江西省高安市高安中学2026届高二数学第一学期期末调研试题含解析

江西省高安市高安中学2026届高二数学第一学期期末调研试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点到直线：的距离为1，则等于（）A. B.C. D.2．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论不正确的是（）A.该双曲线的离心率为B.该双曲线的渐近线方程为C.点P到两渐近线的距离的乘积为D.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为323．若函数在上有两个极值点，则下列选项中不正确的为（）A. B.C. D.4．已知，则下列说法中一定正确的是（）A. B.C. D.5．圆与圆的位置关系为（）A.内切 B.相交C.外切 D.外离6．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（）A. B.C. D.7．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)8．已知两圆相交于两点和，两圆的圆心都在直线上，则的值为A. B.2C.3 D.09．经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为（）A. B.C. D.10．已知数列的前n项和为，则“数列是等比数列”为“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.充分不必要条件11．概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（）A.甲法郎，乙法郎 B.甲法郎，乙法郎C.甲法郎，乙法郎 D.甲法郎，乙法郎12．给出下列判断，其中正确的是（）A.三点唯一确定一个平面B.一条直线和一个点唯一确定一个平面C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D.空间两两相交的三条直线在同一平面内二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的实轴长为______.14．已知过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB经过抛物线C的焦点F，则___________15．设双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________16．曲线围成的图形的面积是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.18．（12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）19．（12分）已知双曲线（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围20．（12分）设等差数列的前项和为，为各项均为正数的等比数列，且，，再从条件①：；②：；③：这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：（1）求和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：21．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.22．（10分）已知点，直线，圆.（1）若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；（2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用点到直线的距离公式，即可求得参数的值.【详解】因为点到直线：的距离为1，故可得，整理得，解得.故选：.2、D【解析】根据双曲线的离心率、渐近线、点到直线距离公式、三角形的面积等知识来确定正确答案.【详解】由题意可知，a＝3，b＝4，c＝5，，故离心率e，故A正确；由双曲线的性质可知，双曲线线的渐近线方程为y＝±x，故B正确；设P（x，y），则P到两渐近线的距离之积为，故C正确；若PF1⊥PF2，则△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6（不妨取P在第一象限），∴2|PF1||PF2|＝100﹣2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝32，可得，故D错误.故选：D3、C【解析】求导，根据题意可得，从而可得出答案.【详解】解：，因为函数在上有两个极值点，所以，即.所以ABD正确，C错误.故选：C.4、B【解析】AD选项，举出反例即可；BC选项，利用不等式的基本性质进行判断.【详解】当，时，满足，此时，故A错误；因，所以，，，B正确；因为，所以，，故，C错误；当，时，满足，，，所以，D错误.故选：B5、C【解析】将圆的一般方程化为标准方程，根据圆心距和半径的关系，判断两圆的位置关系.【详解】圆的标准方程为，圆的标准方程为，两圆的圆心距为，即圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，故选：C.6、D【解析】根据命题真假的判断，对四个选项一一验证即可.【详解】对于A：若，则必成立；对于B：若，则必成立；对于C：若，则必成立；对于D：由不能得出，所以不可能是.故选：D7、C【解析】求导得，再解不等式即得解.【详解】由得，根据题意得，解得故选：C8、C【解析】根据条件知：两圆的圆心的所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，以及两圆的交点的中点在两圆的圆心的所在的直线上，由此得到方程，得解.【详解】由已知两圆的交点与两圆的圆心的所在的直线垂直，，所以，又因为两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，所以，解得：，所以，故选.【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解答此题的关键是需知两圆的圆心所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，并且两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，此题属于基础题.9、B【解析】求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.【详解】由得，即所求圆的圆心坐标为.由该圆过点，得其半径为1，故圆的方程为.故选：B.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.10、D【解析】由充分必要条件的定义，结合等比数列的通项公式和求和公式，以及利用特殊数列的分法，即可求解.【详解】由题意，数列是等比数列，设等比数列的公比为，则，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，当，可得，此时数列不是等比数列，即必要性不成立，所以数列是等比数列为存在，使得的充分不必要条件.故选：D.11、A【解析】利用独立事件计算出甲、乙各自赢得赌金的概率，由此可求得两人各分配的金额.【详解】甲赢得法郎的概率为，乙赢得法郎的概率为，因此，这法郎中分配给甲法郎，分配给乙法郎.故选：A.12、C【解析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.【详解】对A，如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；对B，如果这个点在这条直线上，就不能确定一个平面，故B错误；对C，两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，C正确；对D，空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】根据双曲线标准方程的特征即可求解.【详解】由题可知.故答案为：4.14、【解析】设出点的坐标，与抛物线方程联立，结合题意和韦达定理，求得抛物线的方程为，直线AB的方程为，进而求得的值.【详解】设，在抛物线，过切点A与抛物线相切的直线的斜率为，则以为切点的切线方程为，联立方程组，整理得，则，整理得，所以，解得，所以以为切点的切线方程为，即，同理，设，在抛物线，过切点B与抛物线相切的直线，又因为在切线和，所以，所以直线AB的方程为，又直线AB过抛物线的焦点，所以令，可得，即，所以抛物线的方程为，直线AB的方程为，联立方程组，整理得或，所以，所以.故答案为：.15、【解析】根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解.【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，.故答案为：【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.16、【解析】当，时，已知方程是，即．它对应的曲线是第一象限内半圆弧（包括端点），它的圆心为，半径为.同理，当，；，；，时对应的曲线都是半圆弧（如图）．它所围成的面积是.故答案为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据题意可得，，再由，即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.【详解】解（1）由题意得：，，∴，∴∴椭圆的方程为(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为与椭圆的方程联立可得：①设两点的坐标为，由韦达定理得：，∴点到直线的距离，∴由①知：，，令，则，∴令，则在上的最大值为∴的最大值为综上所述：三角形面积的最大值2.【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆额位置关系中三角形面积问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.18、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）取得中点，连接，可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又侧棱底面，可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式即可得出；（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出【详解】（1）证明：取的中点，连接，，，四边形是平行四边形，，且，，，，又，侧棱底面，，，平面（2）以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设与平面所成角为，则，解得，故所求（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，利用向量求线面角、柱体的定义应用和表面积的求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力及化归与转化能力，属于中档题19、（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.【解析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）先求（用表示），再根据解不等式得结果.【详解】（1）当时，双曲线方程化为，所以，，，所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为.（2）因为，所以，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.20、（1）an＝n，bn＝（2）证明见解析【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，q＞0，由等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式，列出方程组求解即可得答案；（2）求出，利用裂项相消求和法求出前项和为，即可证明【小问1详解】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，q＞0，选①：，又，，可得1+5d＝3q，1+4d＝5d，解得d＝1，q＝2，则an＝1+n﹣1＝n，bn＝；选②：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，q4＝4（q3﹣q2），解得d＝1，q＝2，则an＝1+n﹣1＝n，bn＝；选③：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，8+28d＝6（3+3d），解得d＝1，q＝2，则an＝1+n﹣1＝n，bn＝；小