2025年常德一模高三试卷及答案

2025年常德一模高三试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分2025年常德市高三一模试卷考试科目：数学总分：100分考试时间：120分钟一、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域为（）。A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.RD.(-1,3)2.若复数z满足z²=i，则z的模长为（）。A.1B.√2C.√3D.23.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，则角C的大小为（）。A.30°B.45°C.60°D.90°4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃=5，S₆=30，则公差d为（）。A.1B.2C.3D.45.抛掷两个均匀的六面骰子，则两个骰子点数之和为7的概率为（）。A.1/6B.1/12C.5/36D.7/366.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为（）。A.πB.2πC.π/2D.3π/27.已知圆O的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆心O到直线3x-4y+5=0的距离为（）。A.1B.√2C.√3D.28.若函数g(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）。A.3B.-3C.2D.-29.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线x²+y²-2x+4y-3=0上运动，则点P到直线x-y+1=0的距离的最小值为（）。A.1B.√2C.√3D.210.已知向量a=(1,k)，b=(2,-1)，若a⊥b，则k的值为（）。A.-2B.2C.-1/2D.1/2二、填空题（每空2分，共20分）1.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(-1,2)，则b=________。2.不等式|3x-2|<5的解集为________。3.在等比数列{bₙ}中，b₁=2，b₄=16，则公比q=________。4.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积为________。5.抛掷一枚质地均匀的硬币三次，则恰好出现两次正面的概率为________。6.函数f(x)=e^x-x在(-∞,+∞)上的单调递增区间为________。7.已知椭圆的标准方程为x²/9+y²/4=1，则其焦距为________。8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosC=________。9.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0平行，则a=________。10.已知函数f(x)=sin²x+cos²x-sinx·cosx，则f(π/4)=________。三、判断题（每题2分，共20分）1.若a²≥0，则a=0。（）2.函数f(x)=tanx在(-π/2,π/2)上是增函数。（）3.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁·z₂=2。（）4.在等差数列中，若aₙ=aₘ，则n=m。（）5.圆x²+y²=1与圆(x-1)²+(y-1)²=1相交。（）6.函数f(x)=x²-4x+3在x=2处取得极小值。（）7.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，则a+b=(4,6)。（）8.在直角坐标系中，点P(x,y)在抛物线y²=2x上运动，则点P到焦点F的距离为x+1/2。（）9.若函数f(x)=x³-3x+1在(-∞,+∞)上单调递增，则其导函数f'(x)≥0。（）10.在△ABC中，若a²+b²>c²，则角C为锐角。（）四、简答题（每题4分，共12分）1.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值。2.已知等比数列{cₙ}的前n项和为Sₙ，若c₂=6，S₄=39，求公比q。3.求过点A(1,2)且与直线l:3x-4y+5=0平行的直线方程。五、应用题（每题9分，共18分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1。(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在[-2,3]上的最大值和最小值。2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，b=7，且cosC=1/2。(1)求边c的长度；(2)求sinA的值。【试卷末尾附标准答案及解析】一、单选题答案1.C2.A3.C4.B5.A6.A7.D8.A9.B10.A二、填空题答案1.-22.(-1,3)3.24.3π5.3/86.(0,+∞)7.2√58.3/59.-210.1/2三、判断题答案1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题解析1.解析：令f(x)=|x-1|+|x+2|，分段讨论：-当x≤-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；-当-2<x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；-当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。综上，f(x)的最小值为3（当-2<x<1时取得）。2.解析：由等比数列性质，c₄=c₁q³，S₄=c₁(1+q+q²+q³)=39，c₂=c₁q=6。解方程组：c₁q=6，c₁(1+q+q²+q³)=39。代入c₁=6/q，得：6/q(1+q+q²+q³)=39，6(1+q+q²+q³)=39q，6+6q+6q²+6q³=39q，6q³-33q+6=0，q=2（舍去q=1/2，因S₄≠24）。3.解析：设所求直线方程为3x-4y+k=0，代入点A(1,2)：3(1)-4(2)+k=0，k=5。所求直线方程为3x-4y+5=0。五、应用题解析1.解析：(1)求导f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0，得x=1±√3/3。单调递增区间为(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,+∞)。(2)计算端点值：f(-2)=(-2)³-3(-2)²+2(-2)+1=-8-12-4+1=-23，f(1-√3/3)=(1-√3/3)³-3(1-√3/3)²+2(1-√3/3)+1≈-0.19，f(1+√3/3)=(1+√3/3)³-3(1+√3/3)²+2(1+√3/3)+1≈4.19，f(3)=3³-3(3)²+2(3)+1=27-27+6+1=7。最大值为7，最小值为-23