清单03 函数的概念与性质（考点清单知识导图+12个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第一册）（原卷版）

清单03函数的概念与性质（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】函数定义域的求法（1）确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．（2）抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．【清单02】函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．【清单03】函数的单调性一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．【清单04】证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．【清单05】函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．【清单06】单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．【清单07】复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．【清单08】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．【清单09】利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．【清单10】函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．【清单10】定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．若，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数【清单11】判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．【清单12】关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．【考点题型一】具体、抽象函数求定义域技巧：几类具体函数的定义域：（1）如果是整式，那么函数的定义域是实数集R；（2）如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；（4）如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义．当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解．抽象函数的定义域：求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的．【例1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【变式1-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【变式1-2】已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B．C． D．【变式1-3】已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【变式1-4】已知的定义域为则的定义域为（

）A． B． C． D．【考点题型二】求函数的值域技巧：求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．【例2】函数的值域为（

）A． B． C． D．【变式2-1】集合，下列不能表示从A到B的函数的是（

）A． B．C． D．【变式2-2】已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（

）A．和 B．和C．和 D．和【变式2-3】已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．【变式2-4】已知则的取值范围是（

）A． B．C． D．【考点题型三】求函数的解析式技巧：（1）解析式类型已知的，一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择．（2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法．（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程．【例3】已知函数，则（

）A． B．C． D．【变式3-1】已知函数，且，则（

）A． B．C． D．【变式3-2】已知，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【变式3-3】已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【变式3-4】已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【考点题型四】利用函数单调性求参数的取值范围技巧：（1）解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．（2）分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题．【例4】已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-1】若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【变式4-2】已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式4-3】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．或【变式4-4】若函数是奇函数，且在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【考点题型五】利用函数单调性的性质解不等式技巧：求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解．【例5】已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有.则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式5-1】已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式5-2】已知，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式5-3】定义在上的函数满足且，有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式5-4】奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【考点题型六】抽象函数单调性的证明技巧：研究抽象函数的单调性是依据定义和题设来进行论证的．一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“”型[即给出所具有的性质，如本例，二是“”型．对于型的函数，只需构造，再利用题设条件将它用与表示出来，然后利用题设条件确定的范围，从而确定与的大小关系；对型的函数，则只需构造即可．【例6】已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有.(1)求的值；(2)证明：为偶函数；(3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集.【变式6-1】已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，.(1)求的值；(2)求证：在定义域上是单调递增函数；(3)求证：为奇函数.【变式6-2】已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有.(1)求的值；(2)证明：为偶函数；(3)若在上单调递增，求不等式的解集.【变式6-3】函数的定义域为，且满足对于任意，有，当.(1)证明：在上是增函数；(2)证明：是偶函数；(3)如果，解不等式.【变式6-4】已知定义在上的函数满足：．(1)判断的奇偶性并证明；(2)若，求；(3)若，判断并证明的单调性．【考点题型七】已知函数的奇偶性求表达式技巧：抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．【例7】已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则当时，（

）A． B．C． D．【变式7-1】函数为奇函数，且当时，，则当时，解析式是（

）A． B．C． D．【变式7-2】已知定义在上的函数，满足，且当时，，则满足不等式的的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式7-3】已知函数f（x）=为奇函数，则等于（）A． B．1 C．0 D．【变式7-4】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则当时，的解析式为（

）A． B．C． D．【考点题型八】已知函数的奇偶性求参数技巧：利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解．【例8】已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【变式8-1】已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【变式8-2】若函数为奇函数，则实数（

）A． B．1 C．0 D．【变式8-3】已知定义域为的奇函数，则的值为（

）A．0 B． C．1 D．2【变式8-4】已知函数，则“”是“是偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必