期末真题必刷常考60题（26个考点专练）（解析版）

期末真题必刷常考60题（26个考点专练）一、根据两个集合包含关系求参数1．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.二、集合的运算关系2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】交集的概念及运算【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，，，根据交集的运算可知，.故选：A3．（2022·全国·高考真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】交并补混合运算【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，，所以,所以.故选：D.4．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算【分析】由题意可得的值，然后计算即可.【详解】由题意可得，则.故选：A.三.全称量词命题与存在量词命题的否定5．（22-23高二下·陕西西安·期末）若命题，则表述准确的是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【知识点】全称命题的否定及其真假判断、分式不等式【分析】全称命题的否定是特称命题，否定结论的时候，注意不等式的解集是否互为补集关系.【详解】全称命题的否定为特称命题，排除BD选项，其中可解得，的否定应是，A选项中，可解得，故A选项错误，C选项正确.故选：C四、充分条件、必要条件的判断6．（23-24高一上·北京·期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、既不充分也不必要条件【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】由，可得：若，则，当时，，故不能推出；若，则当时，，可得，也不能推出．综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．五、根据全称命题的真假求参数7．（21-22高一上·浙江·期末）命题“”为真，则实数a的范围是【答案】【知识点】根据全称命题的真假求参数【分析】将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围.【详解】由题意知：不等式对恒成立，当时，可得，恒成立满足；当时，若不等式恒成立则需，解得，所以的取值范围是，故答案为：.【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：（1）先分析的情况；（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；（3）综合（1）（2）求解出最终结果.六、根据条件与结论关系求参数8．（22-23高一上·广东梅州·期末）已知全集，集合，.(1)当时，求和；(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】(1)，(2)【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可【详解】（1）当时，集合，因为，所以.所以，（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以是的真子集，而不为空集，所以，因此.七、不等式的判断9．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若，则下列答案不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】对数的运算、由不等式的性质比较数（式）大小、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小【分析】根据题意可知，则可得，结合对数性质、基本不等式、指数性质判断四个选项即可.【详解】依题意可得，所以；对于A，，可得A正确；对于B，，即B正确；对于C，易知，即C错误；对于D，可得，又，易知，，因此，即D正确.故选：C10．（多选）（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下面不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，逐项判定，即可求解.【详解】因为正数满足，由，当且仅当时，即时，等号成立，对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，因为，由，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以B不正确；对于C中，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；对于D中，因为，可得，且，则，所以D不正确.故选：AC.八、基本不等式的应用11．（22-23高一·全国·单元测试）已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．} C． D．【答案】D【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.【详解】∵，且，∴，当且仅当时取等号，∴，由恒成立可得，解得：，故选：D.12．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，且，则的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得．【详解】，且，，即，当且仅当即且时取等号，故选：D13．（22-23高一上·广东梅州·期末）已知，，若，则的最小值为.【答案】3【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案【详解】因为，，，所以，即；因为，当且仅当时取到等号，所以，解得或（舍）所以当时，有最小值3.故答案为：3九、一元二次不等式解的问题14．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（

）A．且B．C．不等式的解集为D．不等式的解集为【答案】AC【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误.【详解】依题意可得方程的两根分别为或，且；由韦达定理可得，即；对于A，由可得，即A正确；对于B，易知，即B错误；对于C，不等式即为，同时除以即可得，所以不等式的解集为，即C正确；对于D，不等式即为，也即；所以，解得或，即不等式的解集为或x>12，可得D错误.故选：AC十、一元二次不等式恒成立问题15．（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】利用不等式求值或取值范围、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【详解】∵，，则，∴，又∵，且，可得，令，则原题意等价于对一切，恒成立，∵的开口向下，对称轴，则当时，取到最大值，故实数的取值范围是.故选：C.【点睛】结论点睛：对，恒成立，等价于；对，恒成立，等价于.16．（23-24高一下·广东深圳·期末）若，不等式恒成立，则的取值范围为.【答案】【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【分析】分离参数得，令，求出函数在上的最大值即可求解.【详解】，不等式恒成立，则，即，恒成立，令，由图知在上单调递减，在上单调递增，又，故，则.故答案为：.

十一、“三个二次”关系问题17．（22-23高一上·天津滨海新·期末）已知，函数，当时，不等式则的解集是；若函数的图象与x轴恰有2个交点，则的取值范围是.【答案】【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、解分段函数不等式【分析】分段函数根据不同分段分别求解，分段不确定时先讨论分段.【详解】，，则当，得；当，得；综上，当时，不等式则的解集是.函数的图象与x轴恰有2个交点等价于恰有两个根，又，.故当，根为1、2，符合题意；当，根为1、2、3，不合题意；当，根为1、3，符合题意；当，根为3，不合题意；故的取值范围是.故答案为：；.18．（23-24高一上·天津·期末）函数，(1)若的解集是或，求实数，的值；(2)当时，若，求实数的值；(3)，若，求的解集.【答案】(1)，(2)(3)答案见解析【知识点】已知f（g（x））求解析式、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值.（2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值.（3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解.【详解】（1）不等式的解集为或，，且的两根为，，，，，.（2），得，.（3），，即，（1）当时，（2）当时，则，①当时，；②当时，若，即时，或，若，即时，；若，即时，或；综上所述：当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.十二、指数、对数运算19．（23-24高一上·河南·期末）.【答案】/0.5【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算【分析】直接由指数、对数运算法则求解即可.【详解】.故答案为：.20．（23-24高一上·新疆·期末）计算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)；(2)3.【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.（2）利用对数运算性质计算即得.【详解】（1）.（2）.十三、函数的概念21．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数则.【答案】3【知识点】求分段函数解析式或求函数的值【分析】根据函数的解析式直接代入求函数值即可.【详解】，，故答案为：329．（23-24高一下·河北·期末）已知函数则．【答案】【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数的运算【分析】利用分段函数的解析式求出，所以.【详解】因为函数，则，所以，故答案为：.30．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则.【答案】或【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值.【详解】由，得；由，得；由，得（舍）；综上或.故答案为：或.十四、求函数定义域31．（23-24高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】具体函数的定义域【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解.【详解】令，解得且，所以函数的定义域是.故选：C.32．（23-24高一下·广西崇左·期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式【分析】计算具体函数定义域列不等式组计算求解.【详解】由题意可得，解得或.故选：D.十五、函数的单调性判断33．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数.(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、已知f（g（x））求解析式【分析】（1）由配凑法可得函数解析式；（2）根据函数单调性的定义证明即可.【详解】（1）因为，所以.（2）在上单调递减.证明如下：令，则，，即，所以在上单调递减.34．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是偶函数，当时，fx=x(1)求的值，并作出函数在区间上的大致图象；(2)根据定义证明在区间上单调递增．【答案】(1)，图像见解析(2)证明见解析【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、画出具体函数图象【分析】（1）由偶函数可得，可以先画出时的图象，然后利用关于轴对称画出另一半即可.（2）由函数单调性的定义证明即可.【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，作出图象如图所示：（2），且，有，由得，所以，即，所以函数在区间上单调递增.十六、求函数的单调区间35．（20-21高一上·江西景德镇·期末）函数的单调递增区间是.【答案】【知识点】求函数的单调区间【解析】可得定义域为，求出的单调递增区间即可.【详解】由解得，即函数的定义域为，的对称轴为，开口向下，在单调递增，则的单调递增区间是.故答案为：.十七、根据函数单调性求参数36．（23-24高一上·全国·期末）已知是上的增函数，那么的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得.【详解】函数是上的增函数，则，解得，所以的取值范围是.故选：A37．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、二次函数的图象分析与判断、根据函数的单调性求参数值【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解.【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上，所以函数在上单调递增，因为函数在区间上单调递增，所以，解得.故答案为：.十八、比较函数值的大小38．（23-24高一上·河南·期末）设，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小.【详解】因为函数在R上单调递增，且，所以，即，因为函数在0,+∞上单调递减，且，所以，即；因为函数在0,+∞上单调递增，且，所以，即；所以.故选B.39．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，则的大小关系为（

）．A．B．C．D．【答案】C【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可与之间值0，1比较求解.【详解】由于，故.故选：C十九、函数的奇偶性问题40．（22-23高一上·山东济南·期末）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（

）A． B． C．5 D．7【答案】C【知识点】函数奇偶性的应用【分析】求出，再根据奇函数得到即可.【详解】因为时，，所以，因为是定义在R上的奇函数，所以.故选：C.41．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【知识点】函数奇偶性的定义与判断【分析】由f−x=fx【详解】由f−x=fx解得，.当时，，定义域为，关于原点对称，故符合题意，故选：B.二十、函数单调性、奇偶性的综合应用42．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式【分析】根据题意，设，，分析的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答案．【详解】根据题意，设，，是定义在,,上的奇函数，即，故，函数为偶函数，由题意当时，有，函数在上为减函数，又由为偶函数，则在上为增函数，又由，则，同时，或，必有或，即的取值范围为.故选：B．43．（多选）（23-24高一上·河南·期末）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（

）A．的图象关于直线对称B．C．D．在上单调递减【答案】ACD【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系【分析】由图象变换判断A，由单调性判断BCD.【详解】把的图象向右平移2个单位得的图象，因此直线是图象的对称轴，A正确；在0,2上单调递增，则的符号不确定，所以无法确定，的大小，B错误；在上单调递减，所以，C正确；在上单调递减，由，得，所以在上单调递减，D正确.故选：ACD.二十一、指数函数、对数函数的综合应用44．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数.(1)求的值；(2)若在上的最大值比最小值大，求的值.【答案】(1)0.(2)或.【知识点】由奇偶性求参数、根据指数函数的最值求参数、判断指数函数的单调性【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒成立得解；（2）分和两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解.【详解】（1）若为偶函数，则恒成立，所以，即恒成立，解得.故的值为0.（2）由（1）可得（且）.当时，在上单调递增，，解得.当时，在上单调递减，，解得.故的值为或.45．（20-21高一上·陕西延安·期末）设，且．(1)求的值及的定义域；(2)求在区间上的最值.【答案】(1)，定义域为(2)最大值为，最小值为.【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数函数的最值【分析】（1）根据代入求出的值，即可得到解析式，再根据对数的真数大于得到不等式组，求解即可；（2）首先分析函数的单调性，求出最大值与区间端点函数值，进而可得解.【详解】（1）因为，且，所以，即，解得.故,令，解得,故的定义域为.（2）因为，，又，在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.46．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为.(1)求；(2)当时，求函数的最大值.【答案】(1)(2)【知识点】求对数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值、具体函数的定义域【分析】（1）由题意可得，解出不等式组即可；（2）利用换元法令，则函数等价于，，分为和两种情形，根据二次函数的单调性得其最大值.【详解】（1）由题意知，解得，故.（2），令，，可得，，其对称轴为直线，当，即时，.当，即时，综上可知，二十二、函数的实际应用47．（23-24高一上·广西崇左）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）．(1)求函数的解析式；(2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．【答案】(1)(2)产量为5千辆时，该企业利润最大，最大利润是380万元【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题【分析】（1）利用，求出函数解析式；（2）分和，根据函数单调性求出最大值，得到答案.【详解】（1）由已知，，又整理得（2）当时，，则当时，；当时，，即时，，，的最大值为380，二十三、函数的零点48．（23-24高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间【分析】根据函数零点存在定理即可直接判断选项.【详解】函数为上的增函数，，又，且，因为，所以所在区间为.故选：B二十四、统计问题49．（23-24高一下·江苏常州·期末）某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（

）A．24 B．26 C．30 D．32【答案】D【知识点】分层抽样的特征及适用条件【分析】按照分层抽样计数规则计算可得.【详解】依题意高一年级应抽取的人数为人.故选：D.50．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知一组数据满足，则下列说法正确的是（

）A．这组数据的40%分位数是B．的平均数小于的平均数C．的方差大于的方差D．的极差小于的极差【答案】D【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计【分析】根据百分位数、极差、平均数、方差的概念及含义计算分析可得．【详解】对于A，，所以这组数据的40%分位数是，故A错误；对于B，不妨取这组数据为1，2，3，4，5，此时的平均数为3，的平均数均为3，故B错误；对于C，由可知，数据比数据更分散，所以的方差小于的方差，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确；故选：D．51．（多选）（22-23高一下·山东临沂·期末）若数据的平均数为2，方差为3，则（

）A．数据，，，的平均数为20 B．C．数据，，，的标准差为 D．【答案】BCD【知识点】计算几个数的平均数、各数据同时加减同一数对方差的影响、各数据同时乘除同一数对方差的影响【分析】根据给定条件，利用平均数，方差公式逐项计算即可求解.【详解】对于A，由平均数公式，得数据，，…，的平均数为，A错误；对于B，，B正确；对于C，由方差公式，得数据，，…，的方差为，标准差为，C正确；对于D，由，得，即，所以，D正确.故选：BCD52．（22-23高一下·重庆长寿·期末）为了落实习主席提出的“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，平昌县政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)直方图中a的值；(2)由频率分布直方图估计平昌县居民月用水量的平均数是多少；(3)若平昌县政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的估计值．【答案】(1)(2)（吨）(3)5.8（吨）【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计【分析】（1）由频率分布直方图中长方形的面积和为1列式计算即可；（2）由频率分布直方图中平均数的求法计算即可；（3）先由频率之和判断在中，由此即可求出的值.【详解】（1）由题意可得，解得.（2）（吨）.（3）因为的频率为，的频率为，故的估计值为（吨），所以85%的居民每月的用水量不超过标准（吨）.53．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30.(1)求乙离子残留百分比直方图中的值；(2)求甲离子残留百分比的第百分位数；(3)估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）【答案】(1)，(2)(3)【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计【分析】（1）由题意可求出，利用频率之和为1可求出；（2）根据频率分布直方图中的第百分位数计算方法即可求解；（3）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解.【详解】（1）由已知得，解得，所以．（2）根据直方图，易知甲离子残留百分比的第百分位数在区间，设为，则，解得，所以甲离子残留百分比的第百分位数为.（3）乙离子残留百分比的平均值的估计值为.54．（22-23高一下·山东临沂·期末）某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点500个，为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅局随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为100分．将分数以20为组距分为5组：、、、、，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知组的频数比组多8．(1)求直方图中和的值；(2)为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅局希望使得恰有50%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数．【答案】(1)，；(2)72分.【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1及已知列出方程组，求解即得.（2）由频率分布直方图中，评分分数右侧小矩形面积和为0.5，列式计算即得.【详解】（1）依题意，，所以，.（2）设应该制定的评分分数为分，则在频率分布直方图中，直线右边小矩形的面积和为0.5，而的小矩形面积是，则在内，于是，解得，所以应该制定的评分分数为72分.二十五、事件与概率问题55．（23-24高一下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得.【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数，注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数.（1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜.理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，故乙胜.（2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜.理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成：这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜.甲获胜的概率为.故选:B.56．（多选）（23-24高一下·宁夏固原·期末）设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（

）A．若事件，则B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D．【答案】AC【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、判断所给事件是否是互斥关系、概率的基本性质【分析】根据事件的包含关系判断A，根据互斥事件与相互独立事件的概率与性质判断BC，再由和事件概率公式判断D．【详解】若事件B包含事件A，则，故A正确；若事件A、B互斥，则，若事件A、B相互独立，则，故B错误，C正确；因为，所以当互斥时，，故D错误．故选：AC．57．（多选）（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知事件，满足：，，则（

）.A．若，互斥，则B．若，互斥，则C．若，互相独立，则D．若，互相独立，则【答案】AD【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式【分析】根据概率加法公式判断A，根据互斥事件定义判断B，根据独立事件概率乘法公式判断D，根据概率加法公式判断C.【详解】当，互斥时，，又，，所以，A正确；当，互斥时，事件，不可能同时发生，所以，B错误；当，互相独立，则，又，，所以，D正确；当，互相独立时，，C错误.故选：AD.58．（22-23高一下·甘肃·期末）某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为．【答案】/0.7【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式【详解】利用概率性质求解【分析】设掷一枚质地均匀的骰子出现点数为1或2为事