专题1.1 集合（考点清单7个考点梳理+12题型解读）（原卷版及全解全析）

专题1.1集合【清单01】集合与元素1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.2.元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A【清单02】集合中元素的特征（1）确定性（2）互异性（3）无序性（4）广泛性【清单03集合的表示法1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.2.描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.3.区间法：（1）一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间__[a，b]__{x|a＜x＜b}开区间__(a，b)__{x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]（2）特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.【清单04】集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，空集可以看成含0个元素，故空集是有限集.【清单05】集合间的基本关系1.子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)若且，则(4)若且，则或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不属于A（1）（A为非空子集）(2)若且，则集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA2.∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3．已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【清单06】集合的基本运算1.交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3），并集或（1）（2）（3），补集（1）（2）2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．【清单07】常用数集及其关系表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.【考点题型一】集合的基本概念【例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（

）A．与表示同一个集合；B．方程的所有解的集合可表示为；C．由3，4，5组成的集合可表示为或；D．很小的实数可以构成集合．【变式1-1】（24-25高一上·北京·阶段练习）关于的方程的解集可能是（

）A．空集 B．单元素集合 C． D．【变式1-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合C．与是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素【变式1-3】（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（

）A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合B．集合与集合是相同的集合C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合【变式1-4】（多选）（24-25高一上·重庆·开学考试）下列说法正确的有（

）A．10以内的质数组成的集合是B．由1，2，3组成的集合可表示为或C．方程的解集是D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形【考点题型二】元素与集合【例2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若，则（

）A． B．C． D．不属于M，Q，P中的任意一个【变式2-1】（24-25高一上·海南儋州·阶段练习）下列关系中正确的个数为（）①，②，③，④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-2】（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（

）A． B．C． D．【变式2-3】（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（

）A． B． C． D．【变式2-4】（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，则1与集合的关系为（

）A． B． C． D．【考点题型三】根据元素与集合的关系求参数【例3】（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为.【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，若，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或【变式3-2】（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（

）A． B． C． D．【变式3-3】（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3-4】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数.【考点题型四】子集、真子集的个数问题【例4】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知集合满足，则符合条件的集合有个.【变式4-1】（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【变式4-2】（24-25高一上·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（

）A．8 B．16 C．32 D．64【变式4-3】（24-25高一上·天津·期中）已知，它的非空真子集的个数为.【变式4-4】（24-25高一上·广东佛山·期中）集合的子集个数为．【考点题型五】包含关系的判断【例5】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（

）A． B．C． D．【变式5-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合M与N的关系是（

）A． B． C． D．【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则与之间的关系是（

）A． B． C． D．【变式5-4】（24-25高一上·重庆·期中）下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【考点题型六】根据集合的包含关系求参数【例6】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围．【变式6-1】（24-25高三上·山西长治·阶段练习）设集合，，若，则（

）A．3 B．1 C．0 D．【变式6-2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（

）A． B． C． D．【变式6-3】（多选）（24-25高一上·河北保定·期中）设集合，，且，则实数a的值可以是（

）A．2 B．1 C． D．0【变式6-4】（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为.【考点题型七】集合的相等【例7】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（

）A． B．C． D．【变式7-1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【变式7-2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中不正确的是（）A．集合中有两个元素B．集合中没有元素C．D．与是不同的集合【变式7-3】（多选）（24-25高一上·贵州·阶段练习）下列关于集合的说法不正确的有（

）A．B．任何集合都是它自身的真子集C．若（其中），则D．集合与是同一个集合【变式7-4】（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【考点题型八】根据集合相等求参数【例8】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【变式8-1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，，若，则等于（

）A．或 B．或C． D．【变式8-2】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知集合，若，则（

）A． B．2 C． D．6【变式8-3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知集合，，若，则实数a的值为（

）A．0 B．1 C．1或3 D．3【变式8-4】（24-25高三上·河南·期中）已知集合，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考点题型九】集合的基本运算【例9】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知全集，，，或求(1)(2)(3)【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式9-2】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式9-3】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，，则（

）A． B．C． D．【变式9-4】（24-25高一上·安徽滁州·期中）设全集，，，则（

）A． B． C． D．【考点题型十】根据集合的运算求参数【例10】（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合，.(1)若，求，.(2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【变式10-1】（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合.若则实数m的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【变式10-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知全集，集合，.(1)求和；(2)已知，写出集合的所有非空子集.【变式10-3】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知集合．(1)求P，Q；(2)若，求m的取值范围．【变式10-4】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且.(1)若，求实数组成的集合；(2)若，求，的值.【考点题型十一】集合的应用【例11】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若，，，，则（）A． B．C． D．【变式11-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【变式11-2】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(

).A．10 B．9 C．7 D．4【变式11-3】（24-25高一上·全国·课后作业）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，为了办好这一届具有“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州某高校的40名同学报名参加足球、篮球、排球三个项目的志愿者服务活动，且每名同学至多参加两个志愿者服务项目.已知参加足球、篮球、排球项目的人数分别为26，15，13，同时参加足球和篮球项目的有6人，同时参加足球和排球项目的有4人，则同时参加篮球和排球项目的人数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式11-4】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人.【考点题型十二】集合的“新定义”问题【例12】（24-25高一上·江西赣州·期中）对非空数集及实数，定义，，已知．(1)当时，若集合为单元素集，求；(2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合；(3)若中有3个元素，求实数的取值范围．【变式12-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（

）A．31 B．7 C．3 D．1【变式12-2】（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（

）A．5 B．7 C．13 D．15【变式12-3】（24-25高三上·河南新乡·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（

）A．82 B．74 C．12 D．70【变式12-4】（多选）（24-25高一上·湖南永州·期中）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）A．若且，则B．若且，则C．若且，则D．存在，使得

专题1.1集合【清单01】集合与元素1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.2.元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A【清单02】集合中元素的特征（1）确定性（2）互异性（3）无序性（4）广泛性【清单03集合的表示法1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.2.描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.3.区间法：（1）一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间__[a，b]__{x|a＜x＜b}开区间__(a，b)__{x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]（2）特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.【清单04】集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，空集可以看成含0个元素，故空集是有限集.【清单05】集合间的基本关系1.子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)若且，则(4)若且，则或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不属于A（1）（A为非空子集）(2)若且，则集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA2.∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3．已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【清单06】集合的基本运算1.交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3），并集或（1）（2）（3），补集（1）（2）2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．【清单07】常用数集及其关系表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.【考点题型一】集合的基本概念【例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（

）A．与表示同一个集合；B．方程的所有解的集合可表示为；C．由3，4，5组成的集合可表示为或；D．很小的实数可以构成集合．【答案】C【知识点】判断元素能否构成集合、判断是否为同一集合、集合元素互异性的应用【分析】利用集合的概念和集合的表示法判断即可.【详解】对于A，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，故C正确；对于D，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故D错误.故选：C.【变式1-1】（24-25高一上·北京·阶段练习）关于的方程的解集可能是（

）A．空集 B．单元素集合 C． D．【答案】C【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据条件，得到，再结合选项分析判断，即可求解.【详解】由，得到，解得，所以选项A和B错误，当时，或，所以选项C正确，由，得到，但，所以选项D错误，故选：C.【变式1-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合C．与是不同的集合D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素【答案】A【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据集合元素的确定性、互异性和无序性判断即可.【详解】对于A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故A正确；对于B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故B错误；对于C，集合的元素满足无序性，与是相同集合，故C错误；对于D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，且有4个元素，故D错误.故选：A【变式1-3】（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（

）A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合B．集合与集合是相同的集合C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合【答案】CD【知识点】描述法表示集合、判断元素能否构成集合【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号.【详解】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误，对于选项B，其中集合是数集，集合是点集，所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误，对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确，对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即，所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确，故选：CD.【变式1-4】（多选）（24-25高一上·重庆·开学考试）下列说法正确的有（

）A．10以内的质数组成的集合是B．由1，2，3组成的集合可表示为或C．方程的解集是D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形【答案】BD【知识点】判断元素能否构成集合、列举法表示集合、集合元素互异性的应用【分析】根据集合的确定性，互异性，和无序性，依次判断选项即可.【详解】对A：不是质数，故A错误；对B：根据集合的无序性可知，故B正确；对C：根据集合的互异性可知方程的解集是，故C错误；对D：根据集合的互异性可知两两不相等，故一定不是等腰三角形，故D正确.故选：BD.【考点题型二】元素与集合【例2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若，则（

）A． B．C． D．不属于M，Q，P中的任意一个【答案】A【知识点】判断元素与集合的关系【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案．【详解】∵，∴，，∴，∴.故选：A.【变式2-1】（24-25高一上·海南儋州·阶段练习）下列关系中正确的个数为（）①，②，③，④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系【分析】根据元素与集合的关系直接判断①②③，根据的适用情况判断④.【详解】①是实数，故正确；②不是有理数，故正确；③，是自然数，故正确；④只能用于元素与集合之间的关系，故错误；所以正确的个数为个，故选：C.【变式2-2】（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】判断元素与集合的关系【分析】根据元素与集合的关系判断.【详解】A，2是自然数，故A正确；B，是无理数，不是有理数，故B错误；C，0是自然数，故C错误；D，是分数，不是整数，故D错误.故选：A【变式2-3】（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可.【详解】对于命题①，，所以命题①错误，对于命题②，，所以命题②错误，对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误，对于命题④，因为，所以命题④正确，对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确，故选：C.【变式2-4】（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，则1与集合的关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系【分析】代入判断不属于，从而得到不包含于，然后分别考查四个选项即可.【详解】因为，所以，这也意味着，从而只有选项A正确.故选：A.【考点题型三】根据元素与集合的关系求参数【例3】（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为.【答案】【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解.【详解】因为，，且，若，解得或，当时，此时，此时，不满足集合元素的互异性，舍去；当时，此时，此时，不满足集合元素的互异性，舍去；若，，解得或，前面已经分析不满足要求，当时，此时，此时集合，，满足集合元素的性质，综上，，所以的取值集合为.故答案为：.【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，若，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数【分析】根据列方程，利用集合中元素的互异性确定的值.【详解】当时，，此时，，故舍去；当时，解得或（舍），此时，符合题意．故选：B.【变式3-2】（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据集合与元素的包含关系求解即可.【详解】因为集合，，所以，解得，故选：D【变式3-3】（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】依题意可得，解得即可.【详解】由，可得，解得，即实数的取值范围为.故选：A.【变式3-4】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数.【答案】【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值.【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；若，则，此时，符合要求；若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；综上所述，.故答案为：.【考点题型四】子集、真子集的个数问题【例4】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知集合满足，则符合条件的集合有个.【答案】7【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数【分析】由子集及真子集的概念，可转化为求集合真子集的个数即可得解.【详解】因为，所以中含有元素，故符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数，故有个，故答案为：7【变式4-1】（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数【分析】列举出满足要求的集合，得到答案.【详解】由可得，，故不同的的个数为.故选：C【变式4-2】（24-25高一上·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数【分析】先根据题意求出集合，然后利用公式可求出其子集的个数.【详解】因为，，所以当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以，所以集合的子集个数为.故选：B【变式4-3】（24-25高一上·天津·期中）已知，它的非空真子集的个数为.【答案】14【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数【分析】根据集合的子集（真子集）个数的结论求解．【详解】，有4个元素，则它的非空真子集的个数为，故答案为：14．【变式4-4】（24-25高一上·广东佛山·期中）集合的子集个数为．【答案】【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数【分析】先求出集合，然后由集合中元素的个数求解子集的个数即可.【详解】由题意得，则的子集个数为．故答案为：【考点题型五】包含关系的判断【例5】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系.【详解】由，又，，而为偶数，和为整数，所以.故选：B.【变式5-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等【分析】ABC选项，由数集字母表示及元素，集合与几何关系可判断选项正误；D选项，由集合相等定义可判断选项正误.【详解】A选项，为无理数，为有理数集，则，故A错误；B选项，为整数，则，故B正确；C选项，为自然数，不是正整数，则不为正整数集的子集，故C错误；D选项，为数集，为点集，则，故D错误.故选：B【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合M与N的关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】判断两个集合的包含关系【分析】解方程确定集合，然后由子集、真子集的定义判断．【详解】解方程，得或，则，因为且，且，所以．又因为但，所以．故选：C．【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，则与之间的关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】判断两个集合的包含关系【分析】根据集合的包含关系可得出结论.【详解】因为，，所以，.故选：D.【变式5-4】（24-25高一上·重庆·期中）下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系【分析】根据元素与集合的关系判断A、B；根据集合的性质判断C；根据集合之间的关系判断D；【详解】A选项，不是整数，所以，A选项错误；B选项，是无理数，所以，B选项错误；C选项，集合元素的无序性，所以C选项正确；D选项，是点集，是数集，两者没有包含关系，故D错误.故选：C【考点题型六】根据集合的包含关系求参数【例6】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围．【答案】【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案.【详解】，，，①时，，解得，②时，或，解得：综上，或.所以m的取值范围是.【变式6-1】（24-25高三上·山西长治·阶段练习）设集合，，若，则（

）A．3 B．1 C．0 D．【答案】C【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】依题意可得，则或，求出的值，再代入检验即可.【详解】因为，且，所以，则或，解得或或，当时，，，符合题意；当时，集合不满足元素的互异性，故舍去；当时，，，不满足，故舍去；同理，则则或，即或或，由以上分析可知符合题意，不符合题意，时，，，不符合题意；综上可得.故选：C【变式6-2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可.【详解】集合，化简求值可得，当时，，此时集合无解，即当时，时，即解之得，，即解之可得，所以根据集合元素的性质可得元素个数为个.故选：C【变式6-3】（多选）（24-25高一上·河北保定·期中）设集合，，且，则实数a的值可以是（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】ACD【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】求出，分，和三种情况，得到实数a的值.【详解】，因为，当时，，满足要求，当时，，当时，，解得，综上，或2或.故选：ACD【变式6-4】（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为.【答案】【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】根据集合的包含关系，利用数轴分析，即可求得结果.【详解】因为，，，所以利用数轴分析法，可知..故答案为：.【考点题型七】集合的相等【例7】（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论.【详解】任取，则，，所以，所以，任取，则，，所以，所以，所以，任取，则，，所以，所以，又，，所以，所以，故选：C.【变式7-1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【知识点】判断两个集合是否相等【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，；对于B选项，；对于C选项，为点集，为数集，则；对于D选项，为数集，为点集，则.故选：B.【变式7-2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中不正确的是（）A．集合中有两个元素B．集合中没有元素C．D．与是不同的集合【答案】BCD【知识点】判断是否为同一集合、判断元素与集合的关系、列举法表示集合【分析】利用集合的元素个数判断AB；利用元素与集合的关系判断B；利用集合的元素特性判断D.【详解】对于A，，该集合中有两个元素，A正确；对于B，集合中有一个元素0，B错误；对于C，，则，C错误；对于D，由集合中元素的无序性，知与是相同的集合，D错误.故答案为：BCD【变式7-3】（多选）（24-25高一上·贵州·阶段练习）下列关于集合的说法不正确的有（

）A．B．任何集合都是它自身的真子集C．若（其中），则D．集合与是同一个集合【答案】ABD【知识点】判断两个集合是否相等、根据两个集合相等求参数、空集的概念以及判断、子集的概念【分析】根据集合的定义，真子集的定义，集合相等的定义判断各选项．【详解】中含有一个元素，不是空集，A错；任何集合都是它自身的子集，不是真子集，B错；由集合相等的定义得，，C正确；集合中元素是实数，集合中元素是有序实数对，不是同一集合，D错，故选：ABD．【变式7-4】（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABC【知识点】判断两个集合是否相等【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同.【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确；B选项，为点集，为数集，则两集合不同，故B正确；C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确；D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误.故选：ABC【考点题型八】根据集合相等求参数【例8】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数【分析】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可.【详解】，，，，即，，当时，或，当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去，当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去，综上，，，，故选：B.【变式8-1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，，若，则等于（

）A．或 B．或C． D．【答案】C【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数【分析】根据集合相等即元素相同解出，再根据集合元素互异性求出值.【详解】由有，解得或3，当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去.当时，，满足题意.故选：C.【变式8-2】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知集合，若，则（

）A． B．2 C． D．6【答案】A【知识点】根据两个集合相等求参数、集合元素互异性的应用【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解.【详解】因为集合，若，则或，解得或，当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去，故，，符合题意，此时.故选：A.【变式8-3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知集合，，若，则实数a的值为（

）A．0 B．1 C．1或3 D．3【答案】D【知识点】根据两个集合相等求参数【分析】利用集合相等求解.【详解】解：因为集合，，且，所以，解得，故选：D【变式8-4】（24-25高三上·河南·期中）已知集合，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知识点】根据两个集合相等求参数【分析】根据方程的解是任意实数，即可得求解.【详解】，即关于的方程的解是任意实数，则所以所以.故选：B.【考点题型九】集合的基本运算【例9】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知全集，，，或求(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)或【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算【分析】（1）根据集合并集的概念进行计算即可.（2）根据集合交集的概念进行计算即可.（3）根据集合补集的概念进行计算即可.【详解】（1），.（2），.（3）或x>2，或【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】交集的概念及运算【分析】利用交集概念进行求解.【详解】由题得，且，故．故选：B【变式9-2】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】判断两个集合的包含关系【分析】根据题意，将集合分别化简，即可得到两集合的关系.【详解】因为集合，令，则，令，则，所以或，且，所以.故选：C【变式9-3】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】列举法表示集合、交并补混合运算【分析】根据补集与并集的概念求解即可．【详解】由题知，则，故．故选：D．【变式9-4】（24-25高一上·安徽滁州·期中）设全集，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】交并补混合运算【分析】求出全集，利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为全集，，，则，，所以，.故选：B.【考点题型十】根据集合的运算求参数【例10】（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合，.(1)若，求，.(2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)，(2)不存在，理由见解析【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数【分析】（1）根据交集，并集和补集概念得到答案；（2）根据条件得到，从而得到方程组，方程组无解，故不存在实数，使得.【详解】（1）因为，所以，则，由，得，则.（2）假设存在实数，使得，由，得，则，方程组无解，从而假设不成立，故不存在实数，使得.【变式10-1】（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合.若则实数m的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围.【详解】.因为，所以.由于，要满足，当，即，解得.当，则有.解得：.综上，m的取值范围为.故选：A.【变式10-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知全集，集合，.(1)求和；(2)已知，写出集合的所有非空子集.【答案】(1)，(2)答案见解析【知识点】求集合的子集（真子集）、交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算【分析】（1）求出集合，利用交集和并集的定义可求得集合和；（2）求出集合，利用子集的定义可得出集合的所有非空子集.【详解】（1）因为，，则，.（2）因为全集，，则，所以，集合的所有非空子集为：、、、、、、.【变式10-3】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知集合．(1)求P，Q；(2)若，求m的取值范围．【答案】(1)，．(2)【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算【分析】（1）化简集合，再根据交集，并集，补集的定义计算即可；（2）根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求解即可.【详解】（1）由题意得，由或，得，所以．．（2）当时，，得．当时，或，解得或．综上，m的取值范围为．【变式10-4】（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且.(1)若，求实数组成的集合；(2)若，求，的值.【答案】(1)(2)；【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值；（2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值．【详解】（1）若，可得，因为，所以．当，则；当，则；当，．综上，可得实数a组成的集合为．（2）因为，，且，，所以，，所以，解得，解，得x=2或x=6，所以，所以，所以，解得．【考点题型十一】集合的应用【例11】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若，，，，则（）A． B．C． D．【答案】B【知识点】集合的应用、交并补混合运算【分析】根据的定义，结合集合，，的元素个数可得解.【详解】A选项：由已知，则，A选项错误；B选项：，B选项正确；C选项：，C选项错误；D选项：，D选项错误；故选：B.【变式11-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【知识点】利用Venn图求集合、集合的应用【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可；【详解】如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则，解得，即同时参加了3个小组的人数为8．故选：D.【变式11-2】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(

).A．10 B．9 C．7 D．4【答案】A【知识点】集合的应用、容斥原理的应用【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人；设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人；又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团，所以，解得，故只参加围棋社团的人数为人.故选：A.【变式11-3】（24-25高一上·全国·课后作业）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，为了办好这一届具有“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州某高校的40名同学报名参加足球、篮球、排球三个项目的志愿者服务活动，且每名同学至多参加两个志愿者服务项目.已知参加足球、篮球、排球项目的人数分别为26，15，13，同时参加足球和篮球项目的有6人，同时参加足球和排球项目的有4人，则同时参加篮球和排球项目的人数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知识点】集合的应用【分析】由题意画出参加三个项目的人数图形，列方程解出即可；【详解】

如图所示，设同时参加篮球和排球项目的人数为，则有，解得，故同时参加篮球和排球项目的人数为4．故选：B.【变式11-4】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.