高三数学（理）一轮复习习题听课-第七单元-立体几何

第七单元立体几何第40讲空间几何体的三视图和直观图﹑表面积与体积课前双击巩固1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形结构特征①有两个面互相,其余各个面都是;

②每相邻两个四边形的公共边都互相

有一个面是,其余各面是有一个公共顶点的的多面体

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,和之间的部分

侧棱

相交于,但不一定相等

延长线交于

侧面形状

2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等,于底面

相交于

延长线交于

轴截面全等的全等的全等的

侧面展开图

3.三视图与直观图三视图画法规则:长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x'轴、y'轴的夹角为,z'轴与x'轴和y'轴所在平面.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍,平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度,平行于y轴的线段在直观图中长度为

4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=

S圆锥侧=

S圆台侧=

5.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=

锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=

台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=13(S上+S下S上S球S=

V=

常用结论1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=24S原图形,S原图形=22S直观图2.多面体的内切球与外接球常用的结论.(1)设正方体的棱长为a,则它的内切球半径r=a2,外接球半径R=3(2)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球半径R=a2(3)设正四面体的棱长为a,则它的高为63a,内切球半径r=612a,外接球半径R=3.正方体的截面情况:三角形、四边形(有菱形、矩形、梯形等)、五边形、六边形.题组一常识题1.[教材改编]一个几何体由5个面围成,其中两个面是互相平行且全等的三角形,其他面都是全等的矩形,则该几何体是;一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周形成的封闭曲面所围成的几何体是.

2.[教材改编]如图7401所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,若图①是正视图,则图②是,图③是.

图74013.[教材改编]已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为.

4.[教材改编]如图7402所示是一个几何体的三视图,正视图是长为2,宽为1的矩形,俯视图是正方形,侧视图是半圆,则这个几何体的表面积是,体积是.

图7402题组二常错题◆索引:不清楚三视图的三个视图之间的长度关系致错;几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准确致误;对几何体与其外接球的结构不清楚致误.5.给出下列说法:①有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱;②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确说法的序号是.

6.一个四面体的三视图如图7403所示,则该四面体的表面积是.

图74037.若某几何体的三视图如图7404所示,则此几何体的体积是.

图74048.某几何体的三视图如图7405所示,则该几何体的外接球的表面积是.

图7405课堂考点探究探究点一空间几何体的三视图和直观图1(1)[2017·南昌二模]一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),12,1,0,绘制该四面体的三视图时,按照如图7406所示的方向画正视图,则得到的侧视图可以为 ()图7406图7407(2)[2017·北京卷]某四棱锥的三视图如图7408所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()图7408A.32 B.23C.22 D.2[总结反思]分析空间几何体的三视图可从以下几方面着手:(1)由三视图中的线是否含有曲线,可确定该几何体是多面体还是旋转体.(2)根据俯视图确定几何体的底面,再根据正视图或侧视图确定几何体的侧面与侧棱的特征,调整虚、实线对应的棱、面的位置,可确定几何体的形状.(3)由三视图还原实物图,要遵循以下三步:①看视图,明关系;②分部分,想整体;③综合起来,定整体.式题(1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图7409所示,则该几何体的侧视图为 ()图7409图74010(2)某几何体的三视图如图74011所示,则该几何体中最长棱的长度为 ()图74011A.33 B.26C.21 D.25探究点二空间几何体的表面积与体积2(1)[2017·渭南质检]某几何体的三视图如图74012所示,则该几何体的体积为 ()A.64 B.644πC.648π D.644图74012(2)[2017·太原模拟]某几何体的三视图如图74013所示,则该几何体的表面积为 ()A.7π3 B.8C.(4+2)π D.(5+2)π图74013[总结反思](1)根据三视图求表面积、体积时,解题的关键是对所给三视图进行分析,得到几何体的直观图.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,求组合体的表面积时要注意重合部分的面积,不要漏算或多算,解决旋转体的表面积问题要熟练应用其侧面展开图的面积公式.(3)求规则几何体的体积,只需确定其底面积与相应的高,而对于一些不规则几何体的体积往往需采用分割法或补形法,转化求解.式题(1)[2017·郑州质检]如图74014是某个几何体的三视图,则这个几何体的体积是()A.2+π2 B.2+C.4+π3 D.4+图74014(2)[2017·长沙一中二模]如图74015,某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及两条对角线,则该几何体的表面积为 ()A.22 B.23C.3 D.4图74015探究点三空间几何体与球的切﹑接问题考向1几何体的外接球3(1)[2017·深圳二调]已知三棱锥SABC中,△ABC是直角三角形,其斜边AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,则该三棱锥的外接球的表面积为 ()A.64π B.68πC.72π D.100π(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥SABC的体积为9,则球O的表面积为.

[总结反思]一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题,解决这类问题的关键是抓住外接球的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.考向2几何体的内切球4(1)在三棱锥PABC中,侧棱PA=PB=2,PC=6,则当三棱锥PABC的三个侧面的面积和最大时,三棱锥PABC的内切球的表面积是 ()A.(3286)πB.(32166)πC.(4086)πD.(40166)π(2)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则S1S2[总结反思]求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点,多面体的各侧面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.强化演练1.【考向1】正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长都等于22,则它的外接球的表面积是()A.16π B.12πC.8π D.4π2.【考向2】在直三棱柱ABCA1B1C1中,BC⊥AC,AC=12,BC=5,若一个球和该三棱柱的各个面都相切,则该三棱柱的表面积为 ()A.60 B.180C.240 D.3603.【考向2】如图74016,已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为 ()A.66π B.C.π6 D.3图740164.【考向1】在三棱锥SABC中,侧棱SA⊥底面ABC,AB=5,BC=8,∠ABC=60°,SA=25,则该三棱锥的外接球的表面积为 ()A.643π B.256C.4363π D.20485.【考向1】长方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球O的球面上,若AB∶AD∶AA1=2∶1∶3,则四棱锥OABCD的体积为.

第41讲空间点、直线、平面之间的位置关系课前双击巩固1.空间图形的公理与定理公理1:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2:过的三点,有且只有一个平面.

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相.

定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角或.

2.空间直线之间的位置关系(1)空间直线共面(2)异面直线所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).

②范围:.

3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内a⊂α有

公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α

公共点直线a与平面α斜交a∩α=A直线a与平面α垂直

有且只有一个公共点(2)空间中平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点或直线两平面平行

公共点两平面相交斜交

有一条公共

垂直

题组一常识题1.[教材改编]共点的三条直线最少可确定个平面,最多可确定个平面.

2.[教材改编]已知直线a与b平行,直线c与b相交,则直线a与c的位置关系是.

3.[教材改编]已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线n满足n⊥β,则n与l的位置关系为.

4.[教材改编]三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,底面边长为2,高为2,M是AB的中点,则直线CM与BC1所成的角等于.

题组二常错题◆索引:忽略公理2的条件致误;对异面直线概念的理解不准确致误;忽视异面直线的取值范围致误.5.若a,b是异面直线,c与a,b都相交,则由这三条直线可以确定个平面.

6.下列关于异面直线的说法正确的是.

(1)若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;(2)若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;(3)若a,b不同在平面α内,则a与b异面;(4)若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面.7.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的条件.(填充分不必要、必要不充分、充要)

8.若一条直线与一个平面所成的角为π3,则此直线与这个平面内任意一条直线所成角的取值范围是课堂考点探究探究点一平面的基本性质1在正方体ABCDA1B1C1D1中,判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)直线AC1在平面CC1B1B内;(2)设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;(3)由点A,O,C可以确定一个平面;(4)由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;(5)设直线l是平面ABCD内的直线,直线m是平面DD1C1C内的直线,若l与m相交,则交点一定在直线CD上.

[总结反思](1)三个公理是立体几何的基础.公理1是确定直线在平面内的依据;公理2是利用点或直线确定平面的依据;公理3是确定两个平面有一条交线的依据,同时也是证明多点共线、多线共点的依据.(2)证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3,证明点在两个平面的交线上,或者选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在该直线上.式题(1)若点P∈平面α,点Q∈平面α,点R∈平面β,α∩β=m,且R∉m,PQ∩m=M,过P,Q,R三点确定一个平面γ,则β∩γ是 ()A.直线QR B.直线PRC.直线RM D.以上均不正确(2)给出下列四个说法:①经过三点确定一个平面;②梯形可以确定一个平面;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.其中正确说法的个数是 ()A.0 B.1C.2 D.3探究点二空间两条直线的位置关系2(1)[2017·东北三省三校联考]已知α是一个平面,m,n是两条不同的直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是 ()A.垂直 B.相交C.异面 D.平行(2)[2017·临汾一模]已知平面α和直线a,b,则下列说法正确的是 ()A.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线平行B.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线不可能垂直C.若直线a,b平行,则这两条直线中至少有一条与平面α平行D.若直线a,b垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直[总结反思](1)要判断空间两条直线的位置关系(平行、相交、异面),可利用定义及公理4,借助空间想象并充分利用图形进行判断.(2)判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来推断;二是利用排除法.式题(1)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使得m与l ()A.平行 B.相交C.垂直 D.互为异面直线(2)设a,b,c是空间中三条不同的直线,给出下面四个说法:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a与b一定是异面直线.其中说法正确的是.(写出所有正确说法的序号)

探究点三异面直线所成的角3(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=BB1,D是CC1的中点,则CA1与BD所成角的大小是 ()A.π3 B.C.π2 D.(2)如图7411,E,F分别是三棱锥PABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为.

图7411[总结反思]用平移法求异面直线所成角的一般步骤:(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角;(2)求角——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角;(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ,若0°<θ≤90°,则θ即为所求,若90°<θ<180°,则180°θ即为所求.式题(1)已知四棱锥PABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为 ()A.13 B.C.33 D.(2)如图7412所示,正三棱锥ABCD的底面BCD与正四面体EBCD的底面BCD重合,连接AE,则异面直线AE与CD所成角的大小为 ()图7412A.30° B.45°C.60° D.90°第42讲直线、平面平行的判定与性质课前双击巩固1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件

结论a∥αb∥αa∩α=⌀a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件

结论α∥βα∥βa∥ba∥α常用结论1.两个平面平行,则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.2.三种平行关系的转化:线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.题组一常识题1.[教材改编]已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线有条.

2.[教材改编]空间四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,且满足DEEA=DFFC,则直线EF与平面ABC的位置关系是3.[教材改编]如图7421所示,长方体ABCDA1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1DC1的位置关系是.

图74214.[教材改编]如图7422,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面AEC的位置关系为.

图7422题组二常错题◆索引:对空间平行关系的相互转化条件理解不够致误;忽略线面平行判定定理的条件致误;应用面面平行的判定定理时忽视“面内两条相交直线”这一条件致误.5.设m,l表示两条不同的直线,α表示平面,若m⊂α,则“l∥α”是“l∥m”的条件.

6.(1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a与α的位置关系是.

(2)已知直线a,b和平面α,β,若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α,β的位置关系是.

(3)若α∥β,直线a∥α,则a与β的位置关系是.

7.下列条件中,能判断两个平面平行的是.

(1)一个平面内的一条直线平行于另一个平面;(2)一个平面内的两条直线平行于另一个平面;(3)一个平面内有无数条直线平行于另一个平面;(4)一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面.课堂考点探究探究点一平行关系的基本问题1(1)[2017·全国卷Ⅰ]如图7423,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是 ()ABCD图7423(2)[2017·济南模拟]平面α∥平面β的一个充分条件是 ()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α[总结反思]解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面:(1)判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件;(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断;(3)举反例否定结论.式题(1)过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 ()A.2条 B.4条C.6条 D.8条(2)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个说法:①若m⊂α,n∥α,则m∥n;②若α∥γ,β∥γ,则α∥β;③若α∩β=n,m∥n,m∥α,则m∥β;④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确说法的序号是.

探究点二线面平行的判定与性质2如图7424所示,在直三棱柱ABCA'B'C'中,M为CC'的中点,N为AB的中点,AA'=BC=3,AB=2,AC=13.图7424(1)求证:CN∥平面AB'M;(2)求三棱锥B'AMN的体积.

[总结反思](1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.式题如图7425所示,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,AD=2BC,E为侧棱PC上不同于端点的任意一点.若PA∥平面BDE,求CEPE的值.图7425

探究点三面面平行的判定与性质3如图7426,在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中,AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AD∥BC,BC=2AD.请在图中作出平面α,使得DE⊂α,且BF∥α,并说明理由.图7426

[总结反思]证明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的定义或判定定理;(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β);(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).式题已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AD∥BC,AD=2BC,E,F分别为CC1,DD1的中点.求证:平面BEF∥平面AD1C1.图7427

第43讲直线、平面垂直的判定与性质课前双击巩固1.直线与平面垂直(1)定义:如果直线l与平面α内的都垂直,就称直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的.

(2)直线与平面垂直的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线b是平面α内任意一条直线,b⊂α,a证明直线和平面垂直一条直线与一个平面内的都垂直,则该直线与此平面垂直

a,l⊥α如果两条平行直线中的垂直于一个平面,那么也垂直于同一个平面

a⊥α,a性质如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的都垂直

b⊂α,a证明两条直线垂直垂直于同一个的两条直线平行

a⊥α,b证明两条直线平行2.两个平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.

(2)两个平面垂直的判定和性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定根据定义,证明两平面所成的二面角是

∠AOB是二面角αlβ的平面角,且,则α⊥β

证明两平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条,那么这两个平面互相垂直

l⊂β,l性质如果两个平面垂直,那么它们所成是直角

α⊥β,∠AOB是二面角αlβ的平面角,则

证明两条直线垂直如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于

α⊥l⊥α证明直线与平面垂直常用结论1.与线面垂直相关的两个常用结论:(1)两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直;(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直.2.三种垂直关系的转化:线线垂直线面垂直面面垂直题组一常识题1.[教材改编]已知直线a,b和平面α,且a⊥α,b∥α,则a与b的位置关系为.

2.[教材改编]已知三棱锥PABC的三条侧棱都相等,顶点P在底面ABC上的射影为O,则O是△ABC的心.

3.[教材改编]如图7431所示,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中点,E是PC上的点,且EF⊥BC,则PEEC=图74314.[教材改编]如图7432所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,平面ADC⊥平面.

图7432题组二常错题◆索引:忽略线面垂直的条件致误;忽视平面到空间的变化致误.5.“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的条件.

6.已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a与c的位置关系为.

7.已知直线a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,则a与α的位置关系为.

8.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线n满足n⊥β,则n与l的位置关系是.

课堂考点探究探究点一垂直关系的基本问题1(1)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个说法中错误的是 ()A.若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥αB.若a∥α,a⊥β,则α⊥βC.若a⊥β,α⊥β,则a∥αD.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β(2)[2017·全国卷Ⅲ]在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则 ()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC[总结反思]解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法:(1)依据相关定理得出结论;(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断;(3)否定命题时只需举一个反例即可.式题(1)[2017·宣城二调]已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列四个说法中错误的是 ()A.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥nB.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥nC.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m⊥αD.若α∥β,m∥α,则m∥β(2)[2017·洛阳三模]若空间中四个不重合的平面α1,α2,α3,α4满足α1⊥α2,α2⊥α3,α3⊥α4,则下列结论一定正确的是 ()A.α1⊥α4B.α1∥α4C.α1与α4既不垂直也不平行D.α1与α4的位置关系不确定探究点二线面垂直的判定与性质2[2018·郑州一中月考]在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,AB=2AD,E是AB的一个三等分点(靠近点A),CE的延长线与DA的延长线交于点F,连接PF.证明:(1)CD⊥PF;(2)在线段PC,PD上可以分别找到两点A',A″,使得直线PC⊥平面AA'A″.图7433

[总结反思](1)解决直线与平面垂直问题的常用方法:①利用线面垂直的定义;②利用线面垂直的判定定理;③利用线面垂直的性质;④利用面面垂直的判定定理;⑤利用面面垂直的性质.(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着“线面垂直”这个核心展开,这是化解空间垂直关系问题难点的技巧所在.式题[2017·北京海淀区期中]如图7434所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E,F分别是棱BC,CC1的中点.证明:(1)AB⊥平面AA1C1C;(2)EF⊥A1C.图7434

探究点三面面垂直的判定与性质3[2018·豫南九校质检]在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,△PAD是等边三角形,已知AD=2,BD=23,AB=2CD=4.(1)设M是PC上一点,求证:平面MBD⊥平面PAD.(2)求四棱锥PABCD的体积.图7435

[总结反思](1)证明面面垂直的常用方法:①利用面面垂直的定义;②利用面面垂直的判定定理,转化为从现有直线中(或作辅助线)寻找平面的垂线,即证明线面垂直.(2)两个平面垂直问题,通常是通过“线线垂直→线面垂直→面面垂直”的过程来实现的.式题如图7436,在三棱柱ABCA1B1C1中,AC=AA1,AB=BC,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C.求证:BC1⊥平面AA1C1C.图7436

探究点四平行与垂直的综合问题考向1平行与垂直关系的证明4如图7437,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.图7437

[总结反思]处理空间图形中的平行与垂直问题,一般考虑判定定理和性质的应用,当满足相关定理的条件时,可直接使用相关定理得出结论.考向2探索性问题中的平行与垂直关系5如图7438所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.图7438

[总结反思]处理空间中平行或垂直的探索性问题,一般是先根据条件猜测点或直线的位置再给出证明.点一般为中点或三等分点,直线一般为中位线.考向3折叠问题中的平行与垂直关系6如图7439(1)所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥A1BCD,如图(2)所示.(1)若M是FC的中点,求证:直线DM∥平面A1EF.(2)求证:BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?请说明理由.图7439

[总结反思]证明折叠问题中的平行与垂直,关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系可在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.强化演练1.【考向1】在三棱锥SABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形,给出以下结论:①异面直线SB与AC所成的角为90°;②直线SB⊥平面ABC;③平面SBC⊥平面ABC;④点C到平面SAB的距离是12其中正确结论的个数是 ()A.1 B.2C.3 D.4图743102.【考向1】[2017·宝鸡质检]对于四面体ABCD,给出下列四个说法:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,AC⊥BD,则BC⊥AD.其中正确的说法是 ()A.①② B.②③C.②④ D.①④3.【考向3】如图74311,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,翻折△ABD和△ACD,使得平面ABD⊥平面ACD.给出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥DABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的结论是 ()图74311A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④4.【考向2】如图74312,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,AB=1,∠ABC=π3,E为PD的中点,PA=1(1)求证:PB∥平面AEC.(2)在棱PC上是否存在点M,使得直线PC⊥平面BMD?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.图74312

第44讲空间向量及其运算和空间位置关系课前双击巩固1.空间向量及其有关概念名称语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线

共面向量平行于的向量

共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使

共面向量定理若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb空间向量基本定理(1)定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=.

(2)推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=

2.两个向量的数量积(1)a·b=.

(2)a⊥b⇔(a,b为非零向量).

(3)|a|2=,|a|=x23.向量的坐标运算a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=

向量差ab=

数量积a·b=

共线a∥b⇒(λ∈R,b≠0)

垂直a⊥b⇔

夹角公式cos<a,b>=a题组一常识题1.[教材改编]已知向量a=(2,3,5),b=3,λ,152,且a∥b,则2.[教材改编]若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(2,0,4),则l与α的位置关系为.

3.[教材改编]已知在空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则化简AB+12(BD+BC)=4.[教材改编]如图7441所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则BM可用a,b,c表示为图7441题组二常错题◆索引:忽略向量共线与共面的区别,使用向量的数量积公式出错.5.给出下列命题:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;③已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc;④若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0.其中为真命题的是(填序号).

6.已知向量a=(4,2,4),b=(6,3,2),则(a+b)·(ab)的值为.

7.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(2,1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是.

课堂考点探究探究点一空间向量的线性运算1如图7442所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量(1)AP;(2)A1N;(3)MP+图7442

[总结反思]进行向量的线性运算,有以下几个关键点:(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系;(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义;(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.式题如图7443所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC的中点.(1)化简:A1O12AB(2)用AB,AD,AA1表示OC1,则图7443探究点二共线﹑共面向量定理的应用2如图7444所示,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.图7444

[总结反思]证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P,A,B,C四点共面,只要能证明PA=xPB+yPC即可.对空间任意一点O,若OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),则P,A,B,C四点共面.式题如图7445所示,已知斜三棱柱ABCA1B1C1中,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1),问向量MN是否与向量AB,AA图7445

探究点三利用空间向量证明平行或垂直3[2017·常锡二模]如图7446所示,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,E,F,G分别为AB,AD,AC的中点,AC=BC,∠ACD=90°.(1)求证:AB⊥平面EDC;(2)若P为FG上任一点,证明:EP∥平面BCD.图7446

[总结反思](1)选取空间不共面的三个向量为基底,用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程;(2)通过计算向量的数量积为0,可证明垂直问题;(3)要证线面平行,证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.式题如图7447所示,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1的长;(2)求证:AC1⊥BD;(3)求异面直线BD1与AC夹角的余弦值.图7447

第45讲立体几何中的向量方法课前双击巩固1.两条异面直线所成角的求法(1)设两条异面直线a,b的方向向量分别为a,b,其夹角为θ,则cosφ=|cosθ|=(其中φ为异面直线a,b所成的角).

(2)两异面直线所成角φ的取值范围是.

2.直线和平面所成角的求法(1)如图7451所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=.

图7451(2)直线和平面所成角φ的取值范围是.

3.求二面角的大小(1)如图7452①所示,AB,CD是二面角αlβ的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小为<AB,CD>.图7452(2)如图7452②③所示,n1,n2分别是二面角αlβ的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小为<n1,n2>(或π<n1,n2>).(3)二面角的平面角的取值范围是.

常用结论空间距离的几个结论:(1)点到直线的距离:设过点P的直线l的方向向量为单位向量n,A为直线l外一点,点A到直线l的距离d=|PA(2)点到平面的距离:设P为平面α内的一点,n为平面α的法向量,A为平面α外一点,点A到平面α的距离d=PA·(3)线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离.题组一常识题1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.

2.[教材改编]如果平面的一条斜线和斜线在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(0,2,1),b=(2,5,5),那么这条斜线与平面所成的角是.

3.[教材改编]如图7453所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin<CM,D1N>的值为图74534.[教材改编]在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为.

题组二常错题◆索引:异面直线所成角的取值范围出错;二面角的取值范围出错;直线和平面所成的角的取值范围出错.5.已知2a+b=(0,5,10),c=(1,2,2),a·c=4,|b|=12,则以b,c为方向向量的两直线的夹角为.

6.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为.

7.已知向量m,n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量,若cos<m,n>=12,则l与α所成的角为8.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于.

第1课时空间角的求法课堂考点探究探究点一异面直线所成角1(1)[2018·扶余一中月考]在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别是BB1,D1B1的中点,则EF与A1D所成角的大小为 ()A.60° B.90°C.45° D.75°(2)在如图7454所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,直线AF⊥平面ABCD,EF∥AB,AD=2,AB=AF=2EF=1,若P是DF的中点,则异面直线BE与CP所成角的余弦值是.

图7454[总结反思](1)两异面直线所成角的余弦值等于两条异面直线的方向向量所成角的余弦值的绝对值;(2)在证明两直线垂直时,可证两条直线所成的角为90°;(3)注意两异面直线所成角的范围是(0°,90°].式题如图7455所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=120°.求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.图7455

探究点二直线与平面所成的角2[2017·广州二模]如图7456所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,∠BAD=60°,EB⊥平面ABCD,FD⊥平面ABCD,EB=2FD=3a.(1)求证:EF⊥AC;(2)求直线CE与平面ABF所成角的正弦值.图7456

[总结反思](1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路:①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);②通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.(2)若直线l与平面α的夹角为θ,直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β,则θ=π2β或θ=βπ2,故有sinθ=|cosβ|=式题[2016·全国卷Ⅲ]如图7457,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.图7457

探究点三二面角3[2017·全国卷Ⅰ]如图7458,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角APBC的余弦值.图7458

[总结反思](1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.(2)利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量,求法向量的方法主要有两种:①求平面的垂线的方向向量;②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零,列方程组求解.式题[2017·全国卷Ⅱ]如图7459,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证