2026届河北省秦皇岛市一中高一数学第一学期期末监测试题含解析

2026届河北省秦皇岛市一中高一数学第一学期期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，如图，某阳马的三视图如图所示，则该阳马的最长棱的长度为（）A. B.C.2 D.2．下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（）A. B.C. D.3．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线和所成角的大小为A. B.C. D.4．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的侧面积为（）A.48 B.42C.36 D.305．如图，四面体中，，且，分别是的中点，则与所成的角为A. B.C. D.6．设，，，则a，b，c的大小关系是A. B.C. D.7．，，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．对于函数定义域中任意的，，当时，总有①；②都成立，则满足条件的函数可以是（）A. B.C. D.9．已知、为非零向量，“=”是“=”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．下列各题中，p是q的充要条件的是（）A.p：，q：B.p：，q：C.p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分D.p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数在上存在零点，则实数a的取值范围是______12．已知为偶函数，当时，，当时，，则不等式的解集为__________13．已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.14．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.15．已知，则_______.16．函数的图象一定过定点，则点的坐标是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某种树木栽种时高度为A米为常数，记栽种x年后的高度为，经研究发现，近似地满足，其中，a，b为常数，，已知，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍参考数据：，18．在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.（1）当a=2时，求；（2）若选，求实数a的取值范围.19．设关于x二次函数（1）若，解不等式；（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围20．参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数（1）①试解释与的实际意义；②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由21．定义在上奇函数，已知当时，求实数a的值；求在上的解析式；若存在时，使不等式成立，求实数m的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】根据三视图画出原图，从而计算出最长的棱长.【详解】由三视图可知，该几何体如下图所示，平面，，则所以最长的棱长为.故选：B2、A【解析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性.【详解】对于A：为奇函数且在上单调递增，满足题意；对于B：为非奇非偶函数，不合题意；对于C：为非奇非偶函数，不合题意；对于D：在整个定义域内不具有单调性，不合题意.故选：A.3、D【解析】连DE，交AF于G，根据平面几何知识可得，于是，进而得．又在正方体中可得底面，于是可得，根据线面垂直的判定定理得到平面，于是，所以两直线所成角为【详解】如图，连DE，交AF于G在和中，根据正方体的性质可得，∴，∴，∴，∴又在正方体中可得底面，∵底面，∴，又，∴平面，∵平面，∴，∴异面直线和所成角的大小为故选D【点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，将空间角的问题转化为平面问题处理，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角时通常放在三角形中利用解三角形的方法进行求解，有时也可通过线面间的垂直关系进行求解4、C【解析】由三视图可知该“堑堵”的高为，其底面是直角边为，斜边为的三角形，从而可求出其侧面积.【详解】解：由三视图易得该“堑堵”的高为，其底面是直角边为，斜边为的三角形，故其侧面积为.故选：C.5、B【解析】设为中点，由中位线可知，所以就是所求两条之间所成的角，且三角形为等腰直角三角形你给，所以.考点：空间两条直线所成的角.【思路点晴】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决6、A【解析】利用函数，，单调性，借助于0和1，即可对a、b、c比较大小，得到答案【详解】由题意，可知函数是定义域上的增函数，，又是定义域上的增函数，，又是定义域上的减函数，，所以，故选A【点睛】本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数、对数函数的单调性，借助指数函数、对数函数的单调性进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、B【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为，，所以由不能推出，由能推出，故是的必要不充分条件故选：B8、B【解析】根据函数在上是增函数，且是上凸函数判断.【详解】由当时，总有，得函数在上是增函数，由，得函数是上凸函数，在上是增函数是增函数，是下凸函数，故A错误；在上是增函数是增函数，是上凸函数，故B正确；在上是增函数，是下凸函数；故C错误；在上是减函数，故D错误.故选：B9、A【解析】根据“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.【详解】已知、为非零向量，故由可知，；当时，比如，推不出，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A10、D【解析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当时，满足，所以充分性不成立，反之：当时，可得，所以必要性成立，所以是的必要不充分条件，不符合题意；对于B中，当时，可得，即充分性成立；反之：当时，可得，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，不符合题意；对于C中，若四边形是正方形，可得四边形的对角线互相垂直且平分，即充分性成立；反之：若四边形的对角线互相垂直且平分，但四边形不一定是正方形，即必要性不成立，所以是充分不必要条件，不符合题意；对于D中，若两个三角形相似，可得两个三角形三边成比例，即充分性成立；反之：若两个三角形三边成比例，可得两个三角形相似，即必要性成立，所以是的充分必要条件，符合题意.故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由可得，求出在上的值域，则实数a的取值范围可求【详解】由，得，即由，得，又∵函数在上存在零点，即实数a的取值范围是故答案为【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值域的求法，是基础题12、【解析】求出不等式在的解，然后根据偶函数的性质可得出不等式在上的解集.【详解】当时，令，可得，解得，此时；当时，令，解得，此时.所以，不等式在的解为.由于函数为偶函数，因此，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13、##0.15【解析】利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲和乙被录取的概率、甲和丙被录取的概率、乙和丙被录取的概率，然后即可求出他们三人中恰有两人被录取的概率.【详解】因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取的概率为，甲和丙被录取的概率为，乙和丙被录取的概率为则他们三人中恰有两人被录取的概率为，故答案为：.14、-1【解析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.【详解】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.故答案为：-1.15、【解析】将条件平方可得答案.【详解】因为，所以，所以故答案为：16、【解析】令，得，再求出即可得解.【详解】令，得，，所以点的坐标是.故答案：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）5年.【解析】Ⅰ由及联立解方程组可得；Ⅱ解不等式，利用对数知识可得【详解】Ⅰ，，

，又，即，，联立解得，，Ⅱ由Ⅰ得，由得，，故栽种5年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍【点睛】本题考查了函数解析式的求解及对数的运算，考查了函数的实际应用问题，属于中档题18、（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）当时，求出集合再根据并集定义求；（2）选择有AB，列不等式求解即可；选择有同样列出不等式求解；选择因为，则或，求解即可【详解】（1）当时，集合，，所以；（2）选择因为“”是“”的充分不必要条件，所以AB，因为，所以又因为，所以等号不同时成立，解得，因此实数a的取值范围是.选择因为，所以.因为，所以.又因为，所以，解得，因此实数a的取值范围是.选择因为，而，且不为空集，，所以或，解得或，所以实数a取值范围是或19、（1）；（2）.【解析】（1）由题设有，解一元二次不等式求解集即可.（2）由题意在上恒成立，令并讨论m范围，结合二次函数的性质求参数范围.【小问1详解】由题设，等价于，即，解得，所以该不等式解集为.【小问2详解】由题设，在上恒成立令，则对称轴且，①当时，开口向下且，要使对恒成立，所以，解得，则②当时，开口向上，只需，即综上，20、（1）表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的；定义域为，值域为，在区间内单调递减.（2）当时，，此时两种清洗方法效果相同；当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.【解析】（1）①根据函数的实际意义说明即可；②由实际意义可得出函数的定义域，值域，单调性.（2）求出两种清洗方法污渍的残留量，并进行比较即可.【小问1详解】①表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上污渍的.②函数的定义域为，值域为，在区间内单调递减.【小问2详解】设清洗前衣服上的污渍为1，用单位的水，清洗一次后残留的污渍为，则；用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，然后再用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，因为，所以当时，，此时两种清洗方法效果相同；当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.21、（1）；