专题02 函数及其性质（期末复习讲义）（原卷版）

④函数或函数．·示例：已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.【答案】【解析】函数（）是偶函数，，，易得，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以，所以函数的值域为．故答案为：．知识点04函数的对称性与周期性函数的对称性(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．(3)若，则函数关于对称．(4)若，则函数关于点对称．2.函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.对称性与周期性解题技巧方法：对称性：（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．对称性与周期性关系：（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.·示例：（多选题）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（

）A．是奇函数 B．C．的图象关于直线对称 D．【答案】ABD【解析】对于选项，∵是偶函数，∴，∴函数关于直线对称，∴，∵，∴，∴是奇函数，则正确；对于选项，∵，∴，∴,∴的周期为，∴，则正确；对于选项，若的图象关于直线对称，则，但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；对于选项，将代入，得，将，代入，得，同理可知，又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，∴，则正确.故选：ABD.知识点05简单幂函数及其性质幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底数为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自变量，幂为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因变量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指数为常数的函数称为幂函数.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减·示例：已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（

）A． B．或 C． D．【答案】A【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则.故选：A题型一复杂函数的定义域或值域解｜题｜技｜巧一、复杂函数定义域解题技巧：分式+根式混合型：这类函数同时含分母不为零、偶次根式下非负的约束，需逐一列出条件再求解不等式组；复合函数型:核心原则是“内函数的值域是外函数的定义域”，解题分两步：第一步由外函数定义域确定内函数的取值范围；第二步根据内函数范围反求自变量x的范围。二、复杂函数值域解题技巧：配方法（二次函数及相关复合函数）：适用于含二次式的函数，通过配方转化为顶点式，结合定义域求最值；换元法（根式、高次混合型）：针对含根号的复杂函数，通过换元简化为熟悉函数；分离常数法（分式函数）：适用于分子分母为同次整式的分式函数；分段函数值域：分段求各区间的值域，最终取所有区间值域的并集。易｜错｜点｜拨忽略复合函数定义域逻辑、换元后忽略新变量范围、含参函数漏分类讨论、结果表达不规范、分段函数值域求并集而非交集。【典例1】(25-26高一上·河北邢台质检联盟·期中)已知函数fx2的定义域为x∣−2≤x≤2，则函数fxA．−1,1 B．(−1,1)C．−4,0)∪(0,4 D．−4,−1)∪(−1,4【典例2】(25-26高一·福建福州某校·月考)若函数fx的定义域为0,5，则函数gx=A．1,2 B．1,2C．1,2 D．−【变式1】(25-26高一上·广东佛山顺德区国华纪念中学·月考)若函数f(2x−1)的定义域为[34,74A．{12} B．(12,【变式2】(19-20高一上·重庆巴蜀中学·月考)已知函数f(2−x)=4−x2，则函数fA．[0,+∞) B．0,16 C．0,4 D．0,2【变式3】(25-26高一上·浙江嘉兴海宁高级中学·期中)函数fx=1−2xA．−∞,−1 B．−∞,−12【变式4】(25-26高一上·广东广州执信中学·期中)函数y=1−x+1−2x的值域为（

A．−∞,12 B．0,+∞ 题型二判断是否属于同一函数答｜题｜模｜板当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．易｜错｜点｜拨未判断定义域，只判断了对应法则。【典例1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）．A．，B．，C．，D．，【变式1】下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（

）A． B．C． D．【变式2】下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，题型三分段函数运用（结合其它章节的函数）答｜题｜模｜板分段函数与一次/二次函数结合：先根据题干条件确定分段节点（如售价区间、人数分界等）；再在每个区间内建立一次或二次函数表达式；最后结合一次函数单调性、二次函数配方法求各段最值，最终整合所有区间结果。分段函数与函数单调性结合：保证每段函数自身单调，如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的关系；确保分段点处满足单调性，递增则左段最大值≤右段最小值，递减则左段最小值≥右段最大值；联立不等式组求解参数范围。易｜错｜点｜拨忽视分段点处的函数值衔接、分段函数与二次函数结合时忽略区间限制、实际问题中遗漏隐含分段条件、参数范围求解时漏条件。【典例1】(25-26高一上·河北保定部分校·)已知函数fx=1x−2，x<2，A．[2,+∞） B．C．1,2 D．[1,+【典例2】(25-26高一上·北京育英中学·期中)已知函数fx=−x−12A．−∞,1−2C．−∞,1−2【变式1】(20-21高一上·河南洛阳·期中)已知函数fx=x+1,x≤0lgx,x>0若存在互不相等的实数a，b，c，d满足|fa|A．(0,+∞) B．(-2,+∞) C．2,8110 【变式2】(19-20高二·山东枣庄第三中学·)已知函数f(x)=x2+(4a−3)x+3a,x<0loga(x+1)+1,x≥0（a>0且a≠1）在A．0,23 B．13,34【变式3】(18-19高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数fx=x+1,0≤x≤112sinπ4x+A．a>22 B．22<a<3 C．3<a<2【变式4】(19-20高一上·湖南常德临澧一中·)已知函数fx=   1−|x| A．[ −2 C．[ −2 题型四复合函数“同增异减”运用答｜题｜模｜板一、求复合函数值域（结合单调性求最值）1.分解函数并求定义域，判断复合函数的单调性；2.计算单调性区间端点对应的函数值，即为值域的边界值。二、求含参复合函数的参数范围（进阶题型）1.分解含参复合函数，明确参数对内外层函数单调性的影响；2.根据题干中复合函数的单调性要求，列出内外层函数单调性的匹配条件；3.结合定义域等隐含条件，联立不等式组求解参数。易｜错｜点｜拨混淆内外层函数的自变量与中间变量、多层复合函数漏层分析、含参复合函数漏讨论参数对定义域的影响、误将外层函数定义域当作复合函数定义域。【典例1】(25-26高一上·辽宁营口九师联盟·期中)函数fx=3A．−∞,56 B．56,+【典例2】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)函数y=1x2A．−∞,2 B．−∞,0 C．【变式1】(24-25高一上·福建福州十校·期中)函数y=−x2A．52,+∞ B．1,52 【变式2】下列结论正确的是（

）A．函数fx=B．函数fxC．函数fx=D．函数fx=【变式3】函数y=16−5x−xA．−52,+C．−52,1和1,+【变式4】已知函数fx=4−x2，若0<x1<xA．fx1xC．fx3x题型五定义法证明函数单调性+最值/参数求解答｜题｜模｜板一、定义法证明函数单调性：在区间D内任取两个自变量x1,x2，且规定x1<x二、结合单调性求最值/参数范围：证明单调性后，可利用“单调函数在区间端点处取得最值”的性质求解最值，或根据单调性的约束条件求参数范围，核心是“单调性结论→不等关系→求解”。易｜错｜点｜拨作差后变形不彻底，无法判号、求最值时忽略区间“开闭”、含参函数漏“恒成立”条件。【典例1】(25-26高一上·新疆生产建设兵团第二中学·期中)已知函数f(x)=(3a−1)x+4a,x<1x2−ax+6,x≥1满足：对任意x1,x2∈RA．[2,+∞) B．(13,2] 【典例2】(25-26高一上·湖北黄冈·期中)已知fx是定义在区间−1,1上的奇函数，且f1=−1，若a,b∈−1,1,a≠b时，有fa−fba−bA．−∞,−4∪C．−∞,−4∪【变式1】(25-26高一上·广东广州天天向上联盟·期中)已知定义域为R的函数fx满足：∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有fA．−∞,0 B．0,+∞ C．−【变式2】(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·)定义在0,+∞上的函数fx，满足对任意x1,x2∈0,+∞，且xA．1,2 B．0,2 C．1,+∞ D．【变式3】(25-26高一上·广东江门鹤山纪元中学·期中)已知函数f(x)=ax+bx，其中a，b为常数，且f(1)=5，(1)求a，b的值；(2)利用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0,2)上是减函数；(3)求函数f(x)在区间[1【变式4】(25-26高一上·广东广州第四中学·期中)已知函数fx=x(1)判断函数的单调性，并用定义证明；(2)解不等式：fx题型六函数单调性、奇偶性与不等式结合的综合运用答｜题｜模｜板单调性与奇偶性的核心作用：奇偶性定“对称”（将非对称区间的变量转化到对称区间，如f(-x)转化为±f(x)）；单调性定“大小”（去掉函数符号时保持不等号方向或反向）。结合不等式时，需先明确函数性质，再分步转化求解。核心解题思路是“性质转化→不等式化简→求解验证”，即先利用奇偶性转化变量范围，再结合单调性去掉函数符号，最终转化为常规不等式求解。易｜错｜点｜拨忽略奇偶性对单调性的区间限制，盲目去符号、混淆奇函数与偶函数的单调性联动规律、含参函数未用奇偶性先定参，直接分析单调性、误用“f(0)=0”的条件，忽略奇函数在x=0处有定义。【典例1】(25-26高一上·广东中山迪茵公学·期中)设偶函数fx的定义域为R，当x∈0,+∞时，fx是减函数，则A．f−3>f−C．f2π<f【典例2】(25-26高一上·河北定州·调研)已知定义在R上的偶函数fx满足：∀x1,xA．−14,+C．−∞,−3【变式1】(25-26高一上·北京第八中学·期中)已知定义在R上的函数fx满足下列条件：①f−2=0，②f−x−fx=0，③对∀x1，xA．−∞,−2∪C．−2,0∪2,+∞【变式2】(24-25高三上·河北部分校·)已知fx是定义在实数集R上的函数，在0,+∞内单调递增，f2=0，且函数fx−1关于点1,0A．−∞,−2∪C．−∞,−1∪【变式3】(25-26高一上·福建厦门外国语学校·期中)已知函数fx的定义域为R，满足fx+4=A．f−1=0 B．f(0)=0 C．f2【变式4】(25-26高一上·江苏南通·期中)已知偶函数fx的定义域为−∞,+∞，对任意的x1,x2∈A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．c<b<a题型七函数对称性与周期性答｜题｜模｜板（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.【典例1】（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数和的导函数分别是和，若，，且是奇函数，则下列结论正确的是（

）A． B．的图像关于点对称C． D．【变式1】（多选题）（2024·河北·统考模拟预测）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（

）A．4为函数的一个周期 B．函数的图象关于点对称C． D．【变式2】（多选题）（2024·山东滨州·统考二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（

）A．的图象关于点对称 B．8是的一个周期C．一定存在零点 D．题型八与幂函数有关的复杂函数的不等式解集或参数答｜题｜模｜板1.幂函数与其他函数结合的不等式解集求解：先确定复合函数的定义域，再将不等式转化为“幂函数的最简不等式”，结合单调性求解。2.含参幂函数的参数范围求解：先根据“幂函数定义”确定参数的初步范围，再结合单调性进一步缩范围。3.含参幂函数不等式恒成立求参：将不等式转化为“参数与函数最值的关系”，如(a≤xα−1)易｜错｜点｜拨避坑关键：定义域优先、单调性分区间、参数分离看符号、平方保证非负。【典例1】(25-26高一上·湖北襄阳第四中学·期中)已知幂函数fx=m2+m−1⋅xm+1在0,+∞A．−∞,1 B．12,1 C．【典例2】设函数fx=x3x，若关于x的不等式fA．0,2 B．2,+C．0,8 D．8,+【变式1】(24-25高三上·辽宁丹东敬业实验高级中学·期中)已知函数fx=(x−2)35+1，对于任意的t∈−1,2A．−∞,−2 B．−∞,−10 C．【变式2】(21-22高一上·上海徐汇中学·月考)①函数值域为[0,+∞)；②函数为偶函数；③函数在[0,+∞)上fx1−fx2x1−x2>0恒成立；④若任意x1≥0,A．0 B．1 C．2 D．3【变式3】在y=2x,y=x2,y=xA．1个 B．2个C．3个 D．4个【变式4】已知函数fx=−xA．−∞,−2∪C．−2,2 D．− 期末基础通关练（测试时间：10分钟）1.(25-26高三上·江苏镇江第一中学、镇江中学·)函数f(x)=1+x3+A．(0,5] B．(0,10] C．2.(17-18高一·四川眉山眉山中学·月考)已知函数f(x)=3x−1,x<1x2,x≥1，则满足f(f(a))=fA．5−56∪23,+∞ 3.(25-26高一上·河南名校大联考·期中)已知fx+1是定义在R上的奇函数，且fx在R上单调递增，则不等式4−xA．−1,2 B．−1,0C．−∞,1∪4.(17-18高