2025-2026学年 1.5.1等腰三角形 教案苏科版数学八年级上学期（含答案）

/1.5.1等腰三角形【教学目标】经历探索等腰三角形的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特性，培养几何直观能力.探索并证明等腰三角形的性质定理.会用基本作图作三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形.在“操作-探究-归纳-证明”的过程中，发展合情推理和演绎推理的能力.【教学重点】探索并证明等腰三角形的性质定理.【教学难点】利用等腰三角形的性质定理解决问题.创设情境：说说你对等腰三角形的认识.学生预设：两条边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形；探究新知：活动一：探究“等边对等角”剪一个等腰三角形，记为△ABC，其中AB和AC是腰.将△ABC沿顶角∠BAC的平分线折叠，你有什么发现？发现：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；△ABD和△ACD全等；∠B=∠C；BD=CD.归纳总结：等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两底角相等.（简称“等边对等角”）活动二：探究“三线合一”由BD=CD可知，点D是BC的中点，从而AD是BC边上的中线.由△ABD和△ACD全等，可知∠ADB=∠ADC，又因为∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°.从而，AD⊥BC，即AD是BC边上的高.归纳总结：等腰三角形的性质定理2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）活动三基本作图作三角形已知线段a、h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC使底边BC=a，高AD=h.例题精讲：例1如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD.求证：∠ADB=∠BAC.例2如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F．(1)求证：；(2)若，求证：．练习：1．如图，在中，，，，则（

）第1题第3题第4题A．5 B．6 C．7 D．82．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（

）A． B．或 C．D．或3．我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（）A．4或6 B．5 C．4 D．64．如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（

）①；②；③；④；⑤．A．2个 B．3个 C．4个D．5个5．如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为．第5题第6题第8题6．如图，，的顶点C在直线m上，若，，，则．7．若一个等腰三角形的两边长分别为7和15，则这个等腰三角形的周长为．8．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么．9．如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为．第9题第11题第12题10．等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为．11．如图：O是等边内一点，线段以C为旋转中心顺时针旋转得到，连接、、、，若，当是等腰三角形，则度．12．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，M，的垂直平分线分别交，于点E，N，连接，，则的度数为．13．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为．14．如图1，△ABC，△AED是等腰直角三角形，∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD的数量关系为______；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜90°），则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由．15．如图，平分，垂直平分，分别交，于点，，与平行吗？解：平分（已知）_____（角平分线定义）垂直平分_____（_____）（_____）_____（等量代换）（______）16．如图，已知：，，．求度数．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC和AB上，若AD=BD=AE，BE=DE=DC，求∠CAD的度数．18．如图，在中，，用尺规作图法在边上求作一点，使．（保留作图痕迹、不写作法）19．如图，在中，，点，都在边上，且．请判断与之间的数量关系，并说明理由．20．在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接．(1)发现问题如图①，当点D在边上时，①请直接写出和之间的数量关系为，位置关系为；②请直接写出、、三者之间的数量关系(2)尝试探究如图②，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸如图③，当点D在的延长线上且其他条件不变时，若，，直接写出线段的长为．参考答案例1证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C∵AD=BD，∴∠B=∠BAD，∴∠C=∠BAD.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-2∠B在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-2∠B∴∠ADB=∠BAC例2（1）证明：∵，是边上的中线，∴，，，，，∴，∴．（2）证明：由（1）知，，那么，在和中，，∴，∴，是边上的中线，∴．练习1．解：∵，，∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分，∴，故选：A．2．解：当为顶角时，答案就是本身；当为底角时，另一个底角为，顶角为，故顶角为或．故选：D．3．解：当为等腰三角形时，∴或；当时满足，在满足；当时，在中，，不满足条件，舍掉；∴；故选：C．4．解∵在中，是的角平分线，∴∴，，，故①②④正确；∴，故⑤正确；无法证明，故③错误．综上所述，正确的有4个．故选：C．5．解：，，，故答案为：．6．解：作，如图，∴，∵，∴，∵为等腰三角形，，∴，∴，∴．故答案为：50．7．解：若等腰三角形的三边长为7，7，15，，故不符合题意；若等腰三角形的三边长为7，15，15，，则周长为；综上所述，这个等腰三角形的周长为37．故答案为：37．8．解：如图，过点作于点，∴，∵，∴，∵在中，是边上的中线，∴，在和中，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：6．9．解：作交的延长线于点F，是的角平分线，，，，是等腰直角三角形，，，在和中，，，，，故答案为：16．10．解：①如图1，当是钝角时，由题意：，∴，②如图2，当是锐角时，由题意：，∴，∴，综上，该等腰三角形的底角的度数为或，故答案为：或．11．解：是等边三角形，，，线段以C为旋转中心顺时针旋转得到，，，是等边三角形，，，在和中，，≌，，当是等腰三角形，且时，则，，，且，，，；当是等腰三角形，且时，则，，，；当是等腰三角形，且时，则，，，，综上所述，的度数为或或，故答案为：110或125或140．12．解：∵，∴，∵垂直平分垂直平分，∴，∴，∴，∴，故答案为：．13．解：如图，连接，交于点，连接，∵直线垂直平分，∴，∵两点之间线段最短，∴的最小值为线段，∵等腰中,点为的中点，，，∴，，∴，即：，解得，∴，故答案为：4．14．解：（1）BE=CD，理由：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD，故答案为：BE=CD；（2）成立，理由：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD．15．解：平分（已知），（角平分线定义），垂直平分，（垂直平分线上的点到线段两端点的距离），（等边对等角），（等量代换），（内错角相等，两直线平行）．16．解：延长到点E，使得，在和中，，，，，，，即点C为的中点，，，是等腰三角形，是底边上的中线，，．17．解：∵AD=BD=AE，∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠AED，∵BE=DE，∴∠B=∠EDB，设∠B=∠BAD=∠EDB=α，∴∠AED=∠ADE=2α，∴∠ADB=3α，∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∴α+α+3α=180°，∴α=36°，∴∠ADB=108°，∠ADE=2α=72°，∠ADC=180°-∠ADB=72°，∴∠ADE=∠ADC，在△AED与△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠C=∠AED=72°，∴∠CAD=180°-72°-