吉林黑龙江两省十校联合体2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

吉林、黑龙江两省十校联合体20252026学年高二上学期期中考试数学试卷（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，请将答题卡上交．4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章～第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.7 B.11 C.22 D.29【答案】A【解析】故选：A．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据直线得出斜率，进而根据斜率与倾斜角的关系求解.故选:C．【答案】A【解析】【分析】根据圆心和半径即可求解.故选：A．【答案】C【解析】【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得.故选：C【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.故选：A【答案】D【解析】故选：D【答案】A【解析】【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可.故选：A.【答案】D【解析】故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【答案】ABD【解析】故选：ABD.【答案】ABC【解析】故选：ABC.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．A.点的轨迹长度为【答案】BCD【解析】所以点的轨迹长度为，故A错误；所以点的轨迹为线段，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【答案】【解析】故答案为：.【解析】【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.【解析】所以直线过一、二、三象限，不过第四象限，直线与圆相离.所以，直线与圆总相交，【点睛】关键点睛：根据已知得出的范围，然后根据直线的斜截式方程得出与圆的位置关系.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.（1）求中线的方程；（2）求经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形的面积．（2）【解析】（2）根据条件，求出直线过点且与直线平行的直线方程，进而求出其与坐标轴的交点坐标，即可求解.【小问1详解】【小问2详解】故经过点且与直线平行的直线与坐标轴围成的三角形面积为．【答案】（1）【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求解；（2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解.【小问1详解】【小问2详解】（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案.【小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，【小问2详解】以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，故直线PC与平面ACQ所成角正弦值为．（1）证明：为的中点；【解析】【小问1详解】不妨令正方体的棱长为2，【小问2详解】（1）求直线的方程，并写出直线所经过的定点的坐标；（2）求线段中点的轨迹方程；（3）若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值.（3）【解析】【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可；（2