工程随机数学基础：第6章习题-答案

第6章样本及抽样分布

习题6

1.下面各量中哪些是随机变量？

（1）总体均值

（2）总体容量

（3）样本容量

（4）样木均值

（5）样本方差

（6）样本中的最大样本值

（7）总体方差

答：样本均值、样本方差和样本中的最大样本值是随机变量。

2.分别用契比雪夫不等式和中心极限定理计算需抛掷一枚均匀硬币多少次才能使样本均

值落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9?

解：设鳖呼?i=…"则XW，…,X”独立同分布，样本均

0,抛掷出反面。

值和样本方差分别为

_/1n1£」(X,)二1

E(X)=E=E(X,)=0.5,D(X)=D一力

日n4〃

由切比雪夫不等式知

P1|X-O.5|<O.1}>11

4«x0.12

依题意‘令、而GF=0.9,可解出至少需要抛掷n=250次。

nX一0.5〃

由独立同分布中心极限定理知近似服从标准正态分布，固有

Jo.5x(l-05)〃

P||X-0.5|<0.11=/二/卜2①(0.2向-1

,0.25〃

依题意，令2①（0.2〃）-1=0.9,解得0.26^1.645,/公67.6。取整，〃=68。

3.从正态总体N（12,4）中随机抽取一容量为5的样本，试求：

（1）样本均值与总体均值之差的绝对值小于1的概率，

（2）样本的极小值小于10的概率，

（3）样本的极大值大于15的概率，

（4）若要求样本均值与总体均值之差的绝对值小于1的概率提高至0.9,样本容量应为

多少？

解；设样本为（X1,X2，X3，X4，Xs）,则N（12,4）,i=l,2,…,5,反~"（12,0.8）。

X-12

(1)P{|X-12|<1|=P

^F<7(X8]

=20(1.118)-1«0.74.

(2)令7=皿11{%,乂2.…,Xs},则Ev(z)=l—[1—G(z)『，X〜N(12,4)。

-5

故P[N<10}=F(10)=1-[1-F(1())]5=1-[…(10^2

vY)=1-[^(D]S

LV4

=1-0.8413、b0.58。

<3)M=max{X，X2.…,X$},则>⑶=因⑵7,X〜N(12,4)。

故P{M>15}=1-%(15)=1-氏(15)]5=1-6("渣)=1-[①(L5)]S

=1一0.9332、0.29。

(4)样本容量n应满足2①-1=0.9,中=0.95

〃起10.8,取整数，n=llo

[io

4.设X1,X2,…，X1°为N(0,0.09)的一个样本，求概率P|ZX；>1.44｝的值。

I/=1

XX2

解.：依题意，」~N(0,l),一」~力2(1),X1,X2，,・・，X1°相互独立，由卡方分布的可

0.30.09

110

加性可知——yx,2-z2(io),因此

0.09T

1°f110

〃ZX；>L44=〃痂1>；>16=〃{/(1。)>16"1。

」=i[u.uy,=]

5.设总体X〜仅1,〃)，X'X2,…,X”是来自X的样本，求

(1)(X1,X2,…,X〃)的分布律，

(2)fXj的分布律，

/=|

(3)E(X)>。(9)和E(S?)之值。

解：XI,X2,…,X〃相互独立，P{X产匕}=〃“1一〃产，《=0,1,i=l,2,.

⑴P{XX〃=(}=P{X=4}P{X2=&}…P{X〃=Z〃}

=pX：/(i—p)"£*.

⑵尤Xj〜帅,p),即P{fXj=k}=C3(1一〃尸，攵二0,1,2,…，几

⑶£(%)=七(一ZX)=一工七(％)=一〃〃=P，

n।n।n

D(又”D(眩X)==之D(XJ=之"p)二四二2

nin।nn

n

2i〃2i22

£(S)=E{-^J(X/-X))=-^2；E(X/)--E(X)

二白七⑻)-小^(产户白/广白[七*〃2]

n-\〃一1n-\n-\n

=p(l-〃)。

6.设总体X~N(〃Q2),XjX2,…,X10是来自X的样本。

(1)写出样本的分布密度函数，

(2)写出样本均值的概率密度。

解：X-X2,…，XIo相互独立，且均服从N(〃,/),即

1r(七一〃)

fxi(%)=r—exp{----^―-00<Xi<+CO,i=l,2,…』0.

42no2。

(1)(X-X],…，X10)是1()维正态分布，其密度函数为

/(内，电，…,Z)=7%(%)6(%)…/x.(G

忌Fxp{式学

A。

(2)也即

f式x)=]-----exp{-5-----；—},-co<x<+coo

j0.2乃b(y~

7.试证明：

(1)若T~f⑺,则广~尸(1,〃)，

证明：

VV2

(1)令7=r=,x〜N(O,I),r~z2(/?),才与「相互独立。则〃=一，且

jY]nY/n

X2-Z2(l)o由F分布的定义，

(2)若F〜F(n,ni),则/〜F(m,n)<,

依据上分位点的定义有P{尸(枢〃)>心(〃?,〃)}=々，

即P{—!-<—!—}=a,P{b(〃,m)>—!—)=\-a,

F，m,n)行(团,〃)

故片_"(〃，〃2)=一一-o

Fuitn,n)

8.设(X-X?)是正态总体NO/。？)的一个样本，试证：*1+*2与K一乂2是相互独立

的。

证明：依题意K+x?与％—X2均服从正态分布，而

Cov(X1+X2,X,-X2)=Cov(X,,X,)-Cov(X},X2)+Cov(X2,X,)-Cov(X2,X2)

=<j2-O+O-o-2=0.

所以七+九与七-/相互独旌

9.设总体X~N(0,l),乂”乂2「・,乂6是它的样本。

(1)设y=(X1+X2+X3)2+(X4+Xs+X6)2,试确定常数。使6y服从％2分布。

(2)设丫=。&+乂2+乂3),试确定常数。使y服从，分布。

(X：+X；+X；)%

解：

(1)(X1+X2+X3)〜N(0,3),(X4+Xs+X6)~N(0,3),且两者相互独立，故

山里产y+(区手％〜/⑵,

也即当。=1/9时，d服从彳2分布。

(2)(X1+X2+XJ)~N(0,3),X：+X；+X；~/2(3),且(X1+Xz+XJ与

X：+X；+X；相互独立，故有

(x、+x/X3)e=X+X2+X3一⑶。