2025-2026学年 5.9弧长及扇形的面积同步训练鲁教版（五四制）数学九年级下学期（含答案）

/5.9弧长及扇形的面积知识梳理关键概念：弧长：圆上两点间的曲线段长度，取决于圆心角大小和圆的半径；扇形：由圆心角（n∘）和两条半径（r圆环：两个同心圆所夹的区域，大圆半径为R，小圆半径为r（R>核心公式：弧长公式：l=nπr180（n扇形面积公式：直接用圆心角和半径：扇形S扇形用弧长和半径：扇形S扇形=1圆环面积公式：圆环S圆环公式关联与推导：扇形面积与圆面积的关系：扇形面积是所在圆面积的n360（因圆心角占周角的n弧长与扇形面积的关联：由弧长公式l=nπr180变形得nπr=180l同步训练一、单选题1．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积是（

）A．3π B．2π C．322．如图，⊙O的半径为4，直径AB，CD互相垂直，则AC的长是（

A．π B．2π C．3π 3．如图，某小区拟修建一个自行车棚，从侧面看，棚顶的支撑杆可看成AB⏜．已知AB⏜所在圆为⊙O，且∠AOB=45°A．5π8m B．25π8m4．如图，将圆形纸片沿弦AB折叠使AB⏜经过圆心O，过点O作直径CD⊥AB于点E，AB=6，连接AD，则A．3π3 B．23π3 5．“太湖之星”摩天轮是世界第二大水上摩天轮，其示意图如图所示，该摩天轮高115m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为65m，摩天轮迅速旋转一圈用时20min．某轿厢从点A出发，8min后到达点A．8π B．20π C．40π6．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点，若AC⋅BCA．23π B．6π C．247．如图，已知扇形OAB，在其内部作一个菱形ODCE，其中点D、E分别在OA、OB上，点C在AB上．若OA=2，∠AOB=60°A．π3−33 B．π3−二、填空题8．如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为2cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC9．如图，已知AB⏜，CD⏜的弧长之差为4π，∠AOB=120°10．将任意半径为r的圆按如图所示的方式折叠得到一个月牙形，若折痕到圆心的距离d=1211．如图，点A、B、C均在⊙O上，直径AB=4，∠ABC12．如图，线段AB=BC=CD=3，AB∥CD，∠ABC=120°，⊙O的半径为1，当⊙O三、解答题13．如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，求此扇形的面积是多少？14．如图，△ABC是⊙O内接三角形，AD是⊙O的直径，AD=6，15．如图，△OAB中，OA=OB，⊙O与AB相切于点C，与OA交于点E，与AO的延长线交于点D，连接(1)判断BD与⊙O(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积(结果保留π16．综合与探究如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，△ABC为等边三角形，AD=1(1)求证：∠ADB(2)①尺规作图：过点B作BM∥CD，交DA的延长线于点②求证：MA=(3)求BC的长．参考答案1．A【分析】本题考查了扇形的面积公式．根据扇形的面积公式nπr【详解】解：∵一个扇形的圆心角为120°，半径是3，∴这个扇形的面积是120°×3故选：A．2．B【分析】本题考查弧长的计算，先利用直径AB、CD互相垂直，得出∠AOC【详解】解：∵直径AB、CD互相垂直，∴∠AOC∴AC的长为90π故选：B．3．C【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，掌握弧长公式l=nπr180（其中n直接运用弧长公式求得AB⏜【详解】解：∵∠AOB=45°，∴AB=45×π故选C．4．D【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键．如图所示，连接OA,AC，根据折叠，垂径定理，勾股定理，可证△AOC是等边三角形，∠【详解】解：如图所示，连接OA,∴OA=由折叠可得OE=EC=∵CD⊥∴AE=BE=在Rt△AOE中，设OE=x，则∴2x解得，x=∴OE=∴△AOC∴∠AOC=60°，则∴AD⏜的长为=故选：D．5．C【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出∠AOB【详解】解：∵最高点离水面平台MN的距离为115m，圆心O到MN的距离为65∴摩天轮的半径为115−65=50m∵摩天轮匀速旋转一圈用时20min，轿厢从点A出发，8min后到达点B∴∠AOB∴该轿厢所经过的路径长度为：144π故选：C．6．D【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，连接OA、OC、OD、OB，过点O作【详解】解：连接OA、OC、OD、∴AE=∴AE−CE∴AD由圆环的面积公式可得：S=========12π故选：D．7．C【分析】本题考查了扇形面积与菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形性质确定角度，结合三角函数求高，通过“阴影面积=扇形面积−菱形面积”计算．连接OC，由菱形性质得∠BOC=30°；过C作CH⊥OB，用含【详解】解：连接OC，过C作CH⊥OB于∵四边形ODCE是菱形，∠AOB∴OD=DC=又OC=∴CH=由OD∥CE得∠CEH∴EH=12即CE2−12∴菱形ODCE的面积=OE扇形OAB的面积=6∴阴影面积=2故选：C．8．13【分析】本题考查了内切圆的性质，三角形的内角和定理，扇形面积；根据题意先求得∠BOC【详解】解：∵⊙O是△∴OB,OC∴∠∵∠∴∠∴∠BOC=180°−∴图中阴影部分的面积是130故答案为：1399．12+24【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解题意，掌握弧长公式．由弧长公式可得120π⋅OA【详解】解：根据题意得：120π∴OA−∴AC=∵OC=15∴CD⏜的弧长=∴AB⏜的弧长=10∴阴影部分的周长AC+BD+CD⏜故答案为：12+24π10．2【分析】记圆心为O，弦为DC，作OB⊥DC于点B，连接OC，OD，利用勾股定理推出BC，进而利用垂径定理得到DC，再根据解直角三角形，推出【详解】解：记圆心为O，弦为DC，作OB⊥DC于点B，连接OC，∴DC=2由题意知，OC=r，∴BC=∴DC∵cos∴∠BOC同理可得∠BOD∴∠DOC∴弓形面积为：120π结合折叠性质可知，月牙形面积为πr则月牙形与原圆面积之比为πr故答案为：2π【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，扇形面积公式，折叠的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．11．π3/【分析】本题考查了圆周角定理和扇形面积公式；解题的关键是利用圆周角定理将已知的圆周角∠ABC转换为圆心角∠AOC，再代入扇形面积公式计算；先根据CA为公共弧，得【详解】解：∵CA为公共弧，直径AB=4，∠∴∠COA=2∠ABC∴S故答案为π312．9+【分析】根据题意，得出圆心O的运动规律，再结合弧长公式，分别求了各部分的长，再相加即可．【详解】解：如图所示，图中的圆与AB、BC、CD都相切，连接结相关线段，图中的圆都是等圆，∴∠=∠CMHOA=∴OA∥BE，BF∥∴四边形OABE是矩形，四边形BNHF是矩形，四边形HMDG是矩形，∠EBF∴OE=AB，FH=∵AB=3，∠∴HM=∴EF的长为60∵AB∥∴∠BCD∵NC、CM是⊙H∴NC=在Rt△HNC与NC∴Rt△∴∠HCN=∠HCM在Rt△∵∠HCN∴∠CHN∴HC=2∵HN=1，C∴CN∴CN=∴MC=∴BN=DM=∴FH+∴圆心O经过的路径长是：OE+故答案为：9+1【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，切线的性质定理，应用切线长定理求解，求某点的弧形运动路径长度等知识点，解题关键是熟知弧长的计算公式．13．2【分析】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．如图，连接AB，证明AB为圆的直径，再利用勾股定理求解AC，再利用扇形面积公式计算即可得到答案．【详解】解：如图，连接AB，∵∠ACB∴AB为圆的直径，AB∴A∴AC∴S=14．弦AC所对的劣弧的长为3π2，弦AC【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理；连接OC，CD，可证明∠ADC=∠CAD，由直径所对的圆周角是直角得到∠【详解】解：如图所示，连接OC，∵AC=∴∠ABC∵∠ABC∴∠ADC∵AD是⊙O∴∠ACD∴∠ADC∴∠AOC∵AD=6∴OA=∴弦AC所对的劣弧的长为90π×3180=315．(1)相切，理由见解析(2)2【分析】本题考查了切线的性质和判定，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出OD⊥（2）根据全等的性质可得∠OBC=∠OBD，结合等腰三角形和直角三角形的性质可求出∠A=30°，∠AOC=60°【详解】（1）证明：BD是⊙O如图所示，连接OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴∠OCB在△OBC和△OC=∴△OBC∴∠ODB=∠OCB∵OD是⊙∴BD是⊙（2）解：∵△OBC∴∠OBC∵OA∴∠A∴∠A∵∠ODB∴∠A+∠OBC∴∠A∵∠OCB∴∠AOC=60°，∴AC∴==2316．(1)证明见解析(2)①作图见解析②证明见解析(3)2【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理、垂径定理；解题的关键是利用等边三角形和圆内接四边形的性质推导角度关系，通过角度相等证明三角形全等，进而找到边的关系．（1）利用等边三角形性质得弧相等，再根据圆周角定理证明角相等；（2）①尺规作图过点作平行线，利用全等三角形对应角相等，以及内错角相等，两直线平行的原理进行作图；②先通过平行线和圆内接四边形性质推导角度，证明△DCB（3）根据（2）得出的全等，证明△MDB为等边三角形，求出BD长度，过点C作CK⊥BD于K，利用60°和30°，以及勾股定理，求出BC的长度，过点O作OG【详解】（1）∵△ABC∴AB∴AB∴∠（2）①解：尺规作图如下：步骤一：以点C为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线CD于点E，交线段BC（或射线CB）于点F；步骤二：以点B为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线BC于点G（使得BG=CF，即点G在射线BC上且步骤三：以点G为圆心，以线段EF的长为半径作圆弧，交步骤三中所作的圆弧于点H（取与点E位于直线BC相反侧的交点）；步骤四：过点B和点H作直线，则直线BH即