合肥第45中七年级下册数学期末试卷综合测试（含答案）

合肥第45中七年级下册数学期末试卷综合测试（含答案）

一、解答题

1.如图1,己4811CD,ZC=AA.

（1）求证：ADWBC；

（2）如图2,若点E是在平行线48,8内，4D右侧的任意一点，探究N8AE,ZCDE,

/E之间的数量关系，并证明.

（3）如图3,若NC=90。，且点E在线段8c上，DF^^Z.EDC,射线OF在/EOC的内

部，旦交8c于点交AE延长线于点F,N4ED+NA£C=180。，

①直接写出N4ED与NFDC的数量关系：

②点P在射线0A上，且满足N0£P=2NF,^DEA-APEA=-^^DEB,补全图形后，求

NEPD的度数

2.如图1,点A在直线MN上，点4在直线sr上，点C在MN,sr之间，且满足

/MAC+ZACB+NSBC=360°.

（1）证明：MNHST；

（2）如图2,若ZACB=60。，AD//C4,点E在线段8。上，连接AE,且

NDAE=2/CBT,试判断NC4E与/OW的数量关系，并说明理由；

1QA0

（3）如图3,若乙4。8=——（〃为大于等于2的整数），点石在线段8C上，连接4E,

n

若ZM4E=〃NCB7,则/C4E:NC47V=.

图1图2图3

3.如图，NEBF=50。，点C是NEBF的边8F上一点.幻点A从点8出发在NE8F的边8E

上，沿8E方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点4的射线AOIIBC.

（1）在动点A运动的过程中，（填"是"或"否〃）存在某一时刻，使得4。平分NEAC?

（2）假设存在4。平分NEAC,在此情形下，你能猜想N8和NACB之间有何数量关系？并

请说明理由；

（3）当人C_LBC时，直接写出N必。的度数和此时八。与人C之间的位置关系.

E

4.点A,C,E在直线/上，点B不在直线/上，把线段48沿直线/向右平移得到线段

备用图图2

(1)如图1,若点E在线段4c上，求证：ZB+ZD=ZflfD；

若点E不在线段AC上，试猜想并证明N8,ND,NBE。之间的等量关系；

在（1）的条件下，如图2所示，过点B作P8〃ED,在直线BP,ED之间有点M,使

得NA8£=NE8M,NCDE=/EDM,同时点F使得NA8E=〃NEBF,NCDE=n/EDF,其中

n>l,设利用（1）中的结论求/8FD的度数（用含m,〃的代数式表示）.

5.如图，已知直线45//射线CD,NCEB=110。.f是射线所上一动点，过点q作

PQ〃EC交射线CD于点、Q,连接CP.作NPCF=NPCQ,交直线4B于点尸，CG平分

NECF.

（1）若点P,F,G都在点E的右侧.

①求NPCG的度数；

②若ZEGC-ZECG=3（）°,求NCPQ的度数.（不能使用“三角形的内角和是180。”直接解

题）

（2）在点产的运动过程中，是否存在这样的偕形，使/EGC:NEFC=3:2?若存在，直

接写出NCPQ的度数；若不存在.请说明理由.

EB

D

备用图

二、解答题

6.已知：三角形48c和三角形OEF位于直线M/V的两侧中，直线MN经过点C,且

BCLWN,其中N48C=Z4C8,/DEF=/DFE,ZABC+/DFE=9QP,点£、F均落

在直线MN上.

利用这条辅助线解决了问题.请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程.

(2)将三角形DEF沿着A/M的方向平移，如图2,求证：DE//AC.

(3)将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点画出平移后的三角形

DEF,并回答问题，若NQPE=a，则NCAB=.(用含。的代数式表示)

7.如图1所示：点E为BC上一点，N4=ND,ABWCD

(1)直接写出N2C8与N8ED的数量关系；

(2)如图2,ABWCD,8G平分NA8£,BG的反向延长线与NEDF的平分线交于H点，若

ZDEB比/GHD大60°,求/DEB的度数：

(3)保持(2)中所求的NDEB的度数不变，如图3,8M平分/EBK,O/V平分/CDE,作

BPWDN,则NP8M的度数是否改变？若不发生变化，追求它的度数，若发生改变，请说明

理由.(本题中的角均为大于0°且小于180。的角).

(1)若。=30。时，且NBAE=NC4E,求NC4E的度数；

(2)若点E运动到人上方，且满足N8AE=100。，/BAE:NCAE=5:1,求。的值；

(3)若/BAE:NCAE=M〃>1),求NC4E的度数(用含〃和。的代数式表示).

9.已知：△A8C和同一平面内的点O.

(1)如图1,点。在8c边上，过。作OE//8A交AC于E,DFHCA交AB于F.根据题

意，在图1中补全图形，请写出NEOF与血C的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,点。在BC的延长线上，DF//CA,/EDF=/BAC.请判断与84的位

置关系，并说明理由.

(3)如图3,点D是外部的一个动点.过。作小〃区4交直线AC于E,DFHCA交

直线A8于尸，直接写出/互不与NWC的数量关系，并在图3中补全图形.

10.综合与探究

综合与实践课上，同学们以“一个含寿角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活

动，如图，已知两直线〃，b,AaUb,三角形A8C是直角三角形，NBC4=90。，

4AC=30°,Z/WC=6(?

操作发现：

(1)如图1.Zl=48°,求N2的度数；

(2)如图2.创新小组的同学把直线〃向上平移，并把N2的位置改变，发现

Z2-Zl=120°,请说明理由.

实践探究：

(3)填密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3,AC

平分的此时发现/I与N2又存在新的数量关系，请写出N1与N2的数量关系并说明

理由.

三、解答题

11.(1)如图1,NBA。的平分线AE与N8CD的平分线CE交于点E,A8IICD,

0

ZADC=5QtN48c=40。，求N4EC的度数；

图3

(2)如图2,N%。的平分线AE与N8C。的平分线CE交于点E,ZADC=a°,/A8C邛。，

求NAEC的度数：

(3)如图3,PQ_LMN于点。，点4是平面内一点，A8、AC交MN于8、C两点，6。平

ZADP

分N8AC交PQ于点D,请问国/三函的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改

变，请说明理由.

12.阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数

的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形〃例如：一个三角形三个内角的度数分别

是120。，40°,20°,这个三角形就是一个“梦想三角形反之，若一个三角形是“梦想三角

形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.

(1)如果一个“梦想三角形〃有一个角为108。，那么这个“梦想三角形"的最小内角的度数为

(2)如图1,已知NMO〃=60。，在射线OM上取一点八，过点4作八8_LOM交ON于点

8，以人为端点作射线AD,交线段OB于点C(点、C不与。、B重合)，若NACB~30°.判

定△408、AAOC是否是“梦想三角形"，为什么？

(3)如图2,点。在△ABC的边上，连接。C,作/ADC的平分线交4c于点E,在0C上

取一点F,使得NEFC+NBDC=180。，ND£F=NB.若△8C0是“梦想三角形”，求N8的度

图1图2

13.如图①，4。平分N8AC,AEJ-BC,ZB=45°,ZC=73°.

(1)求ND4E的度数；

(2)如图②，若把“AE_L8C〃变成“点尸在以的延长线上，FE±BC\其它条件不

变，求庄的度数；

(3)如图③，若把“A£_LBC”变成"AE平分N8EC”,其它条件不变，/八4£的大小是

否变化，并请说明理由.

14.模型与应用.

(模型)

(1)如图①，已知4811c。，求证N1+NMEN+N2=360°.

①

(应用)

(2)如图②，已知A8IICD,则N1+N2+N3+N4+N5+N6的度数为_.

②

如图③，已知A8IICD,则N1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+...+Zn的度数为_.

D

③

（3）如图④，已知A8IIC0,N4VM42的角平分线Mi。与N的角平分线MQ交

于点O,若NMiOMn=m°.

在（2）的基础上，求N2+N3+/4+N5+N6+......+/的度数.（用含m、〃的代数式

表示）

15.如图1,CE平分乙48,4三平分N8AC,ZE4C+ZACE=90

（1）请判断AB与CO的位置关系并说明理由；

（2）如图2,当NE=90且AA与C。的位置关系保持不变，移动直角顶点E,使

/MCE=NECD,当直角顶点E点移动时•，问N8AE与乙WC7）否存在确定的数量关系？并

说明理由.

（3）如图3,P为线段AC上一定点，点。为直线CO上一动点且A3与CO的位置关系保持

不变，①当点。在射线CO上运动时（点。除外），NCPQ+NCQP与N84C有何数量关

系?猜想结论并说明理由.②当点。在射线。。的反向延长线上运动时（点。除外），

NC、PQ+NCQP与284C有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）见解析；（2）ZBAE+ZCDE=ZAED,证明见解析；（3）①NAED-NFDC=45°,

理由见解析：②SO。

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论：

（2）过点E作EFIIAB,根

解析：（1）见解析；（2）NBAE+NCDE=NAED,证明见解析：（3）®ZAED-

ZFDC=45°,理由见解析；②50°

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论；

（2）过点£作"IIA8,根据平行线的性质得A8II811£户，然后由两直线平行内错角相等

可得结论；

(3)①根据NAED+AAEC=180°,Z4ED+NDEC+Z.AEB=130°,OF平分NEDC,可得出

2ZAED+(90°-2ZFDC)=180%即可导出角的关系；

②先根据NAED=NF+NFDE,NAED-NFDC=45°得出NDEP=2NF=90°,再根据/。£4-

NPEA=3RDEB,求出NAED=50。，即可得出NEP。的度数.

14

【详解】

解：(1)证明：48118,

ZA+Z0=180°,

1/ZC=ZA,

ZC+ZD=180°,

/.ADWBC：

(2)Z8AE+NCD£=ZAED,理由如下：

如图2,过点E作£FIIAB,

图2

,「4811CD

ABWCDIIEF

：.ZBAE=Z.AEF,ZCDE=ZDEF

UPZFEA+Z.FED=4CDE+NBAE

ZBAE+Z.CDE=Z.AED；

(3)@ZAED-AFDC=45C；

ZAED+AAEC=180°,ZAED+NDEC+N4E8=180°,

/.ZAEC"DEC"AEB,

/.ZAED=Z.AEB,

「DF平分NEDC

NDEC=2ZFDC

/.ZDEC=90°-2ZFDC,

2ZAED+(90°-2ZFDC)=180%

/.ZAED-Z.FDC=45°,

故答案为：ZAEDYFDC=45°；

②如图3,

图3

•「ZAEDMF+NFDE,ZAED-Z.FDC=45°,

ZF=45°,

ZDEP=2ZF=90°,

55

,/ZDEA-Z.PEA=——4DEB=-NDEA,

147

/.ZPEA=/AED,

9

ZD£P=ZPEA+NAED=-ZAED=90°,

ZAED=70°,

,/ZAED+ZAEC=180°,

：.ZDEC+2NAED=180°,

/.ZDEC=40°t

1/ADWBC,

：.ZADE=Z.DEC=40°,

在^PDE中，Z£PD=180°-ZDEP-Z.AED=50°,

BPzEPD=50°.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知

识点是解题的关键.

2.(1)见解析；(2)见解析；(3)n-1

【分析】

(1)连接AB,根据已知证明NMAB+NSBA=180。，即可得证；

(2)作CFIIST,设NCBT=a,表示出NCAN,ZACF,ZBCF,根据

解析：(1)见解析；(2)见解析；(3)n-1

【分析】

(1)连接A8,根据已知证明NMA8+/5BA=180°,即可得证；

(2)作CFIIS7,设NCBT=a,表示出NCAN,NACF,ZBCF,根据ADIIBC,得到

NDAC=120°,求出NCAE即可得到结论：

(3)作CFIIST,设NCBT=6,得到NC8T=N8CF=6,分别表示出NC4V和/CAE,即可得到

比值.

【详解】

解：(1)如图，连接A3,

^MAC+ZACB4-ZSBC=360°,

ZACB+ZABC+ZBAC=180°,

.•.ZJW4B+ZSZM=180°,

:.MN!/ST

(2)NC4£=2NGW,

理由：作b〃▽，则A/N〃CE〃ST,如图,

设NCOT=a,则NZM£=2a.

ZBCF=ZCar=a,ZG4^=ZACF=60°-a,

AD//BC,ZmC=1800-ZACB=l20°,

/.ZC4E=1200-ZDAE=120>—2a=2(60°-a)=2ZCW.

BPZCAE=2ZCAN.

(3)作b〃5T,则MV〃C/〃ST,如图，设/。7=/，则NM4E=〃4.

■.CF//ST,

NCBT=NRCF=0,

八5a180。A180。-〃？

ZACF=/CA1N=-----fi=------—,

nn

IX0C

ZG4E=1800-ZMAE-4CAN=180°-+/?--=-—--(i8(r-/?/7),

ZC4E:ZC4N=—:-=zz-l,

nn

故答案为〃-1.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式.

3.（1）是；（2）ZB=ZACB,证明见解析；（3）ZBAC=40°,AC±AD.

【分析】

（1）要使AD平分NEAC,则要求NEAD=NCAD,由平行线的性质可得NB=

ZEAD,ZACB=ZCAD

解析：（1）是；（2）Z3=^ACB,证明见解析；（3）NB4C=40°,AC±AD.

【分析】

（1）要使4。平分NE4C,则要求NE4?=NC4D,由平行线的性质可得/8=NE4。，

Z4CB=ZCAD,则当NACB=N8时，有4?平分/EAC；

（2）根据角平分线可得NEAO=NCAD,由平行线的性质可得N8=NE4D,AACB=

ZCAD,则有/ACB=Z.8；

（3）由AC_L8C,有NACB=9U°,则可求N8AC=40。，由平行线的性质可得AC_LA。.

【详解】

解：（1）是，理由如下：

要使AD平分NEAC,

则要求NEAD=ACAD,

由平行线的性质可得NB=ZEAD,ZACB=Z.CAD,

则当/ACB=N8时，有/。平分/EAC：

故答案为：是：

（2）ZB=ZACB,理由如下:

AD平分NEAC,

ZEAD=NCAD,

■：ADWBC,

：.Z8=NEAD,ZACB=Z.CAD,

/.Z8=NACB.

（3）,/AC±BC,

ZACB=90°,

ZEBF=5Q°,

/.ZBAC=40°,

•：ADWBC,

AD1.AC.

【点睛】

此题考查了角平分线和平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行线的有关性质是解题的关

键.

4.（1）见解析：（2）当点E在CA的延长线上时，ZBED=ZD-ZB；当点E

在AC的延长线上时，ZBED=ZBET-ZDET=ZB-ZD；(3)

【分析】

（1）如图1中，过点E作ETIIAB.利用平行

解析：（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，NBED=ND-NB；当点E在4C的

延长线上时，ZBED=ZBET-ZDET=ZB-ZD；（3）

2n

【分析】

（1）如图1中，过点£作ETIIAB.利用平行线的性质解决问题.

（2）分两种情形：如图2-1中，当点£在CA的延长线上时，如图2-2中，当点£在AC的

延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可.

（3）利用（1）中结论，可得NBMD=/A8M+/CDM,Z8FD=ZABF+Z.CDF,由此解决问

题即可.

【详解】

解：（1）证明：如图1中，过点E作E7IIAB.由平移可得ABIICD,

图1

AB\lET,ABWCD,

ETWCDIIAB,

Z8=ZBET,ZTED=Z.D,

/.N8E0=NBET+ZDET=ZB+ND.

(2)如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ETIIAB.

,/4811ET,ABWCD,

ETWCDIIAB.

ZB-Z.BET,ZTED=Z.D,

ZBED=NDET-4BET=ND-ZB.

如图2-2中，当点E在4c的延长线上时，过点E作ETIMB.

A

图2-2

•「A8IIET,ABWCD,

/.ETWCDIIAB,

ZB=ZBET,ZTED=Z.D,

/.ZBED=/BET-Z.DET必B-ZD.

(3)如图，设2ABE=NEBM=x,/CDE=NEDM=y,

图2

,/4811CD,

：.ZBMD=AABM+Z.CDM.

m=2x+2y,

i

••x+y=—m,

,/Z8F0=NABF+ACDF,ZABE=n4EBF,ZCDE=nNEDF.

er〃_]n-\n-\,vn-\1

/.ZBFD=------x+------y=-------(x+y)=------x-//：=—i------L.

nnnn22n

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是

学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型.

5.(1)①35°；(2)55°；(2)存在，或

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及如平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=ZGCF=2O°

解析：(1)①35。；(2)55°；(2)存在，52.5。或7.5。

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=NGCF=20。，再根据PQIICE,

即可得出NCPQ=N£CP=6T;

(2)设NEGC=3x,ZEFC=2x,则NGCF=3x-2x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E

的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可.

【详解】

解：(1)©,//ABHCD,

•••ZCE8+NECQ=180°,

ZCEB=110°f

ZECQ=70°,

•/ZPCF=NPCQ,CG平分/ECF,

：.ZPCG=ZPCF+ZFCG=3NQCF+"FCE=jZECQ=35°；

②,.,48IICD,

ZQCG=NEGC,

ZQCG+ZECG=ZECQ=7。。,

ZEGC+ZECG=70°,

又•「ZFGC-ZECG=30°,

ZEGC=5OV,ZECG=2OW.

ZECG=ZGCF=20°,ZPCF=ZPCQ=1(70°-40°)=15°,

,/PQIICE,

ZCPQ=ZECP=NECQ-NPCQ=700-15o=55°.

(2)52.5。或7.5。,

设NEGC=3x0,ZEFC=2x\

•「4811CD,

/.ZQCG=NEGC=3x°,ZQCF=NEFC=2x°,

则NGCF=NQCG-ZQCF=3XQ-2X0=X°,

ZPCF=ZPCQ=^-ZFCQ=gNEFC=x°,

则NECG=NGCF=NPCF=NPCD=X。,

,/ZECD=70°f

/.4x=70°,解得x=17.5。,

ZCPQ=3x=52.5°；

②当点G、F在点E的左侧时，反向延长C。到H,

ZEGC=3x0,ZEFC=2x°f

：.ZGCH=ZEGC=3x°,ZFCH=NEFC=2x°,

/.ZECG=ZGCF=ZGCH-ZFCH=x°,

/CGF=180°-3x°,ZGCQ=70°+x°,

180-3x=70+x,

解得x=27.5,

ZFCQ=ZECF+ZECQ=27.5°x2+70o=125o,

ZPCQ=g/FCQ=62.5°,

ZCPQ=ZECP=62.5°-55°=7.5°,

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错•角相

等是解题的关键.

二、解答题

6.（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；.

【分析】

（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；

（2）先证明，再证明，得到，问题得证；

（3）根据题意得到，根据（2）结论得到ND

解析：（1）见解析：（2）见解析；（3）见解析；2a.

【分析】

（1）过点C作CG//DF,得到ZDFE=/FCG,再根据=90°,

ZABC+/DFE=900,得到NABC=NACG,进而得到CG〃A8,最后证明OF//48；

（2）先证明NAC4+NO£产=90。，再证明NAC4+N4C£：=90。，得到NOM=ZACK,问

题得证：

（3）根据题意得到在=ND所=a,根据（2）结没得到ND£F=N，进而得到

ZABC=ZACB=9（r-a,根据三角形内角和即可求解.

【详解】

解：（1）过点C作CG//Z）/"

:"DFE=/FCG,

BC1MN,

NBCF=90。,

乙BCG+乙FCG=,

:"BCG+/DFE=W,

Z4BC+ZDFE=90°,

/.ZABC=/BCG,

:.CG//AB,

DF//AB；

（2）解：•.ZA3C=ZACB,NDEF=NDFE,

又・.・ZABC+NDFE=90。,

ZACB+ZDEF=90°t

BC工MN,

:.ZBCM=90°,

:.ZACR+ZACE=90°,

ZDEF=ZACE,

：.DE//AC；

（3）如图三角形。EF即为所求作三角形.

N

D

产ZA

AS3B

NDFE=a,

/.ZDFE=ZDEF=a,

由(2)得，DEWAC,

ZDFF=ZECA=a,

,/NACA+NACE=90。，

zACB=90°-a,

ZABC=ZACB=9(f-a,

ZA=13Q°-ZABC-ZACB=2a.

故答案为为：2a.

【点睛】

本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根

据题意画出图形是解题关犍.

7.⑴；⑵；⑶不发生变化,理由见解析

【分析】

⑴如图1,延长DE交AB于点F,根据平行线的性质推出；

(2)如图2,过点E作ESIIAB,过点H作HTIIAB,根据ABIICD,ABIIE

解析：⑴ZAa+N跳：。=180。；(2)l(X)。；⑶不发生变化，理由见解析

【分析】

⑴如图1，延长DE交48于点F,根据平行线的性质推出NAC3+N3E£)=18()。；

(2)如图2,过点E作E5IIA8,过点H作片加48,根据八811c。，A8IIES推出

ABED=ZABE+ZCDE,再根据48117H,八BIICD推出NG〃£>=N77/D-N478,最后根

据NBED比ZBHD大60得出NBED的度数；

⑶如图3,过点E作EQIION,根据N£>E8=NCD石+4BE得出/一。的度数，根据条件

再逐步求出NPBM的度数.

【详解】

⑴如答图1所示，延长DE交48于点F.

ABWCD,所以ND=NEFB,

又因为NA=",所以NA=NO8,所以ACIIDF,所以NAC3=NCEO.

因为NCEZHN8ED=180。，所以NAC8+N8E。=18()。.

⑵如答图2所示，过点£作ESIIAB,过点”作HTII48.

设NABG=/EBG=a,/FDH=4EDH=。，

因为4811CD,A8IIE5,所以=4SED=NCED,

所以/BED=NBES+ZSED=ZABE+NCDE=2a+18O0-2/7,

因为A8IITH,ABWCD,F斤以乙包G=N7HB,4FDH=/DHT,所以

4GHD=ZTHD-4THB=p-a,

因为N8EO比大60。，所以2a+18O。—2尸—(£—a)=60。，所以/—a=40。，所以

NBHD=4O0,所以N8ED=100。

⑶不发生变化

如答图3所示.过点E作EQIIDN.

设4CDN=/EDN=a,々EBM=/KBM=0,

由⑵易知NDE8=NCDE+ZABE,所以2a+180。—2夕=100。，所以4一a二40。，

所以NDEB=ZCDE+NEDN+180°T/EBM+NPBM)=a+180。一〃一NPBM,

所以/PBM=80°-(/?-a)=40°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度

的度数是解题的关键.

8.(1)60°；(2)50°；(3)或

【分析】

(1)根据平行线的性质可得的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，应用

三角形内角和计算的度数，由已知条件，可计算出的度数；

(2)根据题意画出图形，先

解析：(1)60。；(2)50°；(3)18。。-2a或18()。-2a

〃一I〃+1

【分析】

(1)根据平行线的性质可得NC8。的度数，再根据角平分线的性质可得住的度数，应

用三角形内角和计算㈤。的度数，由已知条件N8A£=NC4E,可计算出NCAE的度数；

(2)根据题意画出图形，先根据NB4£NC4E=5:1可计算出NC4E的度数，由

NBAS=100。可计算出N欣C的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质，计算出

NC8O的度数，即可得出结论；

(3)根据题意可分两种情况，①若点E运动到4上方，根据平行线的性质由。可计算出

NC8O的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出/BAC的度数，再

ZBAE：ZCAE=ntZBAE=ZBAC+ZCAE,列出等量关系求解即可等处结论；②若点E运

动到4下方，根据平行级的性质由。可计算出NC5D的度数，再根据角平分线的性质和平

行线的性质，计算出“4。的度数，再NBA£NC4£=〃，=NR4C-NC4E列出等量

关系求解即可等处结论.

【详解】

解：（1）v«=30°,AC//BD,

ZCBD=30°,

8C平分NA8O,

:.ZABE=ZCBD=3iT,

.•.Z«4C=I8(F-z64BF-a=180o-30o-30o=120o,

乂Y/BAEUNCAE,

ZC4E=-Z«4C=-xl20o=60o；

22

(2)根据题意画图，如图1所示，

vZfiA£=I00°,ZR4E:ZC4E=5:1,

.­.ZC4E=20°,

二N的C=N/MK-NOV?=100°-20°=80°,

AC//BD,

.­.ZABD=1800-Zfi4C=1005,

又8C平分以BD，

；.NCBD=1"BD=lxI00°=50°,

22

a=ZC/?D=50°；

(3)①如图2所示，

AC//BD,

..ZCBD=ZACB=a,

BC平分乙\BD,

:.ZABD=2ZCBD=2af

/.Z^AC=180°-ZA«D=ISO5-2a,

又NBAE:NCAE=n,

:.(ZBAC+ZCAE):/CAE=n,

(l80o-2a+ZC4£T):ZCAE=rt,

解得/C4E」80°—2a；

n-

②如图3所示，

AC//I3D,

:.NCBD=ZACB=a,

8C平分NA8Q，

:.ZABD=2ZCBD=2a,

.•.NA4C=1800-NABQ=180>-2a,

又•/Z.BAE:Z.CAE-n,

/.(ABAC-ZCAE):ZCAE=n,

(180°-2a-ZC4£：):ZC4E=7?,

综上NCA石的度数为半兹或网一.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等.两直线平行,

同旁内角互补.两直线平行，内错角相等.合理应用平行线的性质是解决本题的关键.

9.（1）图见解析，，理由见解析；（2）,理由见解析；（3）图见解析，

或.

【分析】

（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得，由此即可

得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可

解析：（1）图见解析，NEDF=/BAC,理由见解析；（2）DE//BA,理由见解析；

（3）图见解析，/石。尸=/胡。或/瓦＞尸+/班。=180。.

【分析】

（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得

NEDF=/BFD"BFD=NBAC,由此即可得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得/助C=NAOD,再根据等量代换可得

/EDF=/BOD,然后根据平行线的判定即可得；

（3）先根据点D的位置画出如图（见解析）的两种情况，再分别利用平行线的性质、对

顶角相等即可得.

【详解】

（1）由题意，补全图形如下：

/EDF=/BAC,理由如下：

DEUBA,

:"EDF=/BFD,

-DF//CA,

/BFD=/BAC,

NEDF=NBAC；

(2)DEUBA,理由如下：

如图，延长BA交DF于点0,

•:DFHCA,

;./BAC=/BOD,

/EDF=/BAC,

/EDF=/BOD,

DEUBA；

(3)由题意，有以下两种情况：

①如图3-1,NEDF=NBAC,理由如下:

DE//BA,

ZE+ZE4F=180°,

•.­DF//C4,

/.ZE+ZEDF=180°,

；"EAF=/EDF,

由对顶角相等得：ZBAC=ZEAF,

/EDF=NBAC；

D

②如图32ZEDF+ZE4C=180°,理由如下:

DEUBA,

ZEDF+ZF=180°,

♦;DFHCA,

NB4C=",

:"EDF+NBAC=180°.

3-2

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质等知识点，较难的是题（3）,正确分两种情况讨论是解题

关键.

10.（1）；（2）理由见解析；（3）,理由见解析.

【分析】

（1）由平角定义求出N3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点B作BDIIa.由平行线的性质得N2+NABD=180。，N1=N

解析：（1）N2=42。；12）理由见解析；（3）Z1=Z2,理由见解析.

【分析】

（1）由平角定义求出/3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点B作BDIIa.由平行线的性质得N2+/ABD=180。，Z1=ZDBC,则/ABD=

ZABC-ZDBC=60°-Z1,进而得出结论；

（3）过点C作CPUa,由角平分线定义得NCAM=ZBAC=30°,ZBAM=2ZBAC=60°,

由平行线的性质得N1=NBAM=60。，ZPCA=ZCAM=30°,Z2=ZBCP=60°,即可得出

结论.

【详解】

解：（1）如图1vZl=48°,N8G4=90。，

/.N3=180°-/BCA-Zl=42°,

a//b,

Z2=Z3=42°；

A

图1

(2)理由如下：如图2.过点B作BD//a,

.-.^2+ZABD=180°,

•:aUb,

：.b//BD,

Z1=Z£)BC,

/.ZABD=ZABC-ZDBC=60°-Z1,

/.Z2+600-ZI=180°,

/.Z2-Zl=120°；

(3)Z1=Z2,

理由如下：如图3,过点C作“//a,

AC平分ZBAM,

/.NC4M=N8AC=30。，

N8AM=2N8AC=60。，

又，：al/b,

:.CP//b,

Zl=ZfiAM=60°,

NPCA-ZCAM-30°，

/./BCP=NBCA-NPCA=90°-30°=60。，

又♦:CP〃a,

N2=NBCP=60。,

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、

角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质

是解题的关键.

三、解答题

11.(1)ZE=45°；(2)ZE=；(3)不变化，

【分析】

(1)由三角形内角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,

ZB+ZEAB=ZE+ZECB,由角平分线的性质，可得NECD=NECB=N

解析：(1)NE=45。；(2)NE=2干；(3)不变化，;

【分析】

(1)由三角形内角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,ZB+ZEAB=ZE+ZECB,由角平

分线的性质，可得NECD=NECB=?NBCD,NEAD=NEAB=1/BAD,则可得NE=g

222

(zD+NB),继而求得答案；

(2)首先延长BC交AD于点F,由三角形外角的性质，可得NBCD=NB+NBAD+ND,乂

由角平分线的性质，即可求得答案.

(3)由三角形内角和定理，可得

ZADP+900=ZACB+ZDACZADP+ZDFO=ZABC+AOEB,利用角平分线的性质与三

角形的外角的性质可得答案.

【详解】

解：(1),/CE平分/BCD,AE平分/BAD

1I

ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

,/ZD+ZECD=ZE+ZEAD,ZB+ZEAB=ZE+ZECB,

/.ZD+ZECD+ZB+ZEAB=ZE+ZEAD+ZE+ZECB

/.ZD+ZB=2ZE,

1、

ZE=-(zZD+ZB),

2

ZADC=50°,ZABC=40°,

ZAEC=-x(500+40°)=45°；

2

E

图1

(2)延长BC交AD于点F,

,/ZBFD=ZB+ZBAD,

ZBCD=ZBFD+ZD=ZB+ZBAD+ZD,

,/CE平分NBCD,AE平分/BAD

/.ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

,/ZE+NECB=ZB+ZEAB,

/.ZE=ZB+ZEAB-ZECB=ZB+ZBAE--ZBCD

2

=ZB+ZBAE--(ZB+ZBAD+ZD)

2

二!(NB-ZD),

2

ZADC=a°,ZA8c=0°,

即NAEC="^.

2

图2

ZADPZADPI

(3)|/AC8—NA8C|的值不发生变化‘''\ZACB-ZABC\~2'

理由如下：

如图，记与PQ交于E,A。与C8交于“，

PQA.MN,

NDOC=NBOE=900,

ZADP+90°=ZACB+ZDAC①，

ZADP+ZDFO=ZABC+NOEB（2）,

①一②得：90°-ZDFO=^ACB-^ABC+ADAC-AOEB,

90。-/DFO+4OEB-ZDAC=ZACB-ZA3C,

ZADP=90°-乙DFO,NOEB-NEAD=ZADP,

...AD平分/BACt

/BAD=/CAD,

々OEB-£CAD=^ADI\

2ZADP=ZACB-ZABC,

.ZADP1

"\ZACB-ZABC\~2'

Q

图3

【点睛】

此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及常平分线的定义.此题难度较大，

注意掌握整体思想与数形结合思想的应用.

12.(1)36。或18。；(2)△AOB.△AOC都是“梦想三角形〃,证明详见解析；

(3)ZB=36。或NB=.

【分析】

(1)根据二角形内角和等于180。，如果一个“梦想三角形〃有一个角为108。，

解析：(1)36。或18。；(2)AAOB、AAOC都是“梦想三角形"，证明详见解析；(3；

Z8=36°或/

7

【分析】

(1)根据三角形内角和等于180。，如果一个“梦想三角形"有一个角为108。，可得另两个

角的和为72。，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180。

-108。-108+3。=36。，72=(1+3)=18°,由此比较得出答案即可;

(2)根据垂直的定义、三角形内角和定理求出NA8O、NOAC的度数，根据“梦想三角形”

的定义判断即可；

(3)根据同角的补角相等得到N£FC=//WC,根据平行线的性质得到NO£F=NAO£,推

出。口1BC,得至ijNCDE=/BC。，根据角平分线的定义得到N4)£=NCDE,求得N8=

Z8CD,根据“梦想三角形”的定义求解即可.

【详解】

解：当108。的角是另一个内角的3倍时，

最小角为180°-108°-108+3°=36°,

当180°-108°=72。的角是另一个内角的3倍时，

最小角为72。+(1+3)=18。，

因此，这个“梦想三角形〃的最小内角的度数为36。或18。.

故答案为:18。或36。.

(2)△AO8、△40C都是“梦想三角形〃

证明：VABA.OM,

Z048=90°,

ZABO=900-ZMON=30°,

N048=3/ABO,

△AOB为"梦想三角形〃,

,.1ZMO/V=60°,ZACB=80°,ZACB=ZOAC+zMON,

：.ZOWC=80°-60°=20°,

/.Z4。8=3/OAC,

△40C是“梦想三角形

(3)解：,/ZEFC+NBDC=180°,ZAOC+/8OC=180°,

ZEFC=NADC,

/.ADWEF,

/.ZDEF=AADE,

■：Z0EF=/8,

/.Z8=NADE,

DEIIBC,

：.ZCOE=NBCD,

,/AE平分NADC,

：.ZA0E=NCDE,

ZB=NBCD,

■「△8CD是“梦想三角形”,

/.Z8DC=3/8,或/8=3/BDC,

,/Z8DC+N8CD+Z8=180°,

/.Z8=36°或N8=(半厂.

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理、“梦想三角形〃的概念，用分类讨论的思想解决问题是解

本题的关键.

13.(1)ZDAE=14°；(2)ZDFE=14°；(3)NDAE的大小不变，NDAE

二14。，证明详见解析.

【分析】

(1)求出/ADE的度数,利用NDAE=90°-ZADE即可求出/DAE

解析：(1)NDAE=14。；(2)ZDFE=14°；(3)NDAE的大小不变，ZDAE=14°,证明详

见解析.

【分析】

(1)求出/ADE的度数，利用/DAE=90°-ZADE即可求出/DAE的度数.

(2)求出/ADE的度数,利用NDFE=90°-ZADE即可求出NDAE的度数.

(3)利用AE平分/BEC,AD平分/BAC,求出NDFE=15。即是最好的证明.

【详解】

(