【《指向深度学习的北师大版“倍数与因数”单元教学设计案例》14000字】

第1章引言指向深度学习的北师大版“倍数与因数”单元教学设计案例目录TOC\o"1-3"\h\u1214指向深度学习的北师大版“倍数与因数”单元教学设计案例 1323051.1前期多元分析，形成全面设计思路 152551.2确定单元主题，制定单元学习目标 777801.3重组教学内容，规划单元学习序列 8233921.4精设学习活动，深度思考核心内容 1043841.5设计评价方案，反思主题学习效果 15“倍数与因数”的相关知识是在学生学习了整数除法、倍数概念的基础上展开的，也是后期学习约分和通分，分数四则运算的直接基础，起着承上启下的作用。其中的概念较多，联系紧密，课本将其分散到两个单元中进行学习，不利于单元知识结构的系统呈现。因此，笔者选择了北师大版五年级上册第三单元的“倍数与因数”单元并整合了“分数的意义”单元中“找最大公因数、找最小公倍数”两小节内容，将这两部分内容进行统整重组成一个单元，作为指向深度学习的单元主题教学设计案例。后期对教学设计案例展开了行动研究，经过两轮实践，不断对其进行反思修正，并提出教学设计及实践的建议。下文是笔者进行案例设计的主要过程。1.1前期多元分析，形成全面设计思路1.解读课标。《义务教育数学课程标准》（2011年版）在“总体目标”和“第二学段目标”中提出：“在参与观察、猜想、证明等数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力，体会数学的基本思想和思维方式”；“能进行有条理的思考，清楚地表达思考的过程与结果”；“学会与他人合作解决问题，体验数学的价值。”[1][1][2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京:北京师范大学出版社，2012:5.课标对“倍数与因数”的学习要求是：“知道2、5、3的倍数特征，了解奇偶数和质数、合数的内涵以及公倍数和最小公倍数概念；在1-100的自然数中，能找出10以内某数的所有倍数和10以内某两个自然数的公倍数和最小公倍数。了解公因数和最大公因数并在相同范围内找出一个自然数的所有因数，能找出两个数的公因数和最大公因数。”2]从课标要求中可知，对2、5、3的倍数特征的学习要求是“知道”，对本单元的概念学习要求是“了解”，“能”找出10以内某个数的倍数和某两个数的公因数或公倍数等。可见，课标强调掌握基础概念知识，并能进行简单的实际运用。由此不难看出，2011版的课标对学习结果的要求是学生学习的基础达标水平，有意降低了难度，更加强调学生在知识探索的过程中体会基本数学思想，积累基本的数学活动经验，并能独立思考和清晰表达，发展学习的能力，积累学习的方法经验。这对我们实施本单元教学的启发是：第一，注重概念教学的过程，将概念融入到具体生动的实例中，让学生体验从具体到抽象，由特殊到一般的概括、归纳过程，发展归纳推理能力。第二，从概念本质和根源上深度理解概念，梳理概念之间的紧密联系，形成概念链和单元知识结构，通过深度理解来准确记忆概念，避免死记硬背。第三，留出学生自主学习，思考和交流空间，让学生经历探究、发现的过程，积累基本的数学学习活动经验。2.教学内容整体分析笔者首先对所选教材进行了分析。如表5-1所示，北师大版教材将“倍数与因数”的相关内容分散在两个单元展开学习，第三单元学习倍数与因数的概念，2、5、3的倍数特征等内容。而公倍数和公因数的概念与求解方法则被安排在第五单元中约分和通分两节内容之前。表5-1教材知识编排统计表单元教材内容课时三、倍数与因数倍数与因数1探索活动：2，5的倍数的特征1探索活动：3的倍数的特征1找因数1找质数（认识质数、合数）1练习四2五、分数的意义找最大公因数1找最小公倍数1深入分析北师大版教材的知识编排，笔者发现如下特点：其一是北师大版教材利用乘法引导学生认识倍数与因数，有利于学生理解乘法运算中积与乘数的关系，即积是乘数的倍数。其二，围绕“倍数”“因数”两个核心概念及其本质关联来组织本单元知识内容。先认识“倍数”“因数”，再分为找倍数和找因数两条线来展开。找倍数线上，先是找100以内2、5的倍数并学习奇偶数，再是3的倍数。找因数这条线上，安排了“找质数”的探究活动，认识质数和合数。本册书遵循课标要求适当降低了难度，把数限制在100以内的非零自然数，也取消了整除、互质数、分解质因数等数学概念。其三，通过“百数表”和“长、正方形拼图”的探究活动，在动手操作探索数的特征中渗透数形结合的思想，把抽象的概念显性直观化。通过以上对教材内容的梳理，参照课标要求，笔者对“倍数与因数”单元的结构脉络和内容本质以及课时序列进行了整理分析。（1）结构脉络图5-1教材内容框架图示虽然将公因数与公倍数的相关知识安排在第五单元的约分与通分之前能更加突出公因数与公倍数的应用性，但是这无疑割裂了其与倍数与因数内容之间的紧密联系，不利于学生从整体上把握知识，建构知识结构。此外，教材通过同一个用小正方形拼长方形的情境活动来探究《找因数》与《找质数》的知识，却将其分割成两节内容来学习，这样造成了对情境活动的重复探究，第一次探究活动的深度不够，降低了课堂效率。因此，笔者的单元主题教学设计不仅将教材中这两个单元的相关内容进行了整合，还将找因数与找质数整合在一起学习，使之形成一个完整的单元体系，整合后的内容框架如下图所示。图此外，笔者将这部分内容归置到小学阶段的数学知识体系中进行分析，笔者发现，这部分内容属于“数的整除”中的重要内容，它在小学数学的知识体系中起到承上启下的作用。（见下图）已学过的内容已学过的内容第一学段：整数的认识乘除法四年级上册：大数的认识及十进制记数法本单元主要内容倍数与因数2、5、3的倍数特征奇数与偶数质数与合数公因数与公倍数公因数与公倍数将要学习的内容约分通分分数比大小分数加减运算图5-3北师大版教材“倍数与因数”的知识脉络图综上，学生在此之前已经学习过整数除法和十进制记数法的相关知识，具备一定的知识基础。同时，这部分知识又是学生以后学习约分，通分，异分母分数比大小，分数加减运算的直接基础，具有承上启下的作用。（2）内容本质《倍数与因数》单元属于小学数学数论部分的核心内容群“数的整除”中的重要内容，它是学生在学习了整数的认识、整数的运算及其运用等知识基础上对整数性质的深入认识，能丰富学生对整数的认识，深化对整数和整数除法的认识。有学者认为，倍数与因数实际上反映了自然数在整除性上相互依存的关系。“倍数与因数”主要探究0除外的自然数的整除性特征，通过运用2、5、3的倍数特征迅速判断某数能否被2、5、3整除，能大大提高整数除法试商、调商的效率，对公因数，公倍数知识的学习能为约分和通分奠定扎实基础。从学科核心素养和基本思想方法的角度看，“倍数与因数”是学生对整数认识的深化，这部分内容能进一步发展学生的“数感”，帮助学生准确估计某数能否被整除，提高整数除法的准确率和效率，因此，“数感”是本单元主要培养的一种数学核心素养。此外，学习本单元知识需要学生运用“有序思考”“数形结合”的基本思想。例如，在找某个数的全部因数时，只有有序思考才能做到不重不漏地全部找完。在学习质数的概念时，让学生用不同数量的小正方形拼摆出长方形，通过对比分析拼摆的长方形的种类区分质数与合数的内涵，以形助数，把抽象的概念直观化，帮助学生理解。同时，这部分内容涉及的概念较多而且比较抽象，概念之间关联密切，比较难懂还容易混淆。所以要结合具体的情境探索数的规律特征，把抽象的概念利用数形结合直观显性化，让学生经历自主探究，交流合作的过程，从概念本质上理解和记忆概念，培养学生的抽象思维能力和合情推理的能力。3.与其他版本教材的对比分析此外，笔者还对人教版，苏教版两个教材版本的“倍数与因数”单元知识编排也做了分析，以期能与北师大版教材进行对比分析，深入把握北师大版编者的意图。具体情况如下表所示：表5-2人教和苏教版教材知识编排分析统计表人教版（五下）苏教版（五下）《因数与倍数》《因数与倍数》•认识因数与倍数•认识因数与倍数•找一个数的全部因数•找一个数的全部因数•找一个数的倍数•找一个数的倍数《2、5、3的倍数的特征》《2、5、3的倍数的特征》•2、5的倍数的特征、认识奇数与偶数•3的倍数的特征•2、5的倍数的特征认识奇数与偶数•3的倍数的特征《质数与合数》《质数与合数》•认识质数与合数•认识质数与合数•制作100以内质数表•认识质因数•解决问题：探索和的奇偶性•分解质因数《公因数和公倍数》•认识公因数、公倍数•认识最大公因数•认识最小公倍数《和与积的奇偶性》•和的奇偶性•积的奇偶性通过对三个版本教材的对比分析，不难看出在“倍数与因数”单元主题的核心知识的选择和编排上，三个版本大致相同，都是先学习“倍数和因数”的概念，再分为找倍数和找因数两条线来展开其他内容的学习，而且三个版本都是通过出示乘除法算式，借助算式帮助学生理解倍数和因数的这两个核心概念。但是具体的呈现方式以及对相关内容的择取和编排方式上还存在一些差异。其中，北师大版和苏教版都是结合图形出示0除外的自然数乘法算式，用数形结合的方式帮助学生理解倍数和因数的概念。北师大版根据点子图列出乘法算式，这与二年级学习乘法所用的点子图一脉相承，苏教版则根据方格图来列出乘法算式，这为后面要学习的用小正方形拼摆长方形探索质数的概念做铺垫。这两种方式都强调让学生数形结合，直观地理解倍数与因数的概念。而人教版则是列出了整除的算式和有余数的除法算式，让学生通过给除法算式分类的过程，体会到只有在整数除法中才存在倍数与因数这一对相互依存的概念。这种方式是引导学生从“数的整除”这一根本本质上来理解“倍数与因数”的概念，更加注重概念内涵的逻辑说理。除此之外，北师大版教材从探索2、5、3的倍数特征时就开始渗透公倍数的含义，但却和人教版教材一样把公倍数、公因数放在了《分数的意义》单元中与约分，通分紧密相连。而苏教版教材是把公因数和公倍数放在了“倍数与因数”单元，保持知识的紧密联系。北师大版和人教版教材都删掉了质因数的概念和分解质因数的知识，只在找公因数，公倍数的教材正文末尾之“你知道吗？”部分做了补充介绍。苏教版教材却将质因数，分解质因数放在了《质数与合数》一节中做以专门的学习，可见，苏教版教材对知识内容更多，难度更大。而“和的奇偶性”在人教版和苏教版教材都有单独的学习课时，北师大版则是将其渗透在课后练习中。[1][1]吉欢,严庆丽.小学数学教材“因数与倍数”的比较——以人教版、北师大版、苏教版为例[J].课程教材教学研究(小教研究),2019,(Z3):14-16.从对三个版本的教材分析中，笔者获得以下思路：一是公因数和公倍数本就是倍数、因数知识的直接延伸，应将它们整合到同一个单元内。这样不仅遵循了知识的逻辑发展顺序，还有助于学生建构完整的知识结构，突出知识之间的紧密联系。因此，教师在进行单元主题教学设计时可以参考其他版本的教材编排，依据本班学生的实际情况，进行适当的调整重组，以突出知识之间的结构联系，促进学生迁移应用知识，实现深度学习。二是充分利用点子图、方格图，百数表以及长方形拼图的直观探索活动，数形结合，运用多种数学情境，引导在动手操作活动中，把抽象的概念做直观化的解读，深刻理解概念的内涵和意义。三是可以联系“位值制”，学生学习过的十进制记数法，沟通2、5的倍数特征与3的倍数特征之间的相通之处，利用分小方块的操作活动引导学生体会2、5、3的倍数特征蕴含的数学原理。四是注意引导学生总结反思自己的学习过程和学习方法，积极地对自己的学习过程进行批判反思，不仅学会知识，还要掌握学习知识的方法和过程，提升了自己的学习能力，发展自己的能力素养。4.学情分析（1）了解学生的认知基础学习者在第一学段已学过整数的认识和乘除法运算以及大数的认识、十进制记数法，具备一定的知识基础。本单元主题的学习将进一步扩充学生对“数的认识”，尤其是整数除法的认识。此外，很多学生在课堂教学前已经通过超前学习知道了2、5、3的倍数特征，但是却不知道这样的规律是如何探究出来的，更不懂得其中蕴含的数学原理。同时，五年级学生的认知发展正从具象思维向抽象逻辑思维过渡，还离不开具体形象材料的支撑。学生的数感和抽象推理能力还处在刚刚起步的阶段，这部分概念较多，而且联系紧密，容易混淆，需要教师提供形象直观材料，结合生活经验帮助学生发展数感和逻辑抽象能力。（2）了解学生的典型困惑通过课前对一线教师和学生进行访谈调研，笔者了解到学生学习这部分知识时，容易忽略倍数与因数的范围限制，常常忽略只在0除外的自然数范围内研究倍数与因数这一前提条件。而且，很多学生找因数找不全，遗漏较多。此外，大部分学生还容易混淆质数和合数与奇数和偶数的概念，固然本单元概念紧密且抽象，但也说明我们在初次教学的时候，对这些概念的理解深度不够，学生未能将概念的名称和本质吃透，所以后面容易混淆。课前的检测卷中也显示学生在圈50以内的2、5、3的倍数时都能标示来，但是在50以上的数中标示的倍数却错误较多，说明学生对找倍数的方法掌握地不够熟练，为了节省课堂教学时间，该项活动可以课前布置给学生，自行独立完成，课堂上直接讨论发现的规律即可。因此，通过以上分析，笔者得到以下启示：首先是学生对本单元知识的认知基础较高，大部分学生已经知道一些概念和倍数特征，但是对概念的理解不透彻，不懂得数学知识的探究过程和方法；其次是学生对概念辨析存在困难，需要引起教师的重视；再次是学生往往忽视对具体解决问题的思想方法的反思，不会有序思考，造成解答遗漏。1.2确定单元主题，制定单元学习目标1.确定单元主题综合以上的各项分析，笔者把该单元主题确定为“探究倍数与因数的家族秘密”。本单元主题属于以课标和教材确定的核心内容为线索的跨越教材自然单元的单元学习主题，笔者将北师大版教材第三单元和第五单元的相关知识整合到一起进行单元主题教学，其核心知识是数论部分“数的整除”中的倍数和因数的相关知识。2.确定单元主题的整体学习目标根据对单元整体内容的分析和学情的分析，笔者把本单元主题的整体学习目标确定如下：（一）知识技能：在深刻理解“倍数、因数”概念的基础上，主动探究并理解掌握2、5、3的倍数特征，知道它们的倍数特征蕴含的数学原理，并熟练应用。熟练地找出10以内某数在100内的全部倍数，以及100以内某数的全部因数；选择自己喜欢的方法找出10以内2个数的公倍数以及100以内两个数的公因数。在探究活动中深刻把握奇数和偶数、质数和合数的内涵，并能做出相应判断，整合知识，批判建构关于“倍数与因数”的知识结构。（二）数学思考：在找一个数的倍数与因数的学习活动中发展有序思考的意识与能力；在利用小正方形拼摆长方形的探究活动中结合图示理解质数与合数的内涵，体会数形结合的数学思想，发展因倍意识。并且在探究2、5、3的倍数特征的过程中学会观察、分析、类比与猜测、验证，提升抽象归纳的推理能力，进一步发展数感。（三）问题解决：能熟练找出某数在规定范围内的倍数和全部因数；能找出10以内2个数的公倍数以及100以内两个数的公因数，会判断质数与合数；能联系生活实际，迁移知识到具体情境中解决与倍数、因数有关的实际问题。（四）情感态度：在探索单元知识结构的过程中，体验知识生成的过程，感受数学问题的探索性和挑战性，养成严谨探究和反思总结的学习习惯，学会探究，善于总结反思，体会数学推理的严密逻辑性和趣味性。1.3重组教学内容，规划单元学习序列1.调整课时内容，设计课时序列笔者参考袁晓萍[1]袁晓萍，基于统整理念的单元整体教学[1]袁晓萍，基于统整理念的单元整体教学/v/15912813982405?ch_source=10018268&utr=10018268,40832,815880,29460表5-3课时内容序列安排表课时课型课时序列第1课时单元起始课倍数与因数第2课时主题活动课2，5倍数的特征第3课时主题活动课3的倍数特征及数学原理第4课时主题活动课找因数、质数第5课时主题活动课找最大公因数第6课时主题活动课找最小公倍数第7课时自主整理课有联系的倍数与因数第8课时专题练习课典型题目分析与练习第9课时单元创意作业小小侦探员2.分解到每个课时的学习目标，如下表：表5-4单元主题课时学习目标统计表课时课题名称学习目标第1课时《倍数与因数》1.依托生活情境，结合自然数乘法算式认识倍数与因数，深刻理解并掌握倍数与因数的概念内涵，体会倍数与因数相互依存的关系，阅读梳理本单元的教材，整体感知本单元的知识结构。2.探究并掌握找倍数的方法，能找出某数在特定范围内的所有倍数。3.在探索思考数学知识的过程中，学会归纳，概括，感受数学知识的相互联系，养成乐于思考的良好品质。第2课时《探索2、5的倍数的特征》1.积极参与探究2、5的倍数特征的活动，归纳它们的特征，理解并掌握2、5的倍数的特征，能依据所学知识准确判断一个数是否为2、5的倍数。2.结合实例从概念本质体会奇数、偶数的内涵，能判断一个非零自然数是奇数还是偶数。3.学会观察，猜想，证明，得出结论的归纳推理方法，提升观察、分析、抽象概括的能力，养成探索求真的科学精神。第3课时《探索3的倍数特征及数学原理》1.通过观察、猜想、验证的合情推理方式，发现3的倍数的特征，体悟探究数学规律的方法过程。2.经历分小方块的操作活动，能从位值制的角度理解3的倍数特征蕴含的数学原理，并将其迁移回望2、5的倍数特征的数学原理。3.在活动中形成敢于质疑、积极探索、追求真理的科学精神，发展探究能力。第4课时《找因数、质数》1.在用小正方形拼长方形的探究活动中，理解并掌握找因数的方法，发展有序思考的意识和能力，同时变换小正方形的数量，利用表格将三种变量的关系呈现出来，深入分析表格数据，在此过程中体会质数与合数的含义。2.能不重不漏地找出某个100以内的非零自然数的所有因数，能对一个数做出是质数还是合数的判断。3.在探究的过程中体验质数与合数的丰富含义，了解质数与合数的发展历史及其与生活的紧密联系，感受数学文化的魅力。第5课时《找最大公因数》1.在情境活动中发现两个数的相同因数，理解公因数和最大公因数的含义，知道公因数的数量限制，只有一个最大公因数。2.在情境活动中积极思考，探究找两个数的公因数的方法，能熟练找出两个数的公因数和最大公因数，知道并掌握一些特殊数组找最大公因数的简便方法，了解互质数的含义。第6课时《找最小公倍数》1.在解决生活实际问题的过程中，体悟公倍数的内涵，掌握公倍数和最小公倍数的概念含义。2.能熟练地用列举法等方法找出两个数的公倍数和最小公倍数，理解公倍数的特征，知道并掌握一些特殊数组求解最小公倍数的简便方法。3.经历探究交流的过程，体会数学学习的乐趣，增强学习数学的信心。第7课时《自主整理课》1.通过自我回忆、整理和反思把握知识之间的紧密联系，将本单元知识梳理成结构网络图。2.在交流分享的过程中丰富对知识结构的认识，弥补个体认知的局限。3.通过创意整理，绘图的实践活动，养成自主总结反思的学习习惯。第8课时《专题练习课》自主整理本单元的易错题，典型题和重点题目，分析其中蕴含的知识逻辑和方法思路，总结反思自我质疑纠错的过程，强化对知识的深度理解。第9课时《单元创意作业》联系生活实际，利用倍数与因数的知识，破译密码，设计侦探破案的故事情节，以有趣，丰富的形式实现知识的迁移和灵活运用。1.4精设学习活动，深度思考核心内容第1课时：单元起始课《倍数与因数》（1）创设情境，引入新课。两对母女去买围巾，每人一条，却只买了3条。谁知道这是什么原因？设计意图：抛出疑问，引起大家讨论，体会身份，尤其是双重身份之间的依存关系。（2）主动探究，理解概念出示3×3=9和4×9=36的点子图，让生列出算式，师联系开课情境介绍3×3=9中的倍数与因数关系，引导学生自主尝试说明4×9=36中的倍数与因数关系，体会数学中双重身份的相互依存关系。再通过利用数字卡片“找朋友”的游戏，练习说明“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。 3×3=94×9=36设计意图：联系情境，通过直观图示，引导学生简单经历倍数与因数的概念形成过程，深刻理解概念。尤其是开课的情境能帮助学生迁移生活经验，形象理解倍数与因数之间的相互依存关系。数字卡片“找朋友”的游戏把枯燥静态的练习变得生动有趣起来，让学生在新鲜有趣的活动中掌握倍数与因数的描述方法。（3）小组合作探究如何找出100以内7和9的倍数，交流，相机板书各组的方法和过程。引导学生观察探究过程，从一个数的倍数的数量，有无最大，最小的倍数这三个方面思考一个数的倍数的特点并交流总结。设计意图：小组合作学习让学生自主探究找倍数的方法，发现其中的规律，并尝试清晰表达思考的过程，这切合课标要求的教学要重视积累基本活动经验。（4）学习了这些与“倍数与因数”有关的知识，你还想知道哪些和“倍数与因数”有关的知识？请阅读课本，找出本单元的全部知识。设计意图：自行阅读了解本单元的学习内容，对单元知识进行全面的觉知，初步感知“倍数与因数”单元的整体知识结构，能让学生在新授环节就建立起结构整体的观念意识，以整体的眼光开展后面的学习。第2课时.主题活动课《探索2、5的倍数的特征》（1）课前游戏，导入新课。生说数，师判断其是否为5的倍数，通过快问快答激发学生探究5的倍数特征的欲望。（2）合作探究，理解新知①出示百数表，让学生用自己手中的百数表标示5的倍数，仔细观察，并在同桌之间互相交流自己的发现。通过观察，猜想和验证等合情推理活动，在交流中总结5的倍数的特征。（3）师出示“旅行大冒险”第二关——摸着石头过河，只有踩着5的倍数的石头才能顺利过河，引导学生巩固5的倍数的特征。设计意图：创设冒险过关的游戏活动，引导学生在轻松有趣的氛围中巩固强化5的倍数特征。（4）全班同学依据自己学号的单双数手持学号卡片，分别从前门和后门走出教室。观察从后门走出教室的双数学号卡片，它们有什么特征？利用百数表开展探究2的倍数特征的学习活动。设计意图：静坐听来的知识学习效果不如自己动手动脑做出来，发现得来的知识学习效果。让学生动起来，迁移刚刚探究5的倍数特征的学习经验，自主发现2的倍数特征不仅有利于他们深度理解知识，还能带领他们重温知识的探究过程，掌握学习的方法。（5）课堂练习巩固，教师给学生换发新的数字卡片，教师宣布手持2的倍数的同学为第一批中奖幸运儿，手持5的倍数特征的同学为第二批中奖幸运儿，采访中奖同学是怎么判断的，采访其他没中奖的同学没中奖的原因。设计意图：利用学生感兴趣的数字卡片来进行兑奖活动，继续巩固课堂所学，让学生在活动中说理，增加知识学习的趣味性和记忆点，促进对知识的深化理解。第3课时.主题活动课《探索3的倍数的特征及其数学原理》（1）创设情境，导入新课。宣布第三轮中奖号码为3的倍数，请你判断自己是否得奖？对于学生来说这稍有困难，学生会迟疑。师继续引导学生说出更大的三位数，四位数，教师快速判断其是否为3的倍数，引导学生探究3的倍数特征。（2）自主探究，小组交流。1.在百数表中标记3的倍数，观察并猜想3的倍数具有哪些特征，把猜想记录在学习单上，讨论交流。2.展示交流，质疑总结（对只看个位的猜想进行举例验证）3.讨论交流，展开对“3的倍数各个数位上的数字之和也是3的倍数”这一猜想的证明，交流得出结论。（3）刨根问底，探寻本质判断2和5的倍数只看个位，3的倍数要看各个数位数字之和，这是什么原因？它们背后的数学原理是什么？有无相通之处？我们先来看一个数字234，从位值制的角度看它，它是由几个百？几个十？几个一组成的？234=2×100+3×10+4×1先将100分成3个一份，能到分成33份余1个，有2个100就余下2个；再将10分成3个一份，能分成3份余1个，有3个10就暂且余下3个；最后再算上各位上的4，所有余下的数是：2+3+4=9。用算式表示为：234=2×100+3×10+4×1=2×（33×3+1）+3×（3×3+1）+4=2×33×3+3×3×3+2+3+4微课展示分小方块的过程，师引导学生感悟总结，个位除外的每个计数单位，例如：十，百，千，万等除以3都会余下1，有几个这样的计数单位就会余下几，把这些余下的数与个位上的数相加恰好就是一个数各个数位上的数字之和。和若是3的倍数，这个数就是3的倍数。（4）迁移方法和经验，尝试说明2、5的倍数特征的本质原因。师引导学生从位值制的角度探讨每个计数单位除以2或5都没有余数，所看个位就能判断2、5的倍数。（5）总结以上的探究方法，你学会了什么？请试着用这种方法探究9的倍数的特征。设计意图：利用位值制理解3的倍数的本质特征意在加强和前一节的2、5的倍数的特征的学习的联系，形成通法教学，抓住知识的本质特征，实现统整教学有助于学生深化对知识的理解，发展学生的深度思考能力和联系迁移的能力。第4课时.主题活动课《找因数、质数》（1）问题导入，组织探究活动，促进思考引出探究问题，将12个小正方形拼成一个长方形，有哪些拼法？画一画，并与同伴分享。组织学生在全班分享自己独特的拼法。预设有三种。引导学生用以下的方法来表示长方形的长与宽。预设生1：2×6=12预设生2：1×12=12预设生3：3×4=12仔细观察，拼出的长方形的长和宽与长方形的面积有什么关系？引导学生从乘法算式中找出12的因数，并总结找因数的方法。（2）变式练习，用自己喜欢的方法找出15，18.6，21的因数。组织学生交流分享找到的因数和采用的方法，发现利用除法算式也可以找因数。对比几位学生的解答过程，引导学生通过有序思考，按从小到大或从大到小的顺序写出乘法或者除法算式找因数，可以不重不漏地全部找出。观察15和21的因数，联系一个数的倍数的规律，总结自己的发现。设计意图：此处故意设计了18.6作为陷阱来考验学生对倍数与因数的讨论范围的掌握情况，由课前调研得知，很多学生学到后面会忽视只在0除外的自然数范围内讨论倍数与因数，此处故意设置陷阱，深化学生对大前提的掌握程度。此外，鼓励学生用不一样的方法找因数，也体现了解决问题方法的多样性。此外引导学生讨论有序思考的思想方法，这不仅教会了学生表面的数学知识，还教会学生背后隐含的重要数学思想，有益于发展学生的核心素养。让学生联系一个数的倍数的规律，自主从因数的个数，最大和最小的因数三个方面总结一个数的因数的规律，体现了知识方法的迁移。（3）小组合作探究用2-11个小正方形拼长方形，每种数量可以拼出多少个长方形？分组合作，完成如下表格，仔细观察表格谈谈你的发现。表5-5小正方形拼摆长方形的结果统计表小正方形个数（n）能拼成几种长方形n的因数23456789101112师引导学生交流自己的发现，从中引出质数与合数的概念，引导学生将0除外的自然数按因数的个数不同进行分类。设计意图：五年级学生的认知特点是他们的抽象思维能力处在起步阶段，学习一些抽象的概念还是离不开具体直观形象材料的支撑。通过利用小正方形拼摆长方形这种动手操作的方式，化抽象为直观，让学生利用数形结合的方式深刻理解质数与合数的概念内涵，也学会了找质数的方法。第5课时.主题活动课《找最大公因数》（1）寻人启事，活动导入。寻找学号是12和18的因数的同学，请他们分列站到套圈的两队中，学生发现1、2、3和6号同学茫然无措。设计意图：利用数字卡片找因数寻人，通过站队，就能发现12和18的公共因数，把抽象的数学概念，利用情境活动直观表示出来，帮助学生理解。（2）聚焦困惑，感知概念。讨论1、2、3、6号同学困惑的原因，引出“公因数“和”最大公因数“的概念，总结方法。（3）模仿练习，探究多元方法。用你喜欢的方法找出18和24最大公因数。通过分享交流，总结出找最大公因数的常用的“列举法、筛选法、图示法”三种方法。联系12和18的公因数，从两个数的公因数的数量，最大和最小的公因数三个方面归纳出其中的规律特征。（4）巩固练习，探究特殊数组找最大公因数的简便方法。分小组选择题目，用自己喜欢的方法找出下面几组数的最大公因数。①12和1324和2580和81②12和2420和4018和36③16和2432和489和30（5）观察每一问中的三组数有什么共同特征？求解它们的最大公因数有什么规律？通过交流分享得出，相邻的两个自然数最大公因数为1，只有一个公因数1的两个数叫做互质数；成倍数关系两个数的最大公因数是其中较小的数；设计意图：通过对特殊数组求解公因数，发现找特殊数组公因数的简便方法，熟练掌握方法，提高解题效率。（6）联系实际，迁移应用。独立解答，在长20分米，宽18分米的长方形地面上铺正方形的地砖，应该买边长为多少的正方形地砖能刚好铺满？设计意图：回归真实的生活情境，帮助学生深度理解所学的公因数的知识，灵活迁移所学知识解决实际问题。第6课时.主题活动课《找最小公倍数》（1）创设情境，导入新课师：出示8月份的日历，妈妈每3天休息一次，爸爸每5天休息一次，7月31日，爸爸妈妈共同休假带明明出外游玩，8月份爸爸妈妈在哪一天还可以一起带明明出外游玩？设计意图：利用真实的生活情境激发学生探究新知的好奇心和求知欲，从生活情境中挖掘出数学知识，引导学生在问题情境中积极思考，深度探究，能帮助学生从情境中深度理解概念，深刻体会概念的内涵。（2）操作探究，理解新知师出示8月份的日历，让学生用Ｏ标示妈妈休息的日期，用标示爸爸休息的日期。从而找出他们共同休息的日期，在此基础上仔细观察标示的这些日期和什么有关系，共同休息的日期呢？经过这一系列的探究活动，引出公倍数的概念，再次追问8月只有31天，所以只能找到两个3和5的公倍数，若是范围扩大到50，100还有哪些公倍数？思考，3和5有最小公倍数吗？有没有最大公倍数呢？经过讨论明确只有最小公倍数，没有最大公倍数。设计意图：贴近学生的生活实际引出的探究问题最能激发学生的探究兴趣，在探究中学生能重温概念产生的简约过程，自主自发地想到提出一个概念，这就是概念教学最好的方式，学生对概念的来龙去脉了解地很清楚，对概念的理解也会很深刻。（3）探究特殊数组求解最小公倍数的简便方法。①12和1324和2580和81②12和2420和4018和36③16和2432和489和30通过合作探究，交流分享，引导学生总结出特殊数组找最小公倍数的简便方法。设计意图：联系上节课发现的特殊数组找最大公因数的简便方法，再次探究它们找最小公倍数的简便方法，强化训练找两个数的最小公倍数的方法和过程，实现知识之间的迁移和联系。（4）回归生活实践，迁移应用。有一些水果需要分装，12个装一盒，或者10个装一盒都能正好装完，这些水果有多少个？设计意图：联系生活实际，帮助学生迁移知识，解决真实情境中的复杂问题，提高学生迁移知识，解决问题的能力。第6课时.自主整理课（1）课前学生自主完成创意的单元主题知识整理作品.（2）课堂上请学生分享交流，说明自己的设计意图，作品意义和创新之处。同学们互相评价并提出修改意见，（3）课后，将学生的作品集结成册，上传班级数学知识库，创办班级数学小报，进行公开展示。第7课时.专题练习课（1）整理本单元做过的错题，挑选你认为其中最容易出错的三道题，写出出错原因，和正确的解题思路，请你想个好办法帮助大家克服这个易错点。（2）课堂上请小老师分享自己的错题集，大家互相交流补充，共同破解难题。（3）将票选最高的五道易错题列入本单元的知识库中，为学期末的复习准备资料。第8课时.单元创意作业布置学习任务，请学生分小组合作完成单元创意作业《小小侦探员》。具体要求是利用本单元学习到的与倍数和因数有关的知识，设计“小小侦探来破案”的侦探悬疑剧情，在其中设计猜数，破译密码的侦探考验，帮助学生将输入的知识顺利输出。1.5设计评价方案，反思主题学习效果单元主题教学的评价将采取“师、生、自我”这样主体多元的评价方式，以及形成性评价与总结性评价这样形式多样的评价方式，充分发挥评价的激励改进作用。具体方式如下：表5-6倍数与因数评价方案表课时序号评价目标评价活动评价标准评价工具和方式1通过看点子图列算式，发现乘法算式中的倍数与因数关系，理解倍数与因数的概念，提高观察、分析能力。1.观察课前故事是否能激发学生探究数学中的双重身份的兴趣。2.观察学生能否根据点子图列出乘法算式，并正确描述一组数之间的倍数因数关系。3.关注学生能否找到一个数的倍数，知道倍数的特征。1.进入故事情境，积极参与讨论。2.快速列出算式，根据例题正确描述一组数中的倍数与因数关系。3.知道倍数与因数是相互依存的，4.能找出某数在百以内的倍数。课堂观察、自主学习单、课堂提问、展示分享2在探究2、5倍数特征的过程中，学会观察，猜想，验证猜想，得出结论的归纳推理方法，提升观察、分析、抽象概括的能力。养成探索求真的科学精神。1.关注学生是否积极参与倍数特征的探究活动中并通过交流分享得出结论。2.关注学生能否利用发现的倍数特征准确判定一个数是否是它们的倍数。3.关注学生是否能根据课件演示的小方块，从位值制的角度理解2、5、3的倍数特征蕴含的数学原理。1.通过在百数表里圈画2、5的倍数并经历观察猜想和分析验证探究出2、5倍数特征。2.能有效识别一个数是否是2、5的倍数。3.体会奇数与偶数内涵，并会判断。4.能从位值制的角度理解倍数特征蕴含的数学原理。课堂观察、自主学习单、课堂提问、课堂测验练习、分享展示3通过观察，猜想和分析验证，探究得出的3的倍数特征，掌握科学探究的方法，了解2、5、3的倍数特征的本质原因。提高观察、分析、归纳和概括的能力和质疑问源，追求真理的精神。1.关注学生能否积极参与合作探究，通过观察分析和推理得出3的倍数特征。2.关注学生能否结合分小方块的过程从位值制的角度体会2、5、3的倍数特征蕴含的数学原理。3.关注学生能否根据利用位值制分析一个数是否为2、5、3的倍数的根本原因。1.学生能通过推理探究过程发现3的倍数特征，依此进行有效判定。2.学生能理解3的倍数特征的本质原因。3.学生能从位值制角度分析一个数是2、5、3的倍数的本质原因。课堂观察、自评和互评表、学习单、提问、课堂展示、课后访谈4在探究1—12个小正方形分别可以拼成几种长方形的过程中学会找因数的方法，把握质数与合数的本质特征，学会观察、分析、归纳等