2025年北京高考数学真题完全解读

适用省份本套试卷依据最新修订的《普通高中数学课程标准》和北京市对于高考命题的整体要求，在考查内容，能力层次，题型分布和难易梯度等方面都进行了较为系统，科学的设计，体现了对学生数学素养与思维能力的综合考查。全卷共包含两大部分：第一部分为选择题，共计10题，合计40分，第二部分为非选择题(填空题与解答题),合计110分，试卷总分150分，考试时长120分钟。与往年北京高考数学试卷相比，本卷在结构上延续了“一卷多题，能力立意”的方向，保持了相对稳定的题型设置，如函数与方程，数列与不等本次考试与过往试卷的主要变化与差异有以下四点：解答题的设置更融合，且对知识的交叉考查有了一定程度的加深，提升了问题情境的综合性。好地衔接了高中数学学习的主干知识，也针对北京市学生的学情特点，将选考内容与必修内容做了适度整合，着力考查学生综合运用多种思维模型解决问题的能力。从整体难度来看，试卷难度层次分明。选择题部分的前4～5题相对基础，便于考生建立信心。而后续部分如几何的分度仍相对明显，中等难度题的比例略有提高，能够更好地检测学生对基础内容的掌握深度与熟练度。4,新情境与素养考查试卷中多次出现蕴含现实背景或科技前沿情境的题目，例如关于“大语言模型训练数据量与时间的对数关系”考查了函数与对数运算结合的综合运用，在立体几过这些题目的设置，检验了学生将数学知识运用于实际场景的能力，回应了“学科素养”与“跨学科思维”的培养要求。与《高考评价体系》《课程标准》的契合度：1,课程标准要求的落实2,强调应用意识和创新精神北京地区在近年来的高考命题中一直注重联系社会热点，产业创新，科技前沿等元素，并将本套试卷对学生“运用数学知识解决实际问题”提出了更高的期望：如考查极坐标与向量分析，立体几何与平面几何的综合，随机抽样及概率估计等内容，均体现了学生对数学模型的理解与迁移能力，同时也引导学校教学在知识讲授过程中3,对教学与评价的启示渗透到课堂教学与日常练习之中，为学生未来的学科发展打下坚实的素养基础。评价：既检验了学生对课标主体内容的掌握情况，也引导学生将所学知识与生活实践相融合，体现了选拔与育人的双重功能。题目的新颖度和开放度有利于激发学生的思考深度和创新意识。对于后续教学，应继续夯实常规知识体系，并在此基础上加强学生对新情境，新题型的分析与应对能力，为未来的数理综合素养培养奠定更为坚实的基础。 1,整体题型结构保持稳定仍分为选择题，填空题，解答题三大部分，题量与分值配置(10道选择题，5道填空题，6道解答题，共21题，总分150分)与上一年基本一致。贴近实际应用。2,情境融合与考查深度有所增强如第9题引入“大语言模型训练数据量”的背景，第14题运用“3D打印机零件”的空间几何场景，第18题涉及“统计推断与概率估计”,明显增强了与现实科技热点的结合。试卷在计算与推理的基础上，进一步强调多知识点交叉，如数列与不等式，几何与向量，正弦定理3,对思维与能力要求进一步提升多题通过建模，数据分析或函数性质研究，考查学生灵活转化和多角度分析问题的能力。试卷的设问更注重过程与细节，往往需要运用严谨的数学语言，逻辑推理与图形转换等手段，鼓励学生在解决问题中体现思维的条理性与创新性。考情分析本试卷分为三大题型：选择题：共10小题，第1～10题，每小题4分，共40分.填空题：共5小题，第11～15题，每小题5分，共25分.解答题：共6小题，第16～21题，共85分。全卷总分为150分，考试时长为120分钟。整体来看，选择题与填空题注重知识点的直接测查与运用，解答题考查理解，综合与推理能力。2,试卷分值与考查内容表题号题型析14容易24复数的模与代数运算容易34容易44函数图象的伸缩变换容易54中等64中等74函数值域，充分条件与必要条件中等84中等94中等4向量几何与坐标运算，点的范围确定略难5容易5复合函数求值与换元技巧中等5中等55函数单调性与不等式恒成立的综合探讨三角形边角关系，正弦定理，余弦定理及其应用中等四棱锥的空间几何性质，平面与线段中点连接，向量平行四边形判断中等概率与统计(独立事件，期望，频率估计概率),对比中等中等函数极值与导数，切线几何，函数图象上下方位置关系，综合求范围数列与坐标网格中“相邻”定义的新型问题困难整体来看，本套试卷对高中数学的各知识块均有覆盖，难度分配合理，能区分不同层次考生的能力水平。通过选择，填空，解答题的形式层层深入，较好地考查了考生在概念掌握，技能运用以及综合思维方面的整体水平。及统计与概率均有分布。其中，以下几点值得特别关注和总结：在遇到集合与复数问题时，一定要明确每个集合或复数所对应的取值范围或模的计算方式。对于集合运算，务必先找数列(包括等差数列和等比数列)常与方程或不等式结合出现，解题时可利用数列的通项和基本性质快速锁定公差，的灵活考查。在立体几何与空间向量部分，平行，垂直及距离计算是高频考点，要着重把握“线面平行”“面面平行”的判定与体积运算等知识点。三角函数部分要格外留意辅助角，正弦定理及余弦定理的运用，以常用技巧在求解三角方程和三角不等式中的灵活应用。概率与统计题型通常结合对数，对偶事件及分布列等基础概念来考查建模能力。对“抽样统计”类题目做好分类讨论与列出事件概率的过程分析，是提高正确率的关键。2,常见易错与易混点容易忽视定义域限制。从而使最终答案超出题意。解函数方程或不等式，要先确保自变量满足D。三角变形时，常出现符号失误或对函数周期性的忽略，务必在每次解完后做一次简要检验，或先判断函数对应的周期立体几何中，平面与平面，平面与线的平行或垂直判定常有疏漏，需反复使用向量方法或几何关系进行印证。统计与概率部分，将“互斥”与“独立”两种情形混为一谈，是常见错误。要注意1-P(A)=P(A)和P(A∩B)=P(A)×P(B)的使用条件是否满足。3,不同题型的复习重点与答题策略选择题：先划定可行范围，再用排除法或简易验证。紧扣题干信息，利用最值，特殊值或代入简化是快速定位正确选项的关键。填空题：注意格式简洁与准确。遇到需要写出所有解的题目，先确立主干思路(如先求出通解或通项),再精细化讨论是否需要剔除不合法解。解答题：过程规范，逻辑清晰很重要。①作辅助线或加辅助变量时，要明确标注或说明。②应用向量或几何方式解决立体问题，建议先画示意图。③在函数问题及不等式的求解中，强调每一步的理由，用恰当的记号(如令t替代sinx,cosx等)简化表达。④始终关注解的有效性与最终域的匹配。4,心理调适与考试心态保持自信与平稳心态：切忌考试前猛攻太难题而丧失信心，也不要一直纠结细微漏洞导致精神紧张。规律作息，劳逸结合：适当进行体育锻炼，保证睡眠。紧张复习之余可做简单放松训练，例如深呼吸，冥想等。考试作答时，若遇到一时难以突破的题型，可先做标记，迅速转换到自己更有把握的题目，力争将整体得分最大化。5,后续命题趋势与复习侧重从近年来趋势看，考题会持续关注函数模型与实际应用，复合函数不等式，立体几何中线面关系的综合，以及概率统计应用背景题。建议深挖对数与指数类考题中常见的函数变形，多项式与对数方程混合求解的技巧，结合三角与数列交叉的综合题2025年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)一，选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.集合M={x|2x-1>5},N={1,2,3},则M∩N=()A.{1,2,3}B.{2,3}C.{3}B4.为得到函数y=9的图象，只需把函数y=3的图象上的所有点()所以a²=a₃a₆,即(-2+3d)²=(-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去).A.a²+b²>2abB.【详解】若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存在x₁∈D,使得f(x₁)=|M|+1.取f(x)=2*,D=R,则对任意M∈R,一定存在x₁∈D,使得f(x₁)=|M|+1.取x₀=x,则|f(x。)=|M|+1>M,但此时函数f(x)的值域为(0,+),必要性不成立.8.设函数f(x)=sin(wx)+cos(wx)(w>0),若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则W的最小A.8B.6【详解】函数设函数f(x)的最小正周期为T,由f(x+π)=f(x)可得kT=π,(k∈N').综上，ω的最小值为4.9.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog₂N(单位：小时),其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从10⁶个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时，当训练数据量N从1.024×10⁹个单位增加到4.096×10⁹个单位时，训练时间增加(单位：小时)()A.2B.4C.20【详解】设当N取10⁶个单位，1.024×10⁹个单位，4.096×10⁹个单位时所需时间分别为T₁,T₂,T₃.T₂=klog₂(1.024×10°)=klog₂(2⁰×10⁶)=k(10+6log₂10).T₃=klog₂(4.096×10°)=klog₂(2²×10⁶)=k(12+6log₂10).因为T₂-T₁=k(10+6log₂10)-6klog₂10=10k=20,所以k=2.A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]2CA+AB=2(OA-OC)+OB-OA=OA+OB-20C,jo2A+AB²=OA²+OB²+40C²-4=2+2+4×25-4(OA+OB)·OC=104-4(OA第二部分(非选择题共110分)二，填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.抛物线y²=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3故答案为：6. 12.已知(1-2x)⁴=a₀-2ax+4a₂x²-8a₃x³+16a₄x⁴,则ao= 又(1-2x)⁴=a₀-2ax+4a₂x²-8ax³+16a₄x⁴.故(1-2x)⁴=ao+q(-2x)+a₂(-2x)²+a₃(-2x)³+a₄(-2x)⁴令t=-2x,则(1+t)⁴=ao+at+a₂t²+azt³+a₄t⁴故答案为：1,15.13.已知α,β∈[0,2π],且sin(a+β)=sin(α-β),cos(a+β)≠cos(α-β),写出满足条件的一组α=【详解】因为sin(a+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β).故取可满足题设要求.故答案为：(答案不唯一)14.某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如,则该多面体的体积为_.【答案】60【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱ARF-BHT和四棱锥B-HTSE后结合体积公式可求几何体的体积.【详解】先证明一个结论：如果平面α⊥平面Y,平面β⊥平面Y,平面α∩β=1,则l⊥γ.在平面Y内过0作直线m,使得m⊥a,作直线n,使得n⊥b.因为平面α⊥平面Y,mcγ,故mLα,而lca,故m⊥l.同理n⊥l,而m∩n=0,m,n下面回归问题.连接BE,因为AB⊥BC且AF//BC,故AF⊥AB,同理BC⊥CD,EF⊥ED.在直角梯形ABEF中，过B作BT⊥EF,垂足为T.平面RAF⊥平面ABEF,平面RAF∩平面ABEF=AF,AF⊥AB.ABc平面ABEF,故AB⊥平面RAF.取AF的中点为M,BE的中点为U,CD的中点为V,连接RM,MU,SU,UV.而平面RMUS∩平面VUS=SU,故SU⊥平面ABEF.在平面ABHR中过B作BHIIAR,交RH于H,连接HT.则四边形ABHR为平行四边形，且RHI/IAB,R故四边形RFTH为平行四边形.而BH⊥AB,BT⊥AB,BT∩BH=B,BT,BHC平面BHT.故AB⊥平面BHT,故平面ARF//平面BHT.而AR=BH,RF=HT,AF=BT,因为AB//EF,故EF⊥平面AR而EFc平面RSEF,故平面ARF⊥平面RSEF.在平面ARF中过A作AG⊥RF,垂足为G,同理可证AG⊥平面RSEF.而,故由对称性可得几何体的体积为2×(24+6)=60.故答案为：60.三，解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(1)求c.【小问1详解】由正弦定理,解得c=6.【小问2详解】所以cos∠CAD=cos(∠CAB-∠BAD),sin∠CAD=√1-c所以此时CA,CD也可以唯一确定.这表明此时三角形ABC是存在，且BC边上的高17.四棱锥P-ABCD中，△ACD与VABC为等腰直角三角形，∠ADC=90°,∠BAC=90°,E为BC的中点.(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求AB与平面PCD所成角的正弦值.【分析】(1)取PA的中点N,PB的中点M,连接FN,MN,只需证明FG//MN即可.(2)建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解.【小问1详解】取PA的中点N,PB的中点M,连接FN,MN.∵△ACD与VABC为等腰直角三角形且∠ADC=90°,∠BAC=90°.∵E,F分别为BC,PD的中点.∴FN//GM,∴四边形FGMN为平行四边形.∵FG女平面PAB,MNc平面PAB,∴FG//平面PAB.【小问2详解】∵PA⊥平面ABCD,∴以A为原点，AC,AB,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=CD=2,则A(0,0,0),B(0,2√2,0),c(2√2,0,0),D(√2,-√2,0),P(0,0,2√2)AB=(0,2√2,0),DC=(√2,√2,0),CP=(-2√2,0设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z).取x=1,∴y=-1,z=1,n=(1,-1,1).设AB与平面PCD所成角为θ.即AB与平面PCD所成角的正弦值为18.有一道选择题考查了一个知识点，甲，乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率.(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率.(2)从甲，乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望.(3)若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p₁,乙校学生掌握该知识点的概率为P₂,试比较P₁与P₂的大小(结论不要求证明)【分析】(1)用频率估计概率后可得从甲校随机抽取1人做对该题目的概率.(2)利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的分布列，从而可求其期望.【小问1详解】用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为【小问2详解】设A为“从甲校抽取1人做对”,则P(A)=0.8,P(A)=0.2.设B为“从乙校抽取1人做对”,则P(B)=0.75,P(A)=0.25.设C为“恰有1人做对”,故P(C)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35依题可知，X可取0,1,2.P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.8×0.75=0.6.故X的分布列如下表：X012P故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55.【小问3详解】设D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”.因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目.未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个.故叩故叩,故同理有，,故19.已知E:的离心率为,椭圆上的点到两焦点距离之和为4.(1)求椭圆方程.(2)设0为原点，M(x₀,y。)(x₀≠0)为椭圆上一点，直线x₀x+2yoy-4=0与直线y=2,y=-2交于A,B.△OAM与△OBM的面积为S₁,S₂,比较的大小.【分析】(1)根据椭圆定义以及离心率可求出a,c,再根据a,b,c的关系求出b,即可得到椭圆方程.(2)法一：联立直线方程求出点A,B坐标，即可求出,再根据,即可得出它们的大小关系.法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到∠AOM=∠BOM,再根据三角形的面积公式即可解出.【小问1详解】故椭圆方程为【小问2详解】又,所以2x²+4y2²=8,16-4x²=8y².故①式可化简为8y²-16y₀y+8y²=0,即(y-y。)²=0,所以y=y₀.所以直线x₀x+2y₀y-4=0与椭圆相切，M为切点.故设x₂<x₀<x₁,易知联立,解得,y₁=2.故设x₂<x₀<x.联立,解得联立又,所以x2+2y²=4.【小问1详解】设g(x)=f'(x),【小问2详解】【小问3详解】因为直线l方程为,易知a≠0.所以直线l₂的方程为由(1)知，当x>0时，,所以21.A={1,2,3,4,5,6,7,8},M={(x,y;)Ix;∈A,y,∈A},从M中选出n个有序数对构成一列：(x₁,y₁)…,(x,yn).相邻两项(x,y;),(x;+1,y:+1)满足：或,称为k列.(1)若k列的第一项为(3,3),求第二项.(2)若t为k列，且满足i为奇数时，x;∈{1,并说明.(3)证明：M中所有元素都不构成k列.【分析】(1)根据新定义即可得解.(2)假设(3,2)与(4,4)能同时在T中，导出矛盾，从而得出(3,2)与(4