江西省部分省示范高中2025-2026学年高三一轮复习摸底监测数学试题（解析版）

第1页/共1页高三数学考试时间：120分钟满分：150注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.高二（1）班某宿舍6人中每个同学的身高（单位：cm）分别为170，168，172，172，175，176，则这6人的身高的40%分位数为（）A.168 B.170 C.172 D.171【答案】C【解析】【分析】根据百分位数定义计算求解.【详解】高二（1）班6人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，把这6人的身高从小到大排列为：168，170，172，172，175，176，因为，所以第3个数据为这6人的第40百分位数，即这6人的第40百分位数为172．故选：C.2.已知集合，，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，分、两种情况讨论，根据，可得出关于的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.【详解】因为，且.若，则，满足；若，则，此时，因为，所以，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.3.已知，求的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用和差化积公式求得正确答案.【详解】利用及和差化积公式可得：，两式相除可得：.故选：D4.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，逐个分析判断，即可得解.【详解】由图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，且时，.对于A，由，，则，所以为偶函数，不符合题意；对于B，由，，则，所以为奇函数，且时，，符合题意；对于C，由，则，不符合题意；对于D，由，则，不符合题意.故选：B5.已知为所在平面内的一点，，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算法则求解即可.【详解】因为为的中点，所以，又，所以.所以.故选：A6.平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】设点，可得出，分、两种情况讨论，化简可得出点的轨迹方程.【详解】设点，因为平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则，当时，则有，即，等式两边平方整理可得；当时，则有，即，等式两边平方可得.综上所述，点的轨迹方程为或.故选：D.7.函数在上的值域是，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据求出，根据f(x)在上的值域是可知，据此即可求出ω的范围.【详解】，，则，要使f(x)在上的值域是，则.故选：C.8.设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用导数法求得的单调递减区间为，再利用导数法求得函数的单调递增区间为，进而利用“缓减区间”的定义得的“缓减区间”为，逐项判断即可．【详解】由题意得，又，由，得，解得，即的单调递减区间为．设，则.由得，即，又，则，解得，即的单调递增区间为．由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为，而是的子集，是“缓减区间”；不是的子集，不是“缓减区间”；是的子集，是“缓减区间”；是的子集，是“缓减区间”．故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，下列说法正确的是（）A. B.若，则C. D.若，则为纯虚数【答案】ACD【解析】【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘方运算即可判断选项D.【详解】设，对于A，由，则，而，则，故A正确；对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误；对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确；对于D，由，则，而，可得，则，则为纯虚数，故D正确．故选：ACD10.已知，则（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】应用赋值法分别计算及化简判断各个选项即可.【详解】令，得，A错误．令，得①，B错误．令，得②，由①-②得，C正确．令，得，则，D正确．故选：CD11.若数列满足（为常数），则称数列为“调和数列”．已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（）A.若，且，则B.若，则C.若中各项均为正数，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据定义数列为“调和数列”，即数列是等差数列，利用等差数列通项公式即可判断A，利用等差数列的性质有，进而得即可判断B，利用等差数列的性质有，结合基本不等式即可判断C，由得，令利用导数研究单调性得，令，得，利用等差数列前项求和公式即可判断D.【详解】对于A，由，所以，所以，所以是以为公差，首项为的等差数列，所以，故A正确；对于B，由数列是等差数列，所以，所以，即，故B错误；对于C，由数列等差数列，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，当时，所以，所以，令，所以，令，解得，由，所以在单调递减，在单调递增，所以，即在恒成立，令，所以，即，所以，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果.【详解】设等比数列，，的公比为，则等比数列为，不妨设调整顺序后的等差数列为，则，∵，∴，解得或（舍），令，则，，∴满足条件的一组，，的值依次为.故答案为：（答案不唯一）.13.已知函数，若方程在上有解，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】通过令，得到，再令，得到在上有解，进而结合求根公式即可求解.【详解】由题意得：方程在上有解即在上有解，令，即在上有解，令，当且仅当时取等号，即在上有解，因为，即有解，且大根为，由题意，即，当，即时，成立，当，即时，等价于，解得，又，所以，综上所述：实数的取值范围为14.某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占，进而由对立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占，在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，则小张决定采购该企业产品的概率；故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列中，．（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）将变形为，进而利用等比数列定义证明即可，最后利用等比数列通项公式求解数列的通项公式；（2）结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求和即可.【小问1详解】由，可得，所以数列是首项和公比均为5的等比数列，所以，即．【小问2详解】因为，所以．16.某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”.（1）以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望；（2）列出列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关?（3）若按照宣传方法进行分层抽样，从这84人中随机抽取14人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“有点了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人的概率.附：，.0.050.010.00500013.8416.6357.87910.828【答案】（1）分布列见解析，（2）列联表见解析，有关（3）【解析】【分析】（1）由题意可得采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，进而得到，再根据二项分布的概率公式及期望公式求解即可；（2）由题意求出列联表，再计算出即可判断；（3）先确定抽取的14人中采用宣传方法一宣传且了解程度为“有点了解”和采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人数，进而结合条件概率公式求解即可.【小问1详解】依题意可得，采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，所以，则，，，所以的分布列为012则【小问2详解】由题意，列联表如下：宣传方法了解程度合计有点了解比较了解方法一123042方法二241842合计364884零假设：宣传效果与宣传方法无关.经计算得，所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即可以认为宣传效果与宣传方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.【小问3详解】14人中，采用宣传方法一宣传且了解程度为“有点了解”的有人，采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的有人，记事件表示“第一次抽到‘有点了解’的人”，事件表示“第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为‘有点了解’的人”，则，，所以.17.如图1，在梯形中，，且，沿对角线将折起，使得点到点位置，且平面平面，如图2.（1）求证：；（2）求三棱锥的外接球的体积；（3）求平面与平面夹角余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）在梯形中证得，再利用面面垂直的性质推理得证.（2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设出球心坐标，利用空间两点间距离公式建立方程组求出球半径，再利用球的体积公式求解.（3）利用（2）中坐标系，求出平面与平面法向量，再利用面面角的向量法求解.【小问1详解】在梯形中，，取的中点，连接，由，得四边形是平行四边形，则，于是，即，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，所以.【小问2详解】在三棱锥中，在平面内过点作，由（1）知平面，则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得，又，则，设三棱锥的外接球球心为，半径为，则，即，解得，所以三棱锥的外接球的体积为.【小问3详解】由（2）得，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆与抛物线的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，（为原点）的斜率分别为，，，.（1）求与的方程；（2）证明：为定值.【答案】（1）椭圆的方程为，抛物线的方程为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题设椭圆及抛物线方程可得，，进而求解即可；（2）设直线，，，，，联立直线与椭圆方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，，进而求证即可.【小问1详解】由题意得，则，所以椭圆的方程为.由题意得，则，所以抛物线的方程为.【小问2详解】证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线，，，，，联立得，则，，，所以.联立得，则，所以，，所以，所以为定值.19.已知函数．（1）当时，判断函数在的单调性；（2）当时，证明：不等式在恒成立；（3）若函数的最大值为0，求a的值．【答案】（1）在是增函数（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）求导，根据导数判断即可；（2）二次求导，根据导数与单调性、最值的关系计算即可证明；（3）设最大值点为，则，，结合得，分，，根据题意讨论