河北省2026届高三上学期大数据应用调研联合测评（Ⅳ）数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北省2026届高三上学期大数据应用调研联合测评（Ⅳ）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x∣−8≤xA．−3,−2,−1 B．2．双曲线x24−A．y=±22x B．y=3．已知复数z是虚部为正数的纯虚数，且满足z+2z=−A．1 B．2 C．1或2 D．34．已知函数fx=2sin2x+φφA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．已知长方体ABCD−A1BA．22 B．23 C．3 6．在边长为2的等边△ABC中，点P为△ABA．1 B．3 C．2 D．37．已知fx为定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x−A．m≤0 B．0<m<18．2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（JoshuaZahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过180°后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆O半径为2，点A,B为圆O上两点，且AB=23，则线段AB旋转A．10π3−3 B．8π3二、多选题9．已知正实数a、b满足a+b=A．b>12 B．C．a+b的最小值为2 D．存在a、b10．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为aA．A=π6 B．若C．当m=−1时，2b=11．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B，且C的离心率为3A．bB．当t=2时，△C．当t变化时，直线QP与直线QD．存在t，满足E三、填空题12．若随机变量X∼B10,13．已知数列an为等差数列，Sn为an的前n项和，若a314．若a>0，且关于x的不等式alnx−四、解答题15．如图，在三棱锥A−BCD中，AP⊥平面BCD，(1)求证：平面ABC⊥(2)求直线AC与平面A16．已知数列an满足a(1)求证：数列1an−(2)设数列an的前n项和为Sn,x表示不大于17．在某直播平台上购物成为了很多人最喜欢的购物方式．近日该平台发现新上平台的商品M经常收到买家投诉，于是进行调研分析，发现购买商品M的只有青年18≤年龄≤44和中老年（年龄>44）两类购买者，从所有购买商品M的买家中，随机抽取青年购买者和中老年购买者各100人，给商品M打分给商品M打分区间0369青年购买者5354515中老年购买者3540205(1)请根据表格数据，估计青年购买者打分的平均数和中老年购买者打分的中位数（每组数据以区间中点值为代表）；(2)若购买者打分在区间8,①根据表格数据，将频率视为概率，从商品M的所有购买者中随机抽取一名购买者，记事件A=“该购买者为青年购买者”，事件B=“该购买者为满意顾客”，计算②请利用表格数据补充完整下列2×2列联表（注：区间频数若不是整数，四舍五入后保留整数），并依据小概率值α=满意顾客不满意顾客合计青年购买者100中老年购买者100合计200附：χ2α0.0500.0100.001x3.8416.63510.82818．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，且与(1)当直线l的斜率为1时，求EA(2)是否存在常数λ，使得PE2=(3)求证：∠A19．已知函数fx=x(1)求函数fx(2)若函数fx有三个零点x1,①求实数m的取值范围；②求证：x1答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河北省2026届高三上学期大数据应用调研联合测评（Ⅳ）数学试题》参考答案题号12345678910答案CDABCBBCACBC题号11答案AC1．C【分析】求出集合A={【详解】集合A=x∣所以A∩故选：C．2．D【分析】求出双曲线x24−y28=【详解】因为双曲线的方程为x24−所以双曲线的实半轴长为a=2，虚半轴长为b=所以渐近线方程为y=故选：D．3．A【分析】设z=bib∈R,b>0，代入【详解】设z=bib∈R,即b−2bi=解得b=1或－2，因为b>0，所以故选：A．4．B【分析】根据函数fx的图象的一条对称轴为x=π3，求出φ=−π6或【详解】由函数fx的图象的一条对称轴为x=π解得φ=−π6+kπ因此“函数fx的图象的一条对称轴为x=π故选：B．5．C【分析】设长方体的外接球半径为R，且AB=x,A【详解】设长方体ABCD−A因为外接球表面积为7π，故4πR又因为AA1=2，可得所以该长方体的体积V=2x所以长方体ABCD故选：C．6．B【分析】设内切圆圆心O，将PA、PB、PC分解为从O出发的向量；利用等边三角形“重心与内心重合”的性质，简化向量和为-【详解】设点O为内切圆圆心，则PA则PA因为△ABC是等边三角形，故点O故OA+O由等面积得12×6故PA故选：B7．B【分析】根据偶函数的性质和函数解析式画出图像，然后结合方程的6个根求出结果即可.【详解】设t=fx,ft=m，由于函数当0<m<1时，函数y=fx的图象与直线y故四个方程t1故方程ffx=故选：B.8．C【分析】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积，求出点O到AB的距离d，故线段AB旋转过程中始终与以O为圆心，1为半径的小圆相切，记旋转前和旋转后的切点分别为M,N，求出矩形ABA′B′的面积，从而得到S1的面积；求出等边三角形OAB′【详解】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积，点O到AB的距离d故线段AB旋转过程中始终与以O记旋转前和旋转后的切点分别为M,N，矩形AB故S1=43−扇形OAB′的面积为1三角形OAB的面积为扇形OAB的面积为12故阴影部分面积S=故选：C．9．AC【分析】由a+b=2ab得a=b2【详解】由正实数a、b满足a+b=又因为b>0，解得由已知条件及a+b≥2a当且仅当a=ba由已知条件及2ab≤a+当且仅当a=ba由a+b=则a+当且仅当4ba=故选：AC．10．BC【分析】利用辅助角化简得到3sinA+cosA=2sinA+π6=2，求解得到由三角恒等变换得到tanB1tanA+1tan【详解】对于A，3sinA+因为0<A<π，故π6对于A，由对A选项的分析可知，当△ABC为等腰三角形时，△ABC为等边三角形，故对于C，当m=−1结合余弦定理a2=b2+c2对于D，由tanB1tanA+1tanC=sinB故a=73b,故b2ac故选：BC．11．AC【分析】求出椭圆左右顶点坐标，结合椭圆方程及离心率逐项分析判断.【详解】对于A，依题意，A(−2,0),B(2,对于B，当t=2时，点P(2,2)，线段A△ABQ对于C，设Q(x1,y1)，则yk2=y对于D，假设存在t，使得EQ=EB，由E为线段PB因此假设不成立，即不存在t，使得EQ故选：AC12．9【分析】直接利用公式求解，即随机变量X∼Bn,p【详解】由于随机变量X∼B10因此E2故答案为：913．2027【分析】利用等差数列性质得到a3+a【详解】由等差数列性质知a3则a3故答案为：202714．1【分析】先化简不等式得到在x>0时，lnxx−1aexx−1a≤0【详解】因为a>0,所以不等式alnx−设fx=ln令f′x>令f′x<故fx在区间0，e故fx设gx=e令g′x>令g′x<故gx在区间0,1故gx因为lnx所以1e≤1故答案为：115．(1)证明见解析；(2)55【分析】（1）由AP⊥平面BCD得到AP利用直线和平面垂直的判定定理得到CD⊥平面ABC，利用平面和平面的判定定理得到平面（2）由BC⊥CD得到以点C为坐标原点，以CD，CB所在直线分别为x轴，y轴，建系，写出点的坐标，求出CA和平面ABD利用数量积公式求出sinθ=CA⋅【详解】（1）因为AP⊥平面BCD，CD因为∠BCD又因为AP∩BC=P,又因为CD⊂平面ACD，所以平面（2）因为BC⊥C以CD，CB所在直线分别为x轴，则C0CA=0设平面ABD的法向量为则BA⋅n=0,B故平面ABD的一个法向量为设直线AC与平面ABD则sinθ即直线AC与平面ABD16．(1)证明见解析，a(2)1【分析】（1）根据题意，化简得到1an+（2）由（1）得an=11+2n【详解】（1）解：由数列an满足a可得1a又由1a1−所以1an−1=2n（2）解：由（1）知：an所以Sn<1因为a1+a2+17．(1)平均数6.6，中位数4.125(2)①725；②表格见解析，认为对商品M【分析】(1)由频数分布表，先求出各组的频率，再求它们与对应组的区间中点值的积的和即为所求平均数，先判断中位数所在区间3,(2)先根据频数分布表求出PB=524，PA【详解】（1）由表格数据可知青年购买者打分的平均数t=由数据可知中老年购买者打分在区间0,6内的频率为35+40100=0.75（2）“假设各组数据在对应的区间内均匀分布”，①由题意知PBPA因此PA②由表格数据知“满意的青年购买者”的人数为13×45+15满意顾客不满意顾客合计青年购买者3070100中老年购买者1288100合计42158200零假设为H0：对商品Mχ根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断即认为对商品M是否满意与购买者群体有关，此判断犯错误的概率不超过0.01．18．(1)4(2)存在，1(3)证明见解析【分析】（1）设A,B两点坐标分别为x1,y1,x2,y2（2）设直线l的方程为y=kx−1，联立抛物线消去x得ky2−（3）证明EA⋅E【详解】（1）设A,B两点坐标分别为x1,y1,x2联立y=x−1,y2故x1=3+2故EA故EA（2）存在，理由如下：由题可知，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为y=联立y=kx−1y1由题意知点P坐标为0,−kPA=1故λ=1所以存在满足题意的常数λ，且λ=（3）证明：EA故EA显然E,A,19．(1)单调递减区间为−∞(2)①0,【分析】（1）先求导函数f′x，因为x=2是函数fx的一个极值点，所以f′2（2）①由（1）知函数fx的单调递减区间为−∞,0,2,+∞，单调递增区间是0,2分别验证函数fx有三个零点时，必有0<m