2021届湖北省十一校高三下学期3月第二次联考数学试题

鄂南高中黄冈中学黄石二中荆州中学龙泉中学武汉二中孝感高中襄阳四中襄阳五中宜昌一中夷陵中学2021届高三湖北十一校第二次联考数学试题考试时间：3月24日15:00-17:00考试用时：120分钟全卷满分：150分★祝考试顺利★一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1.已知＝(1+2i)=2-i,则复数z＝（）A.-1B.–iC.iD.2+i2.已知θ∈，且sin，则tanθ=(）A.7B.C.D.3.已知等差数列{an}的第5项是（x-＋2y)6展开式中的常数项，则a2+a3=(）A.20B.-20C.40D.-404.下列命题错误的是（）A.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B.设～N(1,2),且P(<0)=0.2,则P(1<<2)=0.2C.线性回归直线=bx+a一定经过样本点的中心（,)D.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高5.设A,B,C,D是同一个半径为6的球的球面上四点，且AABC是边长为9的正三角形，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）A.B.C.D.6.已知非空集合A,B满足以下两个条件：（1)A∪B={1,2,3,4},A∩B=Ø;（2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．则有序集合对（A,B)的个数为（）A.1B.2C.3D.47.直线x-y+1=0经过椭圆＝1(a>b>0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点，交y轴于C点，若,则该椭圆的离心率是（）A.B.C.2-2D.-18.已知函数f(x)=，若m≠n,且f(m)+f(n)=4,则m+n的最小值是（）A.2B.e-1C.4-3ln3D.3-3ln2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球．下面几个命题中正确的是A.如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件B.如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率C.如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是D.如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是10.设函数f(x)=sin(x+)+cos(x+)(>0,|φ|≤)的最小正周期为π,且过点（0，),则下列正确的为（）A.φ=-B.f(x)在（0，)单调递减C.f(|x|)的周期为πD.把函数f(x)的图像向左平移个长度单位得到的函数g(x)的解析式为g(x)=os2x11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点．则（)A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点A1和点D到平面AEF的距离相等12.数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素。如我们熟悉的o符号，我们把形状类似∞的曲线称为“x曲线”。经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点A(-a,0),B(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹C是“∞曲线”．若点P(x0,y0)是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（）A.曲线C关于原点O中心对称；B.x.的取值范围是［－a,a]；C.曲线C上有且仅有一个点P满足|PA|=|PB|；D.PO2-a2的最大值为2a2.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知单位向量,满足|+|=|-2|,则与的夹角为.14.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示，则直方图中的x值为.15.写出一个渐近线的倾斜角为60°且焦点在y轴上的双曲线标准方程.16.已知不等式（2ax-lnx)[x2-(a+1)x+1]≥0对任意x>0恒成立，则实数a的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题10分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.（1)求cos∠ADB;（2)若DC=2,求BC.18.(本小题12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=,BC=2,∠ABC=,四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD,AF=1,点M在线段EF上运动．（1)当AE⊥DM时，求点M的位置；（2)在（1)的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值．19.(本小题12分）已知数列{an}a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N*).（1)求{an}的通项公式;（2)数列｛b%}满足bn=，Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m,k(1<m<k),使得Sk=4Sm2?若存在，求出m,k的值；若不存在，请说明理由。20.(本小题12分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1,2,…,7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．（I)如图1,进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（II)小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为ξ元，其中ξ=|16-4m|.小明改进了高尔顿板（如图2),首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1,2,...,5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为n元，其中η=(n-4)2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由。21.(本小题12分）已知动点P在x轴及其上方，且点P到点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.（1)求点P的轨迹C的方程；（2)若点Q是直线y=x-4上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA、QB,其中A、B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标。22.(本小题12分）已知函数f(x)=在x=2时取到极大值.（1)求实数a、b的值；（2)用min{m.,n)表示m,n中的最小值，设函数g(x)=min{f(x),x-}(x>0),若函数h(x)=g(x)-tx2为增函数，求实数t的取值范围。2021届高三湖北十一校第二次联考数学参考答案123456789101112CADBDBACCDBCBCDAC13. 14. 15.（答案不唯一）16.17.（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以； ……5分（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得所以BC=5. ……10分18.（1）∵，∴又，平面平面，平面平面，平面，∴平面，以AB，AC，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设则，∵，∴，解得，∴．∴当AE⊥DM时，点M为EF的中点． ……6分（2）由（1），,设平面的一个法向量为，则 ，取，则，易知平面ECD的一个法向量为，∴，∴平面MBC与平面ECD所成二面角的余弦值为. ……12分19.（1）将代入由①，可以得到②，得，所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，当时，当时， . ……6分（2）∵∴.若，即，得.∵∴∴.∴解得，矛盾.∴不存在m,k满足题意. ……12分20.（1）设这个小球掉入5号球槽为事件．掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以（A）．所以这个小球掉入5号球槽的概率为． ……4分（2）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，12．，，，．04812一次游戏付出的奖金，则小红的收益为.………8分小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9．，，，．0149一次游戏付出的奖金,则小明的收益为4-1=3.∵∴小明的盈利多. …12分21.（1）设点，则，即化简得∵∴.∴点的轨迹方程为. …4分（2）对函数设切点，则过该切点的切线的斜率为，∴切线方程为即设点，由于切线经过点Q，∴即设，则是方程的两个实数根，∴， …8分设M为AB中点，∴.∴∴点