江苏扬州数学一模试卷及答案

江苏扬州数学一模试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：江苏扬州数学一模试卷考核对象：高中一年级学生题型分值分布：-单选题（10题，每题2分，共20分）-填空题（10题，每题2分，共20分）-判断题（10题，每题2分，共20分）-简答题（3题，每题4分，共12分）-应用题（2题，每题9分，共18分）总分：100分一、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.RD.(-1,3)2.若向量a=(1,k),b=(2,-1),且a⊥b，则k的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/23.抛掷两枚均匀的骰子，记事件A为“点数之和为7”，则P(A)等于（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/184.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5,d=-2,则a₅的值为（）A.-3B.-1C.1D.35.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)6.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.-3C.2D.-27.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，则cosC等于（）A.1/2B.1/3C.1/4D.18.已知直线l₁:ax+3y-6=0与l₂:3x+by+9=0平行，则a与b的关系为（）A.a=bB.a=-bC.a=3bD.b=3a9.某几何体的三视图如右图所示，该几何体是（）A.正方体B.球体C.圆锥D.三棱柱10.已知f(x)=sin(x+π/4)，则f(π/4)的值为（）A.0B.1/√2C.-1/√2D.1二、填空题（每题2分，共20分）11.若复数z=2+i，则|z|=________。12.不等式|3x-1|<5的解集为________。13.已知tanα=√3，则sin(α+π/6)的值为________。14.在等比数列{bₙ}中，b₁=1,q=2，则b₄的值为________。15.过点(1,2)且与直线y=3x-1垂直的直线方程为________。16.若sinθ+cosθ=√2，则tanθ的值为________。17.已知圆O₁:x²+y²=4与圆O₂:x²+y²-6x+8y-3=0相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为________。18.函数f(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的单调性为________。19.在△ABC中，若a=3,b=4,C=60°，则c的值为________。20.已知函数f(x)=x²-ax+1在x=2处取得最小值，则a的值为________。三、判断题（每题2分，共20分）21.若a²=b²，则a=b。22.函数y=sin(x)是周期函数，且最小正周期为2π。23.在△ABC中，若a>b，则角A>角B。24.若向量a=(1,2),b=(3,6)，则a与b共线。25.复数z=1+i的模等于其辐角的主值。26.不等式x²-4x+4>0的解集为(0,4)。27.圆x²+y²=1与直线y=x相切。28.函数f(x)=x³在R上单调递增。29.若直线l₁与l₂相交，则它们的斜率之积为-1。30.在等差数列中，若aₙ=aₘ，则n=m。四、简答题（每题4分，共12分）31.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取最小值时的x值。32.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。33.在△ABC中，若a=5,b=7,C=60°，求cosA的值。五、应用题（每题9分，共18分）34.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元。若销售量为x件，求该工厂的利润函数P(x)的表达式，并求销售量为2000件时的利润。35.在直角坐标系中，已知点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线y=x上运动。求△ABC面积的最小值及此时点C的坐标。标准答案及解析一、单选题1.C解析：f(x)=log₃(x²-2x+3)需满足x²-2x+3>0，判别式Δ=(-2)²-4×1×3=-8<0，故x²-2x+3>0恒成立，定义域为R。2.A解析：a⊥b⇒a·b=0⇒1×2+k×(-1)=0⇒k=2。3.A解析：点数之和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，P(A)=6/36=1/6。4.B解析：a₅=a₁+4d=5+4×(-2)=-3。5.C解析：圆方程化为标准式：(x-2)²+(y+3)²=16，圆心为(2,-3)。6.A解析：f'(x)=3x²-a，f'(1)=3-a=0⇒a=3。7.A解析：a²+b²-c²=ab⇒2ab-c²=ab⇒c²=ab⇒cosC=a²+b²-c²/2ab=ab/2ab=1/2。8.B解析：l₁∥l₂⇒a/3=3/b⇒a=9/b⇒a=-b（系数比相反）。9.D解析：根据三视图可知该几何体为三棱柱。10.B解析：f(π/4)=sin(π/4+π/4)=sin(π/2)=1。二、填空题11.√5解析：|z|=√(2²+1²)=√5。12.(-4/3,2)解析：|3x-1|<5⇒-5<3x-1<5⇒-4/3<x<2。13.√3/2解析：tanα=√3⇒α=π/3，sin(α+π/6)=sin(π/2)=1。14.16解析：b₄=b₁q³=1×2³=8。15.x+y-3=0解析：垂直⇒斜率k₁k₂=-1⇒3×(-1)=-1，斜率为1，方程为y-2=1(x-1)⇒x+y-3=0。16.1解析：sinθ+cosθ=√2⇒√2sin(θ+π/4)=√2⇒sin(θ+π/4)=1⇒θ+π/4=π/2⇒θ=π/4⇒tanθ=1。17.2x-y-1=0解析：两圆方程作差：(x²+y²)-(x²+y²-6x+8y-3)=0⇒6x-8y+3=0⇒2x-y-1=0。18.单调递增解析：f'(x)=e^x-1>0（x>0）。19.√37解析：余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=3²+4²-2×3×4×(1/2)=16+9-12=13⇒c=√13。20.4解析：f'(x)=2x-a，f(2)取得最小值⇒f'(2)=0⇒4-a=0⇒a=4。三、判断题21.×解析：a²=b²⇒a=±b。22.√解析：sin(x+2π)=sinx，最小正周期为2π。23.√解析：大边对大角。24.√解析：b=3a⇒a与b共线。25.×解析：|z|=√2，辐角主值为π/4。26.×解析：x²-4x+4=(x-2)²≥0，解集为R。27.√解析：圆心(0,0)到直线y=x的距离d=|0-0|/√2=0<1。28.√解析：f'(x)=3x²>0（x∈R）。29.×解析：相交直线斜率之积不一定为-1（如垂直）。30.×解析：aₙ=aₘ⇒n=m或公差为0。四、简答题31.解：f(x)=|x-1|+|x+2|分段：x≤-2⇒f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；-2<x<1⇒f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；x≥1⇒f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。最小值为3，取最小值时x∈(-2,1)。32.解：f'(x)=2x-2，f'(x)=0⇒x=1，f(-1)=6，f(1)=2，f(3)=6，最大值为6，最小值为2。33.解：余弦定理c²=a²+b²-2abcosC⇒49=25+49-2×5×7×(1/2)⇒c²=37⇒c=√37，正弦定理a/sinA=c/sinC⇒sinA=a·sinC/c=5×√3/2/√37=√111/74⇒cosA=√(1-sin²A)=√(1-111/37²)=√(37²-111)/37²