专题01 集合和简单逻辑用语解析版

专题01集合与简单逻辑用语【清单01】元素与集合1、集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2、集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3、元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种．4、集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．知识点诠释：（1）列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来.（2）描述法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.5、常用数集的表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或【清单02】集合间的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集：对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作．（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.【清单03】集合的基本运算（1）交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．（2）并集：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．【清单04】充分条件、必要条件、充要条件1、定义如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．2、从逻辑推理关系上看（1）若且，则是的充分不必要条件；（2）若且，则是的必要不充分条件；（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．【清单05】全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．（3）含有一个量词的命题的否定1）全称量词命题的否定为，．2）存在量词命题的否定为．【考点题型一】元素和集合【例1】.已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（

）A．5 B．7 C．13 D．15【答案】C【详解】已知集合，“孤立元”为1的集合为，，，；“孤立元”为2的集合为，；“孤立元”为3的集合为；“孤立元”为4的集合为，；“孤立元”为5的集合为，，，；综上，满足题意的集合有13个.故选：C.【变式1-1】.下列选项中，能够构成集合的是（

）A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数【答案】C【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误，对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误，对于C，的根为，故集合为，C正确，对于D,无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误，故选：C【变式1-2】.已知集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，可得，解得，即实数的取值范围为.故选：A.【变式1-3】.已知集合，，则中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】由题意，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，由集合中元素满足互异性，所以.故选：B.【变式1-4】.给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于命题①，，所以命题①错误，对于命题②，，所以命题②错误，对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误，对于命题④，因为，所以命题④正确，对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确，故选：C.【考点题型二】集合间的基本关系【例2】.（多选）设集合，，且，则实数a的值可以是（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】ACD【详解】，因为，当时，，满足要求，当时，，当时，，解得，综上，或2或.故选：ACD【变式2-1】.已知集合，，则（

）A． B． C． D．=【答案】A【详解】由，可知：集合是由所有的奇数构成的集合，而集合中的元素是的倍数，故，故选：A.【变式2-2】.满足条件的集合的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】由已知得1，，则的其它元素只能从3、4中选最少选1个，最多选2个，故满足条件的集合的个数为3，故选：C.【变式2-3】.若集合，，且，则实数．【答案】0或1【详解】由题设，又，且，由于，讨论如下：当，即时，，满足；当，即时，，满足；而或或时，，不满足.所以0或1.故答案为：0或1【变式2-4】.已知全集，，，且，求m的取值范围．【答案】【详解】，，，①时，，解得，②时，或，解得：综上，或.所以m的取值范围是.【考点题型三】集合的基本运算【例3】.已知集合，.(1)当时，求：①，②；(2)若，求实数m的取值范围.【答案】(1)①，②(2)【详解】（1）由，解得，则，当时，，所以，或，则.（2）由（1）知，由，得，解得，因此，实数m的取值范围是.【变式3-1】.已知集合，若，则实数（

）A． B． C． D．或【答案】C【详解】由得，所以或，解得.故选：C【变式3-2】.已知全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知，阴影部分为.故选：A．【变式3-3】.已知集合.若则实数m的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【详解】.因为，所以.由于，要满足，当，即，解得.当，则有.解得：.综上，m的取值范围为.故选：A.【变式3-4】.已知集合，集合，(1)当时，求(2)若，求实数的取值范围【答案】(1)(2)或.【详解】（1），当时，，所以.（2）因为，，所以或，解得或.【考点题型四】充分条件、必要条件【例4】.设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】①当，时，满足，但不满足，充分性不成立，②当时，则，，必要性成立，是的必要不充分条件，故选：B．【变式4-1】.已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设集合，集合，因为的充分不必要条件是，所以是的真子集，则，解得.故选：D【变式4-2】.已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为集合，，若是成立的充分条件，则，所以，，解得.故选：C.【变式4-3】.设集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】，则，所以，解得，故充分性不满足，时，，，所以，必要性满足，故“”是“”的必要不充分条件.故选：.【变式4-4】.已知集合，全集．(1)当时，求(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，或x>5，又，故或x>5；（2）“”是“”的必要不充分条件，故为的真子集，若，则，解集为，若，则或，解得，综上，实数的取值范围是【考点题型四】全称量词和存在量词【例4】.已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为命题“”为假命题，所以，命题“”为真命题，因为集合，集合，所以，当时，即时，成立，当时，由“”得，解得，综上，实数的取值范围为.故选：B.【变式4-1】.已知命题，，则是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】，成立的否定为：，成立．命题，，则是，.故选：C.【变式4-2】.命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求否定为，.故选：A【变式4-3】.已知：关于的方程有实数根，．(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，因此，解得，所以实数的取值范围是.（2）由（1）知，若命题是真命题，则，因为命题是命题的必要不充分条件，则是的真子集，因此，解得，所以实数的取值范围是.【变式4-4】.已知命题，命题.(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则，即命题，则命题，所以实数的取值范围是.（2）由，得，解得，即命题，则命题，由（1）知命题，由命题和均为真命题，得，所以实数的取值范围是.1．已知集合满足，则不同的的个数为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【详解】由可得，，故不同的的个数为.故选：C2．下列关系中，正确的个数为（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】，①正确；，②正确；为元素，为集合，两者不能用等号连接，应，③错误；，④错误；，⑤错误；，⑥正确.故选：A3．下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】A选项，不是整数，所以，A选项错误；B选项，是无理数，所以，B选项错误；C选项，集合元素的无序性，所以C选项正确；D选项，是点集，是数集，两者没有包含关系，故D错误.故选：C4．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】对①，正确；对②，空集是集合，故正确；对③，是无理数，故错误；对④，两集合中元素不一样，故，故④错误.综上①②正确.故选：B5．集合的非空子集个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】由题意可得，故其非空子集个数为.故选：A.6．已知集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当时，推不出，例如,当时，，所以,所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B7．若命题，，则是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】命题，，则：，.故选：D8．（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（

）A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人【答案】BC【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学，则，，，又，，所以，所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人．故选：BC9．（多选）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】AC【详解】由图可知，是的子集，故A正确；不是的子集，故B错误；是的子集，故C正确；不是的子集，故D错误；故选：AC10．（多选）下列说法正确的是（

）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“，”是真命题C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分不必要条件【答案】ABD【详解】对于A，由存在量词命题的否定形式知命题正确，A正确；对于B，当时，成立，B正确；对于C，取，，满足，而，不是充分性条件，C错误；对于D，能推出，而不能推出，“”是“”的充分不必要条件，D正确.故选：ABD11．已知集合，，.(1)求，，；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)，，或(2).【详解】（1）因为，，所以，，或.（2）因为，，且，所以，所以的取值范围是.12．已知集合或，，.(1)若，求和；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)或；(2)或．【详解】（1）时，，或，，.（2）因为，当时，，解得，，满足；当时，，解得，综上所述：实数的取值范围是或．13．已知集合，，.(1)求，；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)，；(2)【详解】（1），或，∴（2），则，即14．已知全集为，集合.(1)求，；(2)求，；(3)若，求a的取值范围.【答案】(1)(2)，或(3)【详解】（1）由题意知，；