四川省泸州高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

泸州高中年秋期高级半期考试数学试题命题人：李仕均、刘美君审题人：贺玲一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得出答案．【详解】命题“”的否定为“”.故选：D.2.“且”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案，【详解】当且时，成立，反过来，当时，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.第1页/共16页3.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的性质判断各项对应函数是否符合题设.【详解】由幂函数性质知：、为偶函数，为奇函数，为非奇非偶函数，在上递减，递增，综上，是偶函数，在区间上单调递减.故选：A4.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解分式不等式，可得集合，再根据集合的交集与补集知识，结合题图求解即可.【详解】由，得，所以，又，所以，所以图中阴影部分表示的集合为.故选：.5.已知集合，且，则等于（）第2页/共16页A.－3或－1B.3C.1D.3【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可.【详解】因为集合，且，则或，所以或；当时，不合题意舍；当时，符合题意；故选：B.6.已知一次增函数满足，则（）A.1或3B.3或1C.3D.1【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解.【详解】由一次增函数，可设，则，所以，解得或当时，，此时，，故选：D7.如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（）第3页/共16页C.D.E.均不是【答案】A【解析】【分析】求出点在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得.【详解】当点在上时，，当点在上时，，当点在上时，，其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.故选：A.8.已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A.4B.C.8D.【答案】C【解析】【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得，的关系，消再利用基本不等式求解最值可得．【详解】设，，又，所以在单调递增，当时，；当时，，由图象开口向上，，第4页/共16页可知方程有一正根一负根，即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点；由题意知，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是8.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各项不能表示同一个函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】ABC【解析】【分析】同一函数要求定义域和解析式完全一致，根据每个选项中的解析式分别求解定义域，化简解析式，再判断即可.【详解】对于，因为，不是同一函数；第5页/共16页对于，因为的定义域为，的定义域为，不是同一函数；对于，因为的定义域为，的定义域为，不是同一函数；对于，，所以与定义域与解析式完全一致，是同一函数.故选：ABC.10.若函数，定义域为，下列结论正确的是（）A.的图象关于轴对称B.，使C.在和上单调递减D.的值域为【答案】AC【解析】【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D.【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，关于轴对称，故A正确；对于B，，则，即，解得，与定义域矛盾，第6页/共16页所以不存在，使，故B错误；对于C，，因为当和，单调递增，所以单调递减，即单调递减，故C正确；对于D，由选项C可知，，因为且，则且，所以且，即且，所以的值域为，故D错误，故选：AC.在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（）A.B.C.D.整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”【答案】BCD【解析】【分析】理解“类”的定义，容易判断AB选项的正误；而C，则由被4除所得的余数只有四种情况理解辨析即可；而D，则需要互为条件结果各证一次，进而得以判断.【详解】对于A，由得，故A错误；对于B，由得，故B正确；对于C，所有整数被4除所得的余数只有四种情况，即刚好分成共4类，故第7页/共16页，故C正确.对于D，若整数属于同一“类”，则，故，所以；反之，不妨设，则，若，则，即，所以整数属于同一“类”；故整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.若幂函数图象经过点，则______．【答案】4【解析】【分析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式，再求函数值．【详解】由题意设，幂函数的图象经过点，∴，则，∴，则，故答案为：413.定义单调递增区间为______．【答案】和【解析】【分析】先由函数新定义和不等式解出分段函数的表达式，再求出单调递增区间即可.【详解】当即时，解得，第8页/共16页所以，因为二次函数的对称轴为，开口向下，所以递增区间为，一次函数在定义域上为递增函数，综上，的单调递增区间为.故答案为：和.14.定义：表示不小于x的最小整数，如：，，当时，则______；当，则x的取值范围是______．【答案】①.②.【解析】可得转化为类讨论可知当时有符合题意的解集，由此可得结果.【详解】当时，则；由得：，即，当时，，则当时，，则，解得：；当时，，则，解得：依次类推可知，当时，不成立，综上所述：，即取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）求值；第9页/共16页【答案】（1）2）329.【解析】1）利用指数运算法则计算即得.（2）利用指数运算法则化简求值.1）.（2）由，得，所以.16.已知集合，，（1）当时，求；（2）若，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】1）由题可得集合，然后利用交集的定义运算即得；（2）由题可得，然后分为空集与不为空集两种情况求出的范围即可．【小问1详解】当时，，又，则；【小问2详解】因为p是q的充分不必要条件，所以，①若，则，解得；②若，由得到，，第10页/共16页解得：，综上：的取值范围是．17.定义在上的奇函数（，为常数）满足．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在区间上的单调性，并加以证明；（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）在上单调递增，证明见解析（3）【解析】1）根据和，可求的值，再验证此时为奇函数即可.（2）先猜测函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明即可.（3）把问题转化成“大于在上的最小值”，再结合函数的单调性，列式求解.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，又.此时，因为恒成立，所以函数为奇函数.故为所求.【小问2详解】因为，，所以猜测在上单调递增.第11页/共16页设，所以，因为，所以，，，所以，所以，即.所以函数在上单调递增.【小问3详解】因为，使得不等式成立，所以有大于在上的最小值.由（2）可得，当时，.由或.所以，实数的取值范围为.18.已知函数，不等式的解集为且．（1）求在的值域；（2的定义域为的取值范围；（3）若函数在区间上的最小值为，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】1）先根据一元二次不等式的解集和求的解析式，再求二次函数在给定区间上的值域.第12页/共16页（2）问题转化为二次函数的零点分布问题求参数的取值范围.（3）根据区间和二次函数对称轴的位置关系讨论函数在给定区间上的单调性，求其最小值即可.【小问1详解】因为不等式的解集为，所以且，所以，又，所以，.所以.当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，.所以在上的值域为.【小问2详解】因为，其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为，所以上单调递增.由题意，是方程即的两个正根，所以.故实数的取值范围为.【小问3详解】因为，其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为.当，即时，函数在上单调递减，所以；第13页/共16页当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以；当时，函数在上单调递增，所以.综上可知，函数的最小值为.19.某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，，都有，则称为为Jensen是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当最值问题时，关键是构造函数．（1）设函数，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；（2）试判断在上的凹凸性，并说明理由；（3，的最小值．【答案】（1）；（2）在上为凹函数，理由见解析；（3）【解析】1）利用单调性化简不等式为，再用恒成立并结合最值求解.第14页/共16页（3）结合（2）判断为凹