上是增函数⑤在(0，＋∞)上是减函数2.底数大小和对数图像关系形如：确定大小关系其中，先画一条的直线，明确交点，由左至右底数越来越大.故【清单04】求有关对数函数复合函数单调性和最值问题(1)求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围．(2)对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．【考点题型一】对数函数的运算【例1】.计算下列各式的值：(1).(2).【变式1-1】.已知，，且，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】.计算的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式1-3】.若，，则的值是（

）A．3 B． C．8 D．【变式1-4】.（多选）下列各式的值等于6的是（

）A． B．C． D．【变式1-5】.=.【变式1-6】.（1）求值:（2）求值:【考点题型二】对数函数的图像【例2】.函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【变式2-1】.已知函数，若，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．4【变式2-2】.定义在上的函数满足，且当时，，则的单调增区间为.【变式2-3】.已知函数，则函数的零点个数是．【变式2-4】.若函数的值域为，则函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【变式2-5】.已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（

）A． B．C． D．【考点题型三】对数函数的性质【例3】.已知函数是上的减函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式3-1】.下列函数在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．【变式3-2】.设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为(

).A． B． C． D．【变式3-3】.对于任意实数，定义运算“”为，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【变式3-4】.已知，若在上单调，则的范围是（

）A． B． C． D．【变式3-5】.若函数的定义域为，则的值域为（

）A． B．C． D．【变式3-6】.已知函数且．(1)若，求的值；(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．【考点题型四】对数函数恒过定点问题【例4】.若函数且的图象恒过定点，则实数，．【变式4-1】.函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则.【变式4-2】.指数函数（且）过点，则经过点.【变式4-3】.已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点．(1)求的值；(2)求函数的单调递增区间．【考点题型五】对数大小比较【例5】.已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式5-1】.若，，，则（

）A． B． C． D．【变式5-2】.设则的大小关系为

（

）A． B．C． D．【变式5-3】.设，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式5-4】.设，，，，则这四个数的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式5-5】.定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则a,b,c的大小关系为（

）A． B． C． D．【考点题型六】对数函数的综合应用【例6】.设常数，，.(1)已知y=fx的图象过点求实数的值；(2)当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围.【变式6-1】.若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式6-2】.若为偶函数，则（

）A． B．0 C． D．1【变式6-3】.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的解集为（）A． B．C． D．【变式6-4】.（多选）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（

）A． B．C． D．【变式6-5】.已知函数y=fx的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若y=gx在区间上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式6-6】.已知函数为奇函数.(1)求a的值；(2)求满足的x的取值范围.【变式6-7】.已知函数，记集合为的定义域．(1)求集合；(2)判断函数的奇偶性；(3)当时，求函数的值域．【变式6-8】.已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.检测训练1.已知，则的大小关系为（

）．A．B．C．D．2.已知是上的增函数，那么的取值范围是（）A． B．C． D．3.已知函数，其中，则之间的大小关系为（

）A． B．C． D．4.三个数的大小关系是（

）A． B．C． D．5.（多选）若，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．6.（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有②对于定义域上任意，当时，恒有，则称函数为“函数”，下列函数中的“函数”（

）A． B．C． D．7.（多选）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（

）A． B．C． D．8.若为常数，且函数是奇函数，则的值为．9.已知，，则用，表示10.已知定义在上的函数为偶函数，且在上单调递增，，则的大小关系为．（用“”连接）11.已知实数m，n满足，则.求下列各式的值：.（2）求下列各式的值：（1）化简求值：；（2）已知，求的值.14.已知函数的定义域为.(1)求；(2)当时，求函数的最大值.15.已知函数．(1)解关于的不等式；(2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围；(3)若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由．16.已知是定义在上的偶函数，当时，．(1)求的解析式；(2)求的解集．17.已知函数，函数．(1)求不等式的解集；(2)求函数的值域；(3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．18.已知函数.(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)当时，证明：的图像为轴对称图形；(3)若关于的方程在上有解，求的最小值.

专题09对数及对数函数【清单01】对数对运算法则对数的定义一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记,其中叫做对数的底数，叫做对数的真数对数运算法则①外和内乘：②外差内除：③提公次方法：④特殊对数：⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几：3、换底公式①常用换底②倒数原理③约分技巧【清单02】对数函数一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).对数函数的特征(1)logax的系数是1；(2)logax的底数是不等于1的正数；(3)logax的真数仅含自变量x.注意：对数图象是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只需由相应的指数函数图象关于对称【清单03】对数函数的图像和性质1.y＝logax(a>0，且a≠1)图像a>10<a<1图象性质①定义域：(0，＋∞)②值域：R③当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)④当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0④当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0⑤在(0，＋∞)上是增函数⑤在(0，＋∞)上是减函数2.底数大小和对数图像关系形如：确定大小关系其中，先画一条的直线，明确交点，由左至右底数越来越大.故【清单04】求有关对数函数复合函数单调性和最值问题(1)求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围．(2)对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解． 【考点题型一】对数函数的运算【例1】.【变式1-1】.已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，因为，，且，所以，当且仅当时取等号，故，故选项A错误；对于B，，当且仅当时取等号，故选项B错误；对于C，因为，即，故，所以，故选项C错误；对于D，因为，当且仅当时取等号，即，故选项D正确.故选：D.【变式1-2】.计算的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】.故选：C.【变式1-3】.若，，则的值是（

）A．3 B． C．8 D．【答案】A【详解】由，得，而，所以.故选：A【变式1-4】.（多选）下列各式的值等于6的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：BC【变式1-5】.=.【答案】【详解】.故答案为：.【变式1-6】.（1）求值:（2）求值:【答案】（1）；（2）【详解】（1）原式.（2）原式.【变式1-7】计算下列各式的值：(1).(2).【答案】(1).【详解】（1）原式.（2）.【考点题型二】对数函数的图像【例2】.函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于，必有，故CD错误；又，故B错误；将函数在轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，再将其在轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，进而将得到的函数图象向右平移1个单位，可得函数的图象，故A正确.故选：A.【变式2-1】.已知函数，若，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【详解】因为，若，则，所以，所以，则，当且仅当，即时取等号．故选：C．【变式2-2】.定义在上的函数满足，且当时，，则的单调增区间为.【答案】，【详解】当x∈0,+∞时，∴当x∈0,1时，单调递减；当时，单调递增，∵函数满足定义域关于原点对称，且f−x=fx，∴是偶函数，图象关于轴对称.∴当时，单调递增；当时，单调递减，则的单调增区间为，.故答案为：，.【变式2-3】.已知函数，则函数的零点个数是．【答案】2【详解】当时，或，都满足；当时，，所以方程没有实数根.综合得函数的零点个数是2.故答案为：2.【变式2-4】.若函数的值域为，则函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】∵，且的值域为，∴，当时，在上是增函数．又函数，所以为偶函数，图象关于y轴对称，所以的大致图象应为选项A．故选：A．【变式2-5】.已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由图象可得，指数函数为减函数，对数函数为增函数，所以，即.故选：B【考点题型三】对数函数的性质【例3】.已知函数是上的减函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可得，函数在上单调递减，函数在单调递减，且，即有，即，解得，故选：B．【变式3-1】.下列函数在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A选项，函数在区间0,1上为减函数；对于B选项，函数在区间0,1上为减函数；对于C选项，函数在区间0,1上为增函数；对于D选项，函数在区间0,1上为减函数.故选：C.【变式3-2】.设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为(

).A． B． C． D．【答案】B【详解】因为若在上单调递增，且，可得，即，解得，即a的取值范围为.故选：.【变式3-3】.对于任意实数，定义运算“”为，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由对数函数的定义域可得，令，即，解得或（舍去），所以，由函数新定义可得，所以当时，；当时，，所以函数的值域为，故选：B.【变式3-4】.已知，若在上单调，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令函数，该函数在上单调递减，在上单调递增.当时，要使在上单调，则在上单调，且时，，故，解得或.故选：D【变式3-5】.若函数的定义域为，则的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：因为，由，可得，所以的定义域为，所以，又，设，将原问题转化为求的值域，由二次函数性质可知在上单调递增，所以.故选：A.【变式3-6】.已知函数且．(1)若，求的值；(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．【答案】(1)(2)或．【详解】（1），，即，解得或（舍）．（2）当时，在上单调递增，则，由题意得，，解得．当时，在上单调递减，则，由题意得，，解得．综上，或．【考点题型四】对数函数恒过定点问题【例4】.若函数且的图象恒过定点，则实数，．【答案】－22【详解】∵函数的图象恒过定点，∴将代入，得．又当，且时，恒成立，，．故答案为：；【变式4-1】.函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则.【答案】【详解】因为函数的图象恒过定点，令，解得，则，所以点坐标为，又点在幂函数的图象上，所以，解得，所以，所以，故答案为：【变式4-2】.指数函数（且）过点，则经过点.【答案】【详解】由（且）可知，时，，则点为，由可得，两边取对数得，，交换可得，，即与是一对反函数，图象关于轴对称，故经过点.故答案为：【变式4-3】.已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点．(1)求的值；(2)求函数的单调递增区间．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由函数的图象经过点，得，①由函数的图象经过点，得，即，②解①②得（舍去）．（2）由（1）知，因为，所以函数的定义域为R，再根据复合函数单调性知其在上单调递增，所以函数的单调递增区间为．【考点题型五】对数大小比较【例5】.已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为在定义域上都是单调递增函数，所以，即.故选：B【变式5-1】.若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，∵，∴，∴，故选：A.【变式5-2】.设则的大小关系为

（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，在上单调递增，所以，所以.故选：D【变式5-3】.设，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数在R上单调递增，且，所以，即，因为函数在0,+∞上单调递减，且，所以，即；因为函数在0,+∞上单调递增，且，所以，即；所以.故选B.【变式5-4】.设，，，，则这四个数的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数单调递减，所以，即；又因为，，所以，所以．故选：A．【变式5-5】.定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则a,b,c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是在R上的奇函数，且任意，都有，所以在R上单调递增，又因为，所以，又因为，，所以，所以即.故选：C.【考点题型六】对数函数的综合应用【例6】.设常数，，.(1)已知y=fx的图象过点求实数的值；(2)当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为图象过点，所以，所以，解得.（2）当时，，因为，所以，令，则有，，函数的对称轴为，所以，，所以，因为对任意，都有恒成立，所以，所以，即实数的取值范围为：.（3）因为，则，化为，整理有：，因为，所以，所以原式可化为：，令，则有，，所以方程有两个根，设为、，且，，所以，，，又因为，所以，因为，所以，所以，即，，，，，，又因为，所以.【变式6-1】.若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，，且对任意，，①且，②对于①，，结合，得.若，由②知对任意，矛盾；若，由②知对任意，即，则，得，综上，当时，对任意，①②同时成立.故选：C【变式6-2】.若为偶函数，则（

）A． B．0 C． D．1【答案】B【详解】函数中，，解得或，由为偶函数，得，即，整理得，即，而不恒为0，所以.故选：B【变式6-3】.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】即f3=0在0,+∞上单调递增，∴当时，，此时，当时，，此时，又∵是定义在上的奇函数，∴在上单调递增，且，当时，，此时，当时，，此时，综上可知，的解集为，故选：D.【变式6-4】.（多选）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】对任意，都有，则在上单调递增；所以是在上单调递增的奇函数.对于A，函数定义域为，，不是奇函数，A错误；对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数，，所以是在上单调递增的奇函数，B正确；对于C，，易知在上单调递减，C错误；对于D，函数定义域为R，函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，所以在上单调递增，，是奇函数，D正确.故选：BD.【变式6-5】.已知函数y=fx的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若y=gx在区间上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，∴与互为反函数，∴，∴，令，函数可化为，对称轴为直线.当时，，为增函数，若在区间上是增函数，则在上为增函数，∴，解得，不合题意，舍去.当时，，为减函数，若在区间上是增函数，则在上为减函数，∴，解得.综上得，的取值范围是.故选：D.【变式6-6】.已知函数为奇函数.(1)求a的值；(2)求满足的x的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为函数为奇函数，所以f−x=−f则，即，则.（2）由（1）知，，由，解得，即函数的定义域为，由，，即，即，即，则，解得，又，则，即x的取值范围为0,1.【变式6-7】.已知函数，记集合为的定义域．(1)求集合；(2)判断函数的奇偶性；(3)当时，求函数的值域．【答案】(1)(2)奇函数(3)【详解】（1）由真数大于0可知，，.（2）可知定义域关于原点对称，，故为奇函数．（3）令，对称轴，在上，，又在上递减，故的值域是：．【变式6-8】.已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，可得，解得，因此，不等式的解集为.（2）因为，令，由可得，可得，由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，由题意可得，因此，实数的取值范围是.检测训练1.已知，则的大小关系为（

）．A．B．C．D．【答案】C【详解】由于，故.故选：C2.已知是上的增函数，那么的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】函数是上的增函数，则，解得，所以的取值范围是.故选：A3.已知函数，其中，则之间的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，所以，，因为是x∈R上的单调递减函数，是x∈R上的单调递增函数，所以是x∈R上的单调递减函数，所以.故选：B.4.三个数的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：，，，即.故选：A.5.（多选）若，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】依题意，，若，则，C选项正确.若中一个大于，一个位于与之间，则，此时，A选项正确.若，则，所以B选项正确.综上所述，ABC选项正确，D选项错误.故选：ABC6.（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有②对于定义域上任意，当时，恒有，则称函数为“函数”，下列函数中的“函数”（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】由于，所以是奇函数；由于对于定义域上任意，当时，恒有，所以在上单调递增.A选项，是偶函数，不符合题意.B选项，是奇函数，且在上单调递增，符合题意.C选项，，所以是奇函数，且在上单调递增，符合题意.D选项，是偶函数，不符合题意.故选：BC7.（多选）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】对于A，因为是偶函数，不合题意，故A错误；对于B，是奇函数，且在上单调递增，故B正确；对于C，函数，当时，，而时，，所以在上不单调递增，故C错误；对于D，令，因为，在上单调递增，所以在上单调递增，又，，所以是奇函数，故D正确.故选：BD.8.若为常数，且函数是奇函数，则的值为．【答案】【详解】是奇函数，，即，，即，，展开整理得，要使等式恒成立，则有，即，解得．当时，，由，得，解得或，即定义域为或，定义域关于原点对称，且满足，成立．故答案为：-1.9.已知，，则用，表示【答案】【详解】由，，可得，又由.故答案为：.10.已知定义在上的函数为偶函数，且在上单调递增，，则的大小关系为．（用“”连接）【答案】.【详解】由题意可知的图象关